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(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(三十一)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 文

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1、(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(三十一)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 文 對點(diǎn)練(一) 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 1.(2018·青島月考)若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組則該約束條件所圍成的平面區(qū)域的面積是(  ) A.3 B. C.2 D.2 解析:選C 因?yàn)橹本€x-y=-1與x+y=1互相垂直,所以如圖所示的可行域?yàn)橹苯侨切危? 易得A(0,1),B(1,0),C(2,3), 故|AB|=,|AC|=2, 所以其面積為×|AB|×|AC|=2. 2.在平面直角坐標(biāo)系中,若不等式組表示一個(gè)三角形區(qū)域,則實(shí)數(shù)k的取值范圍

2、是(  ) A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:選A 易知直線y=k(x-1)-1過定點(diǎn)(1,-1),畫出不等式組表示的可行域示意圖,如圖所示. 當(dāng)直線y=k(x-1)-1位于y=-x和x=1兩條虛線之間時(shí),表示的是一個(gè)三角形區(qū)域.所以直線y=k(x-1)-1 的斜率的范圍為(-∞,-1),即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-∞,-1). 3.(2018·山西臨汾一中月考)不等式y(tǒng)(x+y-2)≥0在平面直角坐標(biāo)系中表示的區(qū)域(用陰影部分表示)是(  ) 解析:選C 由y(x+y-2)≥0,得或所以不等式y(tǒng)(x+y-2)≥0在

3、平面直角坐標(biāo)系中表示的區(qū)域是C項(xiàng). 4.(2018·河北卓越聯(lián)盟聯(lián)考)已知點(diǎn)(-3,-1)和(4,-6)在直線3x-2y-a=0的兩側(cè),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(  ) A.(-7,24) B.(-∞,-7)∪(24,+∞) C.(-24,7) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) 解析:選A 由題意可知(-9+2-a)(12+12-a)<0,所以(a+7)·(a-24)<0,所以 -7

4、過定點(diǎn)D(-1,0),作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影所示,當(dāng)m=0時(shí),直線為x=-1,此時(shí)直線和平面區(qū)域沒有公共點(diǎn),故m≠0.x+my+1=0的斜截式方程為y=-x-,斜率k=-. 要使直線和平面區(qū)域有公共點(diǎn),則直線x+my+1=0的斜率k>0,即k=->0,即m<0,且滿足kCD≤k≤kAD. 由解得即C(2,1),CD的斜率kCD==.由解得即A(2,4),AD的斜率kAD==,即≤k≤,則≤-≤,解得 -3≤m≤-,故選D. 對點(diǎn)練(二) 簡單的線性規(guī)劃問題 1.(2018·河南八市重點(diǎn)高中聯(lián)考)已知△ABC中,A(1,1),B(1,3),C(1+,2),若點(diǎn)(x,y)在三

5、角形內(nèi)部(不包含邊界),則z=-2x+y的取值范圍是(  ) A.(-,-1) B.(-1,1) C.(-2,1) D.(-1,) 解析:選C 如圖,畫出三角形ABC,其內(nèi)部即為可行域.當(dāng)直線y=2x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),zmax=-2+3=1,經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),zmin=-2×(1+)+2=-2.故選C. 2.(2017·河南鄭州二模)若實(shí)數(shù)x,y滿足且z=2x+y的最小值為4,則實(shí)數(shù)b的值為(  ) A.1 B.2 C. D.3 解析:選D 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影所示,由圖可知z=2x+y在點(diǎn)A處取得最小值,且由解得∴A(1,2). 又由題意可知A在直線y=-x+b上,

6、 ∴2=-1+b,解得b=3,故選D. 3.(2018·山東泰安檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn),已知點(diǎn)A(-1,2),則直線AM斜率的最小值為(  ) A.- B.-2 C.0 D. 解析:選B 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖四邊形OBCD及其內(nèi)部,其中B(2,0),C(4,6),D(0,2). 點(diǎn)A(-1,2),當(dāng)M位于O時(shí),AM的斜率最?。藭r(shí)AM的斜率k==-2,故選B. 4.(2018·四川南充高中模擬)若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件則z=的最大值為________. 解析:作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示.z=的幾何意義是可行域內(nèi)的

7、點(diǎn)與點(diǎn)D(-1,0)連線的斜率,由圖象知直線AD的斜率最大.由得所以A(1,3),此時(shí)z==,即為要求的最大值. 答案: 5.(2018·湖北黃石模擬)已知變量x,y滿足約束條件則z=x-2y的最大值為________. 解析:作出不等式組表示的可行域如圖所示,因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)y=-的斜率小于y=x-1的斜率, 所以目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(1,0)時(shí),縱截距-取到最小值,此時(shí)z取到最大值為z=1-0=1. 答案:1 6.(2018·吉林省吉林市普通高中調(diào)研)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(-1,1),若點(diǎn)M(x,y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則·的取值范圍是________. 解析:由題中的線性約束條

