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1、2022屆高考數學二輪復習 高考大題專項練 七 極坐標與參數方程（B）理
1.(2018·順德區(qū)一模)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(α為參數),曲線C1經過坐標變換后得到的軌跡為曲線C2.
(1)求C2的極坐標方程;
(2)在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標中,射線θ=與C1的異于極點的交點為A,與C2的異于極點的交點為B,求|AB|.
2.(2018·日照二模)在直角坐標系xOy中,直線l的方程為x-y-2=0.在以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中,曲線Γ:ρcos2θ=ρ-2cos θ.
(1)求曲線Γ的直角坐標方程;
(
2、2)若點P的坐標為(-2,-4),直線l和曲線Γ相交于M,N兩點,證明:|MN|2=|PM|·|PN|.
3.(2018·六安高三模擬)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1過點P(a,1),其參數方程為(t為參數,a∈R),以O為極點,x軸非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρcos 2θ+ 4cos θ-ρ=0.
(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程;
(2)若已知曲線C1和曲線C2交于A,B兩點,且|PA|=2|PB|,求實數a 的值.
4.(2018·思明區(qū)校級模擬)在以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中,曲
3、線C1的極坐標方程為ρ=2,正三角形ABC的頂點都在C1上,且A,B,C依逆時針次序排列,點A的坐標為(2,0).
(1)求點B,C的直角坐標;
(2)設P是圓C2:x2+(y+)2=1上的任意一點,求|PB|2+|PC|2的取值 范圍.
1.解:(1)曲線C1的參數方程為(α為參數),
轉化為直角坐標方程為x2+y2=1,
曲線C1經過坐標變換后得到的軌跡為曲線C2.
即+y′2=1,
故C2的直角坐標方程為+y2=1.
轉化為極坐標方程為+ρ2sin2θ=1.
(2)曲線C1的參數方程為(α為參數),轉化為極坐標方程為ρ1=1,
由題意得到A(1,
4、),
將B(ρ2,)代入坐標方程+ρ2sin2θ=1.
得到ρ2=,
則|AB|=|ρ1-ρ2|=-1.
2.(1)解:因為Γ:ρcos2θ=ρ-2cos θ,
所以ρ-ρcos2θ=2cos θ,
所以ρsin2θ=2cos θ,
所以曲線Γ的直角坐標方程為y2=2x.
(2)證明:因為直線l的方程為x-y-2=0,
所以定點P(-2,-4)在直線l上,
所以直線l的參數方程為(t為參數).
將曲線C的直角坐標方程和直線l的參數方程聯立,
得t2-10t+40=0(*)
因為Δ=(-10)2-4×1×40=40>0,
所以直線l和曲線Γ相交,設交點M,N所對應參數
5、分別為t1,t2,
t1+t2=10,t1t2=40,
則|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|,
故|MN|2=|t1-t2|2=+-2t1t2
=(t1+t2)2-4t1t2
=(10)2-4×1×40=40,
又|PM|·|PN|=|t1|·|t2|=|t1t2|=40,
所以|MN|2=|PM|·|PN|.
3.解:(1)C1的參數方程(t為參數,a∈R)
消參得普通方程為x-y-a+1=0,
C2的極坐標方程為ρcos2θ+4cos θ-ρ=0兩邊同乘ρ得ρ2cos2θ+4ρcos θ- ρ2=0
即y2=4x.
(2)將曲線C1的
6、參數方程(t為參數,a∈R)代入曲線C2:y2=4x得t2-t+1-4a=0,
由Δ=(-)2-4××(1-4a)>0,得a>0,
設A,B對應的參數分別為t1,t2,由題意得|t1|=2|t2|,
即t1=2t2或t1=-2t2,
當t1=2t2時,解得a=,
當t1=-2t2時,解得a=,
綜上,a=或.
4.解:(1)因為曲線C1的極坐標方程為ρ=2,所以曲線C1的直角坐標方程為x2+y2=4,
因為正三角形ABC的頂點都在C1上,且A,B,C依逆時針次序排列,點A的坐標為(2,0),
所以B點的坐標為(2cos 120°,2sin 120°),即B(-1,),
C點的坐標為(2cos 240°,2sin 240°),即C(-1,-).
(2)因為圓C2:x2+(y+)2=1,
所以圓C2的參數方程0≤α<2π,
設點P(cos α,-+sin α),0≤α<2π,
所以|PB|2+|PC|2=(cos α+1)2+(sin α-2)2+(cos α+1)2+sin2α=16+4cos α-4sin α=16+8cos(α+),
所以|PB|2+|PC|2的取值范圍是[8,24].
2022屆高考數學二輪復習 高考大題專項練 七 極坐標與參數方程（B）理
