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(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達(dá)標(biāo)檢測(四十一)古典概型命題2類型——簡單問題、交匯問題 文

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1、(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達(dá)標(biāo)檢測(四十一)古典概型命題2類型——簡單問題、交匯問題 文 一、選擇題 1.(2017·天津高考)有5支彩筆(除顏色外無差別),顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(  ) A.          B. C. D. 解析:選C 從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,有10種不同取法:(紅,黃),(紅,藍(lán)),(紅,綠),(紅,紫),(黃,藍(lán)),(黃,綠),(黃,紫),(藍(lán),綠),(藍(lán),紫),(綠,紫).而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅,黃),(紅,藍(lán)),(紅

2、,綠),(紅,紫),共4種,故所求概率P==. 2.先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子,則兩次朝上的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的概率為(  ) A. B. C. D. 解析:選C 骰子的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6,先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子, 設(shè)基本事件為(x,y),共有6×6=36個(gè), 記兩次點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的事件為A, 有(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5) 共9個(gè), 所以兩次朝上的點(diǎn)數(shù)之積為奇數(shù)的概率為P(A)==. 3.(2018·豫東名校聯(lián)考)在集合A={2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m,在集合B={1,2,3}中隨機(jī)

3、取一個(gè)元素n,得到點(diǎn)P(m,n),則點(diǎn)P在圓x2+y2=9內(nèi)部的概率為(  ) A. B. C. D. 解析:選B 點(diǎn)P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)6種情況,只有(2,1),(2,2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2+y2=9的內(nèi)