《2022高考數(shù)學 選擇題 專題01 坐標系 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022高考數(shù)學 選擇題 專題01 坐標系 文（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022高考數(shù)學 選擇題 專題01 坐標系 文 知識通關 1．平面直角坐標系中的伸縮變換 設點是平面直角坐標系中的任意一點，在變換的作用下，點對應到點，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換. 2．極坐標系的概念 （1）極坐標系：在平面上取一個定點O叫做極點；自點O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個長度單位、角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向為正方向)，這樣就建立了一個極坐標系(如圖)． （2）極坐標：設M是平面上的任一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的∠xOM叫做點M的極角，記為θ.有序數(shù)對(ρ，

2、θ)稱為點M的極坐標，記作M(ρ，θ)． 3．直角坐標與極坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位．如圖，設M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則或 4．圓的極坐標方程 圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的極坐標方程為ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個特殊位置的圓的極坐標方程： (1)如圖，圓心在極點，半徑為r：ρ＝r； (2)如圖，圓心為M(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcosθ； (3)如圖，圓心為，半徑為r：ρ＝2rsinθ. 5．直線的極坐標方程

3、 若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 幾個特殊位置的直線的極坐標方程： (1)如圖，直線過極點，且極軸到此直線的角為α：θ＝α和θ＝π+α(ρ∈R)； (2)如圖，直線過點M(a,0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； (3)如圖，直線過且平行于極軸：ρsin θ＝b. 基礎通關 1．理解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況. 2．了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化. 3．能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐

4、標方程． 題組一 平面直角坐標系中的伸縮變換 解答該類問題應明確兩點：一是根據(jù)平面直角坐標系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點P(x，y)與變換后的點P′(x′，y′)的坐標關系，利用方程思想求解． 【例1】在平面直角坐標系中，已知伸縮變換φ： （1）求點經(jīng)過φ變換所得點A′的坐標； （2）求直線l：y＝6x經(jīng)過φ變換后所得直線l′的方程． 【解析】（1）設點A′(x′，y′)，由伸縮變換φ：得 ∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1. ∴點A′的坐標為(1，－1). （2）設P′(x′，y′)是直線l′上任意一點． 由伸縮變換φ：得代入y＝6x，得2y′＝6·＝

5、2x′， ∴y′＝x′， 故y=x即為所求直線l′的方程. 題組二 極坐標和直角坐標的互化 一是坐標點的互化，極坐標的點化為直角坐標的點較簡單，代入公式即可，直角坐標化極坐標利用公式即可，要注意ρ、θ的取值范圍； 二是方程的互化，直角坐標的方程化極坐標的方程代入公式可化為極坐標，極坐標方程化直角坐標方程，為公式逆用，構造公式右邊，常在等式兩邊同乘ρ，角化為單角θ的正、余弦. 注意：進行極坐標方程與直角坐標方程互化時，要注意ρ，θ的取值范圍及其影響；要善于對方程進行合理變形，并重視公式的逆向與變形使用；要靈活運用代入法和平方法等技巧． 【例2】在極坐標系下，已知圓O：ρ＝cos

6、θ＋sin θ和直線l：. （1）求圓O和直線l的直角坐標方程； （2）當θ∈(0，π)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標． 【例3】在極坐標系中，已知直線l的極坐標方程為ρsin＝1，圓C的圓心的極坐標是C，圓的半徑為1. （1）求圓C的極坐標方程； （2）求直線l被圓C所截得的弦長． 【解析】（1）設O為極點，OD為圓C的直徑，A(ρ，θ)為圓C上的一個動點，則∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－， ∴OA＝ODcos或OA＝ODcos， ∴圓C的極坐標方程為ρ＝2cos. （2）由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1， ∴直線l的直角坐標方程為x＋y－＝

7、0， 又圓心C的直角坐標為，滿足直線l的方程， ∴直線l過圓C的圓心， 故直線被圓所截得的弦長為直徑2. 能力通關 1．平面上點的直角坐標的表示形式是唯一的，但點的極坐標的表示形式不唯一．極坐標與P點之間不是一一對應的，所以我們又規(guī)定ρ≥0,0≤θ＜2π，來使平面上的點與它的極坐標之間是一一對應的，但仍然不包括極點． 2．求解與極坐標有關的問題，主要有兩種方法：一是直接利用極坐標求解；二是轉化為直角坐標后，用直角坐標求解，使用后一種時應注意若結果是要求極坐標，還應將直角坐標化為極坐標. 利用極坐標的幾何意義解決問題 【例1】在直角坐標系中，直線，圓，以坐標原點為極點,x軸正半軸

8、為極軸建立極坐標系. （1）求的極坐標方程； （2）若直線的極坐標方程為，設的交點為，求的面積. 坐標系的綜合問題 【例2】將圓x2＋y2＝1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C. （1）求曲線C的方程； （2）設直線l：2x＋y－2＝0與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程． 【解析】（1）設(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(x，y)， 依題意，得. 由x＋y＝1得， 故曲線C的方程為. 高考通關 1．在極坐標系中，已知曲線C1，C2的極坐標方

9、程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ. （1）求曲線C1，C2的直角坐標方程，并判斷兩曲線的形狀； （2）若曲線C1，C2交于A，B兩點，求兩交點間的距離． 【解析】（1）由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，得x－y－1＝0，表示一條直線. 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， ∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1. ∴曲線C2是圓心為(1,0)，半徑r＝1的圓. （2）由（1）知點(1,0)在直線x－y－1＝0上， 因此直線C1過圓C2的圓心. ∴兩交點A，B的連線段是圓C2的直徑． 因此兩交點A，B間的距離為|

10、AB|＝2r＝2. 2．在直角坐標系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為（），為上一點，以為邊作等邊三角形，且、、三點按逆時針方向排列. （1）當點在上運動時，求點運動軌跡的直角坐標方程； （2）若曲線：，經(jīng)過伸縮變換得到曲線，試判斷點的軌跡與曲線是否有交點，如果有，請求出交點的直角坐標，如果沒有，請說明理由. 【解析】（1）設點的坐標為，則由題意可得點的坐標為， 再由點的橫坐標等于，，可得， 可得， 故當點在上運動時，點的直角坐標方程為． （2）曲線：， 由，即，代入上式得，即， 聯(lián)立點的軌跡方程，消去得， ，有交點，坐標分別為． 3．在直角坐

11、標系中，直線：，圓：，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系. （1）求，的極坐標方程； （2）若直線的極坐標方程為，設與的交點為，與的交點為，求的面積. 【解析】（1）因為，， 所以的極坐標方程為，即， 的極坐標方程為. 【名師點睛】本題著重考查直角坐標方程與極坐標方程的互化，三角形的面積問題可以利用面積公式或者轉化成弦長問題和點到直線的距離解決. （1）將代入可得其極坐標方程； （2）分別將代入的極坐標方程，可求得的值，進而計算的面積. 4．已知橢圓：，拋物線：，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系. （1）求橢圓及拋物線的極坐標方程； （2）過原點的直線與橢圓交于點、，與拋物線交于點（異于原點），設拋物線的焦點為，若，求的面積. 【解析】（1）橢圓的極坐標方程為：， 拋物線的極坐標方程為：. （2）設直線的極坐標方程為 ， ， ， . 【名師點睛】以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中極坐標與直角坐標的關系是，代入可相互轉化，由于表示點到極點（原點O）的距離，因此本題用極坐標方程求解顯得更加方便．