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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第7章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課時(shí)作業(yè) 理
一、選擇題
1.平面α的一個(gè)法向量為n=(1,2,0),平面β的一個(gè)法向量為m=(2,-1,0),則平面α和平面β的位置關(guān)系是( )
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.重合
答案:C
解析:∵n=(1,2,0),m=(2,-1,0),
∴m·n=2-2+0=0,即m⊥n,
∴α⊥β.
2.設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k),若α∥β,則k等于( )
A.2 B.-4
C.4 D.-2
答案:C
解析:∵α∥β,∴==,∴k=4.
3.(xx
2、·濟(jì)南模擬)已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2,-1,2),α的一個(gè)法向量為n=(3,1,2),則下列點(diǎn)P中,在平面α內(nèi)的是( )
A.(1,-1,1) B.
C. D.
答案:B
解析:對于選項(xiàng)A,=(1,0,1),則·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;
對于選項(xiàng)B,=,則·n=·(3,1,2)=0,B正確;
對于選項(xiàng)C,=,
·n=·(3,1,2)=6≠0,C不正確;
對于選項(xiàng)D,=,
·n=·(3,1,2)=12≠0,D不正確.
故應(yīng)選B.
4.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P為C1D1的中點(diǎn),M為BC的中點(diǎn)
3、,則AM與PM的位置關(guān)系為( )
A.平行 B.異面
C.垂直 D.以上都不對
答案:C
解析:以點(diǎn)D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,
依題意,可得D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0).
∴=(,1,-),=(-,2,0),
∴·=(,1,-)·(-,2,0)=0,
即⊥,∴AM⊥PM.
5.在正四面體P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設(shè)PA=PB=PC=a,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為( )
A. B.a(chǎn)
C. D.a(chǎn)
答案:B
解析:根
4、據(jù)題意,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系P-xyz,則P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).
過點(diǎn)P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于點(diǎn)H,則PH的長即為點(diǎn)P到平面ABC的距離.
∵PA=PB=PC,∴H為△ABC的外心.
又∵△ABC為正三角形,∴H為△ABC的重心,
可得H點(diǎn)的坐標(biāo)為.
∴PH==a.
∴點(diǎn)P到平面ABC的距離為a.
6.(xx·昆明模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,且BC⊥平面PAB,PA⊥AB,M為PB的中點(diǎn),PA=AD=2.若AB=1,則二面角B-AC-M的余弦值為( )
A. B
5、.
C. D.
答案:A
解析:∵BC⊥平面PAB,AD∥BC,
∴AD⊥平面PAB,PA⊥AD,
又PA⊥AB,且AD∩AB=A,
∴PA⊥平面ABCD.
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AD,AB,AP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.
則A(0,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),
B(0,1,0),M,
∴=(2,1,0),
=,
易求得平面AMC的一個(gè)法向量為n=(1,-2,1),
又平面ABC的一個(gè)法向量=(0,0,2),
∴cos〈n,〉====.
∴二面角B-AC-M的余弦值為.
二、填空題
7.如圖所示,在三棱錐
6、ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為棱AB,BB1的中點(diǎn),則直線EF和BC1所成的角是________.
答案:60°
解析:以BC為x軸,BA為y軸,BB1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AB=BC=AA1=2,
則C1(2,0,2),E(0,1,0),F(xiàn)(0,0,1),
則=(0,-1,1),=(2,0,2),
∴·=2,
∴cos〈,〉==,
∴EF和BC1所成的角為60°.
8.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=,則MN與平面BB1C1
7、C的位置關(guān)系是________.
答案:平行
解析:∵正方體棱長為a,
A1M=AN=,
∴=,=,
∴=++=++
=(+)++(+)
=+.
又∵是平面B1BCC1的法向量,
∴·=·=0,
∴⊥.又∵M(jìn)N?平面B1BCC1,
∴MN∥平面B1BCC1.
9.設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是________.
