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1、2022屆高考數(shù)學總復習 第九單元 解析幾何 第56講 圓的方程檢測 1．圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的方程是(A) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 線段AB的垂直平分線為y＝－3， 由解得 所以圓C的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 2．點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是(A) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)

2、2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 設圓上任一點為A(x1，y1)，則x＋y＝4，PA連線中點的坐標為(x，y)， 則即 代入x＋y＝4，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 3．圓(x－1)2＋y2＝2關于直線x－y＋1＝0對稱的圓的方程是(C) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝ B．(x－1)2＋(y＋2)2＝ C．(x＋1)2＋(y－2)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝2 圓心(1,0)關于直線x－y＋1＝0的對稱點是(－1,2)， 所以圓的方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝2. 4．(2017·湖南長沙二模)圓x2＋y2－2x－2

3、y＋1＝0上的點到直線x－y＝2距離的最大值是(A) A．1＋ B．2 C．1＋ D．2＋2 將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，半徑為1. 則圓心到直線x－y＝2的距離d＝＝， 故圓上的點到直線x－y＝2的最大值為d＋1＝＋1. 5．(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是　(－2，－4)　，半徑是　5　. 由二元二次方程表示圓的條件可得a2＝a＋2， 解得a＝2或－1. 當a＝2時，方程為4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得(x＋)2＋

4、(y＋1)2＝－<0，不表示圓； 當a＝－1時，方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，則圓心坐標為(－2，－4)，半徑是5. 6．若直線ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始終平分圓： x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長，則＋的最小值為　3＋2　. 由條件知直線過圓心(2,1)， 所以2a＋2b－2＝0，即a＋b＝1. 所以＋＝(＋)·(a＋b)＝3＋＋≥3＋2. 當且僅當＝，即a＝－1，b＝2－時，等號成立． 所以＋的最小值為3＋2. 7．(2016·廣東佛山六校聯(lián)考)圓C過不同的三點P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知

5、圓C在點P處的切線斜率為1，求圓C的方程． 設圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 則k,2為x2＋Dx＋F＝0的兩根， 所以k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F(xiàn)＝2k， 又圓C過R(0,1)，故1＋E＋F＝0，所以E＝－2k－1. 故所求圓方程為x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0， 圓心坐標為(，)． 因為圓C在P處的切線斜率為1， 所以kCP＝－1＝，所以k＝－3. 所以D＝1，E＝5，F(xiàn)＝－6. 所以圓的方程為x2＋y2＋x＋5y－6＝0. 8．過點P(1,1)的直線將圓形區(qū)域{(x，y)|x2＋y2≤4}分成兩部分，使這

6、兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為(A) A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0 C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0 當圓心與P的連線和過點P的直線垂直時，符合題意． 因為圓心O與P的連線的斜率為1， 所以過點P垂直于OP的直線方程為x＋y－2＝0. 9．(2017·天津卷)設拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC＝120°，則圓的方程為　(x＋1)2＋(y－)2＝1　. 　　 由y2＝4x可得點F的坐標為(1,0)，準線l的方程為x＝－1. 由圓心C在l上，且圓C與y軸正半軸相切(如圖)， 可得點

7、C的橫坐標為－1，圓的半徑為1，∠CAO＝90°. 又因為∠FAC＝120°， 所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝， 所以點C的縱坐標為. 所以圓的方程為(x＋1)2＋(y－)2＝1. 10．已知點P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上． (1)求的最大值和最小值； (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值與最小值． (1)圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0整理得(x－3)2＋(y－3)2＝4. 所以圓心C(3,3)，半徑r＝2. 設k＝，即kx－y＝0(x≠0)， 則圓心到直線的距離d≤r，即≤2， 整理得5k2－18k＋5≤0，解得≤k≤. 故的最大值為，最小值為. (2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，表示點P(x，y)到點A(－1,0)的距離的平方加上2， 連接AC，交圓C于點B，延長AC，交圓C于D，則圓C上的點到A的距離中，AB最短，為|AC|－r＝－2＝3； AD最長，為|AC|＋r＝7， 故x2＋y2＋2x＋3的最大值為72＋2＝51，最小值為32＋2＝11.