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1、2022高考數(shù)學“一本”培養(yǎng)專題突破 限時集訓2 解三角形 文 一、選擇題 1．(2018·天津模擬)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若AB＝，a＝3，∠C＝120°，則AC等于(　　) A．1　 　　B．2　 　　C．3　 　　D．4 A　[由余弦定理得13＝AC2＋9－6ACcos 120° 即AC2＋3AC－4＝0 解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故選A.] 2. (2018·合肥模擬)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，則△ABC的外接圓的面積為(　　) A．4π B．8

2、π C．9π D．36π C　[由bcos A＋acos B＝2，得＋＝2 化簡得c＝2，又sin C＝，則△ABC的外接圓的半徑R＝＝3，從而△ABC的外接圓面積為9π，故選C.] 3．在△ABC中，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積(　　) A．3 B. C. D．3 C　[因為c2＝(a－b)2＋6，C＝，所以由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos，即－2ab＋6＝－ab，ab＝6，因此△ABC的面積為absin C＝3×＝，選C.] 4．如圖2-1-6，為測得河對岸塔AB的高

3、，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測得∠BDC＝45°，則塔AB的高為(　　) 圖2-1-6 A．10米 B．10米 C．10米 D．10米 D　[在△BCD中，∠DBC＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理得＝，解得BC＝10. 在△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝10×tan 60°＝10.] 5．(2018·長沙模擬)在△ABC中，角A，B，C對應邊分別為a，b，c，已知三個向量m＝，n＝，p＝共線，則△ABC的形狀為(　　) A．等邊三角形 B．等腰三角形

4、 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 A　[由m∥n得acos＝bcos，即sin Acos ＝sin Bcos 化簡得sin＝sin，從而A＝B，同理由m∥p得A＝C，因此△ABC為等邊三角形．] 6．如圖2-1-7，在△ABC中，C＝，BC＝4，點D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2，則cos A＝(　　) 圖2-1-7 A. B. C. D. C　[∵DE＝2，∴BD＝AD＝＝.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得＝，∴＝×＝，∴cos A＝，故選C.] 7．為測出所住小區(qū)的面積，某人進行了一些測量工作，所得數(shù)據(jù)如圖2-1-8

5、所示，則小區(qū)的面積為(　　) 圖2-1-8 A. km2 B. km2 C. km2 D. km2 D　[如圖，連接AC，根據(jù)余弦定理可得AC＝，故△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，從而△ADC為等腰三角形，且∠ADC＝150°，設AD＝DC＝x，根據(jù)余弦定理得x2＋x2＋x2＝3，即x2＝＝3(2－)．所以所求小區(qū)的面積為×1×＋×3(2－)×＝＝(km2)．] 8．在△ABC中，A＝60°，BC＝，D是AB邊上不同于A，B的任意一點，CD＝，△BCD的面積為1，則AC的長為(　　) A．2 B. C. D. D　

6、[由S△BCD＝1，可得×CD×BC×sin∠DCB＝1，即sin∠DCB＝，所以cos∠DCB＝或cos∠DCB＝－，又∠DCB＜∠ACB＝180°－A－B＝120°－B＜120°，所以cos∠DCB＞－，所以cos∠DCB＝.在△BCD中，cos∠DCB＝＝，解得BD＝2，所以cos∠DBC＝＝，所以sin∠DBC＝.在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝，故選D.] 二、填空題 9．如圖2-1-9，為了估測某塔的高度，在同一水平面的A，B兩點處進行測量，在點A處測得塔頂C在西偏北20°的方向上，仰角為60°；在點B處測得塔頂C在東偏北40°的方向上，仰角為30°.若A，B兩點相距130

7、 m，則塔的高度CD＝________m. 圖2-1-9 10　[分析題意可知，設CD＝h，則AD＝，BD＝h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，可得1302＝3h2＋－2·h··，解得h＝10，故塔的高度為10 m．] 10．(2018·衡陽模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝4，c＝5，且B＝2C，點D為邊BC上一點，且CD＝3，則△ADC的面積為________． 6　[在△ABC中，由正弦定理得＝，又B＝2C，則＝，又sin C＞0，則cos C＝＝，又C

8、為三角形的內角，則sin C＝＝＝，則△ADC的面積為AC·CDsin C＝×4×3×＝6.] 11．(2018·濟南模擬)已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于點D，則的值為________． 6　[在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6或AB＝－2(舍)，則cos∠ABC＝＝，BD＝AB·cos∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝2－＝，所以＝6.] 12．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分線CD把三角形分成面積比為4∶3的兩部分，則cos A＝________.

9、 　[由題意知S△ACD∶S△BCD＝4∶3， 即＝， 化簡得＝ 又＝，所以＝＝ 因為B＝2A，所以＝，化簡得cos A＝.] 三、解答題 13．如圖2-1-10，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P為△ABC內一點，∠BPC＝90°. 圖2-1-10 (1)若PB＝，求PA； (2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA. [解]　(1)由已知得，∠PBC＝60°， 所以∠PBA＝30°. 在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos 30°＝.故PA＝. (2)設∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α. 在△PBA中，由正弦定理得＝

10、， 化簡得cos α＝4sin α. 所以tan α＝，即tan∠PBA＝. (教師備選) 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足(2b－c)cos A＝acos C. (1)求角A的大小； (2)若a＝3，求△ABC周長的最大值． [解]　(1)由(2b－c)cos A＝acos C及正弦定理， 得(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C， ∴2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C， ∴2sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B. ∵B∈(0，π)，∴sin B≠0. ∵A∈(0，π)，cos A＝，∴A＝. (2)由(1)得A＝，由正弦定理得＝＝＝＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C. △ABC的周長l＝3＋2sinB＋2sin ＝3＋2sinB＋2 ＝3＋3sin B＋3cos B ＝3＋6sin. ∵B∈，∴當B＝時，△ABC的周長取得最大值為9.