答案:
解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,
則D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),
∴=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0),
設(shè)平面A1BD的一
8、個(gè)法向量為n=(x,y,z),
則
令x=1,則n=(1,-1,-1),
∴點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d===.
三、解答題
10.(xx·濟(jì)南一模)如圖,四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=2,PD=,M為棱PB的中點(diǎn).
(1)證明:DM⊥平面PBC;
(2)求二面角A-DM-C的余弦值.
解:(1)證明:連接BD,取DC的中點(diǎn)G,連接BG,
由此知DG=GC=BG=1,即△DBC為直角三角形,
故BC⊥BD.
又PD⊥平面ABCD,故BC⊥PD,
所以BC⊥平面BDP,BC⊥DM.
又PD=BD=,PD⊥BD
9、,M為PB的中點(diǎn),
∴DM⊥PB.
∵PB∩BC=B,
∴DM⊥平面PBC.
(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,
則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,),
從而M,
設(shè)n1=(x,y,z)是平面ADM的法向量,
則即
所以可取n1=(0,,-1).
同理,設(shè)n2=(x0,y0,z0)是平面DMC的法向量,
則即
所以可取n2=(,0,-1),
所以cos〈n1,n2〉=.
顯然二面角A-DM-C的大小為鈍角,
所以二面角A-DM-C的余弦值為-.
11.(xx·德州模擬)在直角梯形ABCD中,∠AD
10、C=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,M為線段AB的中點(diǎn),將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得幾何體D-ABC.
(1)求證:BC⊥平面ACD;
(2)求二面角A-CD-M的余弦值.
解:(1)證明:由條件,知AC=2,∠CAB=45°,AB=4,
由余弦定理,得CB2=8,∴CB=2,
∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.
又∵平面ADC⊥平面ABC,
平面ADC∩平面ABC=AC,
∴BC⊥平面ACD.
(2)取AC的中點(diǎn)O,連接DO,MO,
∵DO⊥AC,∴DO⊥平面ABC,
∵OM∥BC,AC⊥BC,∴OM⊥AC.
建立如圖所示
11、的空間直角坐標(biāo)系,
∴M(0,,0),C(-,0,0),D(0,0,).
∴=(,,0),=(,0,).
設(shè)n1=(x,y,z)為平面CDM的法向量,
則即
令x=-1,得n1=(-1,1,1).
由題意,得n2=(0,1,0)為平面ACD的一個(gè)法向量,
∴cos〈n1,n2〉===.
∵二面角A-CD-M為銳角,
∴二面角A-CD-M的余弦值為.
12.(xx·衡水二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O為AD中點(diǎn).
(1)求直線PB與平面P
12、OC所成角的余弦值;
(2)求點(diǎn)B到平面PCD的距離;
(3)線段PD上是否存在一點(diǎn)Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
解:(1)在△PAD中,PA=PD,O為AD中點(diǎn),
所以PO⊥AD,
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,則PO⊥平面ABCD.
又在直角梯形ABCD中,連接OC,易得OC⊥AD,所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OC為x軸,直線OD為y軸,直線OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,1),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),
∴=(1,-1,
13、-1),易證OA⊥平面POC,
∴=(0,-1,0)是平面POC的法向量,
cos〈,〉==.
∴直線PB與平面POC所成角的余弦值為.
(2)=(0,1,-1),=(-1,0,1),
設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為μ=(x,y,z),
則取z=1,得μ=(1,1,1).
∴B點(diǎn)到平面PCD的距離d==.
(3)存在.
設(shè)=λ(0<λ<1),
∵=(0,1,-1),∴=(0,λ,-λ)=-,
∴=(0,λ,1-λ),∴Q(0,λ,1-λ).
設(shè)平面CAQ的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),
則
取z=λ+1,得m=(1-λ,λ-1,λ+1),
又平面CAD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),
∴二面角Q-AC-D的余弦值為,
∴|cos〈m,n〉|==,
得3λ2-10λ+3=0,解得λ=或λ=3(舍).
所以存在點(diǎn)Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值為,
此時(shí)=.