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1、（全國通用版）2022年高考數學一輪復習 選考部分 坐標系與參數方程 課時分層作業(yè)七十四 2 參數方程 理 1.(10分)將下列參數方程化為普通方程. (1) (2) 【解析】(1)①當x≠0時,因為將兩式相除可得k=,將k=代入x=可得x=, 所以4x2+y2-6y=0. ②當x=0時,y=0,經檢驗,點(0,0)滿足上式,又無論k取何值y≠6,故所求普通方程是4x2+y2-6y=0(y≠6). (2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ =2-(1-sin 2θ),得y2=2-x. 又因為x=1-sin 2θ∈[0,2], 所以所求普通方程為y2=2-x,x

2、∈[0,2]. 2.(10分)若直線(t是參數)與圓(θ是參數)相切,求直線的傾斜角α. 【解析】直線(t是參數)的普通方程 為y=xtan α. 圓(θ是參數)的普通方程 為(x-4)2+y2=4, 由于直線與圓相切,則=2, 即tan 2α=,解得tan α=±, 由于α∈[0,π),故α=或. 3.(10分)(2017·江蘇高考)在平面坐標系xOy中,已知直線l的參數方程為(t為參數),曲線C的參數方程為(s為參數).設P為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值. 【解析】直線l的普通方程為x-2y+8=0. 因為點P在曲線C上,設P(2s2,2s), 從

3、而點P到直線l的距離 d==, 當s=時,dmin=. 因此當點P的坐標為(4,4)時,曲線C上的點P到直線l的距離取到最小值. 【變式備選】(2018·南昌模擬)已知極坐標的極點在平面直角坐標系的原點O處,極軸與x軸的非負半軸重合,且長度單位相同.直線l的極坐標方程為: ρsin =10,曲線C:( α為參數),其中 α∈[0,2π). (1)試寫出直線l的直角坐標方程及曲線C的普通方程. (2)若點P為曲線C上的動點,求點P到直線l距離的最大值. 【解析】(1)因為ρsin =10, 所以ρsin θ-ρcos θ=10,所以直線l的直角坐標方程為x-y+10=0. 曲線

4、C:( α為參數),消去參數可得曲線C的普通方程為x2+(y-2)2=4. (2)由(1)可知,x2+(y-2)2=4的圓心為(0,2),半徑為2. 圓心到直線l的距離為d==4,所以點P到直線l距離的最大值為4+2. 4.(10分)(2018·福州模擬)已知曲線C的極坐標方程是ρ-6cos θ+2sin θ+=0,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,在平面直角坐標系xOy中,直線l經過點P(3,3),傾斜角α=. (1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數方程. (2)設l與曲線C相交于A,B兩點,求|AB|的值. 【解析】(1)曲線C化為ρ2

5、-6ρcos θ+2ρsin θ+1=0, 再化為直角坐標方程為x2+y2-6x+2y+1=0, 化為標準方程為(x-3)2+(y+1)2=9, 直線l的參數方程為 即(t為參數), (2)將l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程,整理得t2+4t+7=0, Δ=(4)2-4×7=20>0,則t1+t2=-4,t1t2=7,所以|AB|=|t1-t2|==2. 5.(10分)(2016·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,圓C的方程為(x+6)2+y2=25. (1)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求圓C的極坐標方程. (2)直線l的參數方程是(t為參數),l與C

6、交于A,B兩點,|AB|=,求l的斜率. 【解析】(1)整理圓的方程得x2+y2+12x+11=0, 由可知圓C的極坐標方程為 ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)由題意可得直線過原點且斜率存在, 記直線的斜率為k,則直線的方程為kx-y=0, 由垂徑定理及點到直線距離公式知: =, 即=,整理得k2=,則k=±. 6.(10分)(2018·福州模擬)在極坐標系中,曲線C1:ρsin 2θ=4cos θ,以極點為坐標原點,極軸為x軸正半軸建立直角坐標系xOy,曲線C2的參數方程為:,曲線C:(t為參數). (1)求C1的直角坐標方程. (2)C與C1相交于點A,B

7、,與C2相切于點Q,求的值. 【解析】(1)因為x=ρcos θ,y=ρsin θ, 由ρsin 2θ=4cos θ得ρ2sin2θ=4ρcos θ,所以曲線C1的直角坐標方程為:y2=4x. (2)設Q(cos θ,sin θ),易知直線C的斜率k=, 所以kOQ=-,即=tan θ=-. 所以θ=-,故Q, 取x0=,y0=-,不妨設A,B對應的參數分別為t1,t2, 把代入y2=4x, 化簡得3t2-(8+2)t-8+1=0, 易知Δ>0,t1+t2=. 所以||AQ|-|BQ||=|t1+t2|=. 【變式備選】(2016·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中,曲線C1

8、的參數方程為( α為參數),以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsin =2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程. (2)設點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標. 【解析】(1)由得+y2=1. 因為ρsin =ρsin θ+ρcos θ =2, 所以x+y=4.所以C1的普通方程為+y2=1,C2的直角坐標方程為x+y=4. (2)由題意,可設點P的直角坐標為 ,因為C2是直線,所以的最小值即為P到C2的距離d( α)的最小值,d( α)= =. 當且僅當 α=2kπ+(k∈Z)時,d( α)取得最小值,最小值為,此時P的直角坐標為.