《2022高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破——基本初等函數(shù)：二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破——基本初等函數(shù)：二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破——基本初等函數(shù)：二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案 【考點(diǎn)梳理】 1．二次函數(shù) (1)二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)； 零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn)． (2)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 圖象 定義域 R 值域 單調(diào)性 在上減， 在上增 在上增， 在上減 對(duì)稱(chēng)性 函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－對(duì)稱(chēng) 2．冪函

2、數(shù) (1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． (2)五種常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù) 特征 性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 圖象 定義域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增 (－∞，0)減， (0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)減 公共點(diǎn) (1,1) 【考點(diǎn)突破】 考點(diǎn)一、求二次函數(shù)的解析式 【例1】已

3、知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，則此二次函數(shù)的解析式是 ． [答案] f(x)＝－4x2＋4x＋7 [解析] 法一(利用一般式)： 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由題意得 解得 ∴所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用頂點(diǎn)式)： 設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴拋物線的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝＝. ∴m＝.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，∴n＝8. ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－4

4、2＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用零點(diǎn)式)： 由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1， 故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函數(shù)的最大值是8，即＝8， 解得a＝－4， ∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【類(lèi)題通法】 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是靈活選取二次函數(shù)解析式的形式，選法如下 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，3)，它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，并且對(duì)任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)的解析式是 ． [答案]

5、 f(x)＝x2－4x＋3 [解析] ∵f(2－x)＝f(2＋x)對(duì)x∈R恒成立， ∴f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2. 又∵f(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2， ∴f(x)＝0的兩根為1和3. 設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4，3)， ∴3a＝3，a＝1. ∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 考點(diǎn)二、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【例2】如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)A(－3，0)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1.給出下面四個(gè)結(jié)論： ①b2>4ac；②2a

6、－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正確； 對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②錯(cuò)誤； 結(jié)合圖象知，當(dāng)x＝－1時(shí)，y>0，即a－b＋c>0，③錯(cuò)誤； 由對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1知，b＝2a，又函數(shù)圖象開(kāi)口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a0

7、，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　) [答案] D [解析] A項(xiàng)，∵a<0，－<0，∴b<0.又∵abc>0，∴c>0，由圖知f(0)＝c<0，故A錯(cuò)；B項(xiàng)，∵a<0，－>0，∴b>0，又∵abc>0，∴c<0，而f(0)＝c>0，故B錯(cuò)；C項(xiàng)，∵a>0，－<0，∴b>0，又∵abc>0，∴c>0，而f(0)＝c<0，故C錯(cuò)；D項(xiàng)，∵a>0，－>0，∴b<0，又∵abc>0，∴c<0，由圖知f(0)＝c<0，故選D. 【例3】已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，1]上的最大值為2，則a的值為(　　) A．2 B．－1或－

8、3 C．2或－3 D．－1或2 [答案] D [解析] 函數(shù)f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝a，且開(kāi)口向下，分三種情況討論如下： ①當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)， ∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1. ②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，a]上是增函數(shù)，在[a，1]上是減函數(shù)， ∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1， 由a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝.∵0＜a≤1，∴兩個(gè)值都不滿足，

9、舍去． ③當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)， ∴f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝2，∴a＝2. 綜上可知，a＝－1或a＝2. 【類(lèi)題通法】 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，則二次函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情況： 對(duì)稱(chēng)軸 與區(qū)間 的關(guān)系 m

10、{f(n)，f(m)}， f(x)min＝f f(x)max＝f(n)， f(x)min＝f(m) 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函數(shù)f(x)的最小值． [解析] (1)當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝－2x在[0，1]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2－2x的圖象的開(kāi)口方向向上，且對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝. ①當(dāng)≤1，即a≥1時(shí)，f(x)＝ax2－2x的圖象對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間[0，1]內(nèi)， ∴f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴f(x)min＝f＝－＝－. ②當(dāng)>1，即0

11、2－2x的圖象對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間[0，1]的右側(cè)， ∴f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝f(1)＝a－2. (3)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax2－2x的圖象的開(kāi)口方向向下，且對(duì)稱(chēng)軸x＝<0，在y軸的左側(cè)， ∴函數(shù)f(x)＝ax2－2x在[0，1]上單調(diào)遞減． ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. 綜上所述f(x)min＝ 【例4】已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． [答案] [解析] 由題意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立． 當(dāng)x＝0時(shí)，適合； 當(dāng)x≠0時(shí)，a＜2

12、－. 因?yàn)椤?－∞，－1]∪[1，＋∞)，當(dāng)x＝1時(shí)，右邊取最小值，所以a＜. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 【類(lèi)題通法】 求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問(wèn)題，其本質(zhì)是最值問(wèn)題，往往先對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化： (1)判別式法轉(zhuǎn)化 ①ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要條件是 ②ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要條件是 (2)分離變量法轉(zhuǎn)化 不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立，等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min>A，接下來(lái)求出函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的最小值；不等式f(x)

13、 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，若對(duì)一切x∈，f(x)>0都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A． B． C． D． [答案] B [解析] 由題意得，對(duì)一切x∈，f(x)>0都成立，即a>＝－＋＝－22＋在x∈上恒成立，而－22＋≤，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 考點(diǎn)三、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【例5】?jī)绾瘮?shù)y＝x (m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 [答案] C [解析] 從圖象上看，由于圖象不過(guò)原點(diǎn)，且在第一象

14、限下降，故m2－2m－3<0，即－1

15、____． [答案] 1 [解析] ∵f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. 又m∈N*，∴m＝1或m＝2. 由于f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)． ∴m2－2m－3的值應(yīng)為偶數(shù)， 又當(dāng)m＝2時(shí)，m2－2m－3為奇數(shù)， ∴m＝2舍去．因此m＝1. 【例6】設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是_____________． [答案] a>c>b [解析] ∵y＝x (x>0)為增函數(shù)，∴a>c.∵y＝x(x∈R)為減函數(shù)，∴c>b.∴a>c>b. 【類(lèi)題通法】 冪值大小比較的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略 (1)同底不同指，可以利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較． (2)同指不同底，可以利用冪函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較． (3)既不同底又不同指，常常找到一個(gè)中間值，通過(guò)比較兩個(gè)冪值與中間值的大小來(lái)判斷兩個(gè)冪值的大小． 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 已知a＝2，b＝4，c＝25，則(　　) A．b