《2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-1教案：第2章 知識點(diǎn)撥：橢圓的簡單性質(zhì)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-1教案：第2章 知識點(diǎn)撥：橢圓的簡單性質(zhì)（3頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-1教案：第2章 知識點(diǎn)撥：橢圓的簡單性質(zhì) 　　一．基礎(chǔ)知識精講 　　1.橢圓+=1(a＞b＞0)，范圍：橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形里，即｜x｜≤a，｜y｜≤b. 　　2.對稱性：橢圓關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)都是對稱的.坐標(biāo)軸為橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心，即為橢圓的中心. 　　3.頂點(diǎn)：橢園與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)為A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b) 　　4.離心率：e=,(o＜e＜1),e越接近于1，則橢圓越扁；e越接近于0，橢圓就越接近于圓. 　　5.橢圓的第二定義：平面內(nèi)的點(diǎn)到定

2、點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比為常數(shù)e(0＜e＜1)的點(diǎn)的軌跡.定點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)，定直線為橢圓的準(zhǔn)線. 　　6.橢圓的焦半徑公式：設(shè)P(x0,y0)是橢圓+=1(a＞b＞0)上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則｜PF1｜=a+ex0,｜PF2｜=a-ex0. 　　7.橢圓的參數(shù)方程 　　二．命題趨勢分析 　　1.熟練掌握橢圓的第二定義，兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，運(yùn)用它們及參數(shù)間的關(guān)系解決相關(guān)問題. 　　2.必要時(shí)，橢圓方程可設(shè)為mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)，這樣計(jì)算簡潔，還可避免對焦點(diǎn)位置的討論. 　　3.遇到弦的中點(diǎn)問題時(shí)，常用點(diǎn)差法. 　　三．重點(diǎn)

3、難點(diǎn)例析 　　通過“圓的方程”的學(xué)習(xí)我們知道，圓的幾何性質(zhì)問題用代數(shù)的方法解題簡便，計(jì)算量小的特點(diǎn)，同樣，橢圓也有類似的幾何性質(zhì)，那么在學(xué)習(xí)本節(jié)之前要復(fù)習(xí)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，在此基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)，掌握橢圓的性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)方程，及橢圓的第二定義. 　　例1P是橢圓方程為+=1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，試求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范圍. 　　解析：設(shè)｜PF1｜=t,則t∈［a-c,a+c］，即t∈［4-，4+］且｜PF2｜=2a-t=8-t. 　　∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t∈［4-，4+］ 　　當(dāng)t=4時(shí)，取最大值為16

4、， 　　當(dāng)t=4±時(shí)，取最小值為9. 　　∴所求范圍為［9，16］。 　　例2　F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2作一條直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求橢圓的離心率e. 　　解析：如下圖，設(shè)｜PF1｜=t，則｜PQ｜=t，｜F1Q｜=t，由橢圓定義有： 　　｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a， 　　∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a 即(+2)t=4a,t=(4-2)a， 　　∴｜PF2｜=2a-t=(2-2)a， 　　在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=(2c)2， 　　∴［(4-2)a］2+［(2-2)a］2=

5、(2c)2 　　∴=9-6 ∴e==-， 　　例3已知P是橢圓+=1(a＞b＞0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1F2為兩焦點(diǎn)，且F1P⊥F2P，若P到兩準(zhǔn)線的距離分別為6和12，求此橢圓方程. 　　解析：(利用橢圓第二定義求解) 　　∵點(diǎn)P到兩準(zhǔn)線的距離分別是6和12 　　∴2·=6+12 即a2=9c 　　由橢圓第二定義知，e== 　　∵d1=6,d2=12 ∴｜PF1｜=6e,｜PF2｜=12e 　　又∵PF1⊥PF2 ∴｜PF1｜2+｜PF2｜2=｜F1F2｜2 　　∴36e2+144e2=4c2 ∵e= ∴a2=45 　　又a2=9c ∴c=5 ∴b2=a2-c2=

6、20， 　　∴所求橢圓的方程的+=1 　　例4在橢圓3x2+4y2=12上，是否存在相異的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=4x+m對稱并說明理由. 　　解析：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)M(x0,y0)， 　　直線AB：y=-x+t,將AB的方程代入橢圓的方程消去y得，13x2-8tx+16t2-48=0 　　∴△=(-8t)2-4×13×(16t2-48)＞0， 　　∴-＜t＜　?、偾襵1+x2=t 　　又AB的中點(diǎn)M在直線y=4x+m上， 　　∴t=4×t+m ∴t=-m 　　代入①式得：-＜m＜。 　　解法二：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓上關(guān)

7、于直線l:y=4x+m對稱的兩點(diǎn)，則 　　+=1　　①+=1　?、? 　　①-②得+=0 　　∴= 　　而KAB==-， 　　故有=-， 　　設(shè)AB的中點(diǎn)為(x,y)，則有x1+x2=2x,y1+y2=2y， 　　代入即得AB中點(diǎn)的軌跡方程為y=3x. 　　由 　　由于AB的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部 　　∴+＜1m2＜， 　　-＜m＜。 　　故當(dāng)m∈(-，)時(shí)，橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱. 　　例5橢圓=1上不同三點(diǎn)A(x1,y1),B(4, ),C(x2,y2)與焦點(diǎn)F(4，0)的距離成等差數(shù)列. 　　(1)求證：x1+x2=8。 　　(2)若線段AC的垂直平分線與x

8、軸的交點(diǎn)為T，求直線BT的斜率k. 　　解析：由題知a=5,b=3,c=4. 　　(1)由橢圓的第二定義知： 　　=｜AF｜=a-x1=5-x1 　　同理有｜CF｜=5-x2 　　∵｜AF｜+｜CF｜=2｜BF｜ 且｜BF｜= 　　∴(5-x1)+(5-x2)= 　　即x1+x2=8。 　　(2)∵線段AC的中點(diǎn)為(4，)， 　　∴它的垂直平分線方程為y-=(x-4)， 　　又點(diǎn)T在x軸上，設(shè)其坐標(biāo)為(x0,0)，代入上式得，x0-4=　?、? 　　點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)都在橢圓上 　　∴y21=(25-x21),y22=(25-x22)， 　　∴y21-y22=-(x1+x2)(x1-x2)， 　　將此式代入①并利用x1+x2=8得 　　x0-4=-。 　　∴kBT==。