8、件作出可行域,如圖.其中C(0,2),B(1,1),D(1,2).由z=·=-x+y,得y=x+z.由圖可知,當(dāng)直線y=x+z分別過點(diǎn)C和B時(shí),z分別取得最大值2和最小值0,所以·的取值范圍為[0,2]. 答案:[0,2] 對點(diǎn)練(三) 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 1.(2018·江西上饒模擬)甲、乙兩工廠根據(jù)賽事組委會(huì)要求為獲獎(jiǎng)?wù)叨ㄗ瞿彻に嚻纷鳛楠?jiǎng)品,其中一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品3件,二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品6件;制作一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品所用原料完全相同, 但工藝不同,故價(jià)格有所差異.甲廠收費(fèi)便宜,但原料有限,最多只能制作4件獎(jiǎng)品,乙廠原料充足,但收費(fèi)較貴.兩廠具體收費(fèi)如下表所示,則組委會(huì)定做獎(jiǎng)品的費(fèi)用最低為_______

9、_元. 獎(jiǎng)品 工廠 一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品 二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品 甲 500 400 乙 800 600 解析:設(shè)甲廠生產(chǎn)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品x件,二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品y件,x,y∈N,則乙廠生產(chǎn)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品3-x件,二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品6-y件.由題意得x和y滿足設(shè)所需費(fèi)用為z元,則z=500x+400y+800(3-x)+600(6-y)=-300x-200y+6 000. 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分的整點(diǎn)所示. 平移直線-300x-200y=0,即y=-x,由圖知當(dāng)直線z=-300x-200y+6 000,即y=-x+30-經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線的縱截距最大,z最小.由解得即A(3,

10、1),滿足x∈N,y∈N,所以組委會(huì)定做獎(jiǎng)品的費(fèi)用最低為z=-300×3-200+6 000=4 900,故由甲廠生產(chǎn)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品3件,二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品1件,其余都由乙廠生產(chǎn),所需費(fèi)用最低,最低費(fèi)用為4 900元. 答案:4 900 2.A,B兩種規(guī)格的產(chǎn)品需要在甲、乙兩臺機(jī)器上各自加工一道工序才能成為成品.已知A產(chǎn)品需要在甲機(jī)器上加工3小時(shí),在乙機(jī)器上加工1小時(shí);B產(chǎn)品需要在甲機(jī)器上加工1小時(shí),在乙機(jī)器上加工3小時(shí).在一個(gè)工作日內(nèi),甲機(jī)器至多只能使用11小時(shí),乙機(jī)器至多只能使用9小時(shí).A產(chǎn)品每件利潤300元,B產(chǎn)品每件利潤400元,則這兩臺機(jī)器在一個(gè)工作日內(nèi)創(chuàng)造的最大利潤是________元.

11、 解析:設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件,B產(chǎn)品y件,則x,y滿足約束條件生產(chǎn)利潤為z=300x+400y.作出可行域,如圖中陰影部分(包含邊界)內(nèi)的整點(diǎn),顯然z=300x+400y在點(diǎn)M或其附近的整數(shù)點(diǎn)處取得最大值, 由方程組解得則zmax =300×3+400×2=1 700.故最大利潤是1 700元. 答案:1 700 [大題綜合練——遷移貫通] 1.已知D是以點(diǎn)A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域 (包括邊界與內(nèi)部).如圖所示. (1)寫出表示區(qū)域D的不等式組. (2)設(shè)點(diǎn)B(-1,-6),C(-3,2)在直線4x-3y-a=0的異側(cè),求a的取值范圍.

12、 解:(1)直線AB,AC,BC的方程分別為7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.原點(diǎn)(0,0)在區(qū)域D內(nèi),故表示區(qū)域D的不等式組為 (2)根據(jù)題意有[4×(-1)-3×(-6)-a][4×(-3)-3×2-a]<0, 即(14-a)(-18-a)<0,解得-18<a<14. 故a的取值范圍是(-18,14). 2.若x,y滿足約束條件 (1)求目標(biāo)函數(shù)z=x-y+的最值; (2)若目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值,求a的取值范圍. 解:(1)作出可行域如圖,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0). 平移初始直線x-y+=0,

13、可知z=x-y+,過A(3,4)時(shí)取最小值-2, 過C(1,0)時(shí)取最大值1. 所以z的最大值為1,最小值為-2. (2)直線ax+2y=z僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值,由圖象可知-1<-<2,解得-4<a<2. 故所求a的取值范圍為(-4,2). 3.(2016·天津高考)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,需要A,B,C三種主要原料.生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示: 原料 肥料    A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 現(xiàn)有A種原料200噸,B種原料360噸,C種原料300噸.在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料.

14、已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料,產(chǎn)生的利潤為2萬元;生產(chǎn)1車皮乙種肥料,產(chǎn)生的利潤為3萬元.分別用x,y表示計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù). (1)用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域; (2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮,能夠產(chǎn)生最大的利潤?并求出此最大利潤. 解:(1)由已知,x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D①中的陰影部分. (2)設(shè)利潤為z萬元,則目標(biāo)函數(shù)為z=2x+3y. 考慮z=2x+3y,將它變形為y=-x+,它的圖象是斜率為-,隨z變化的一族平行直線,為直線在 y軸上的截距,當(dāng)取最大值時(shí),z的值最大.根據(jù)x,y滿足的約束條件,由圖②可知,當(dāng)直線z=2x+3y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí),截距最大,即z最大. 解方程組得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(20,24), 所以zmax=2×20+3×24=112. 答:生產(chǎn)甲種肥料20車皮,乙種肥料24車皮時(shí)利潤最大,且最大利潤為112萬元.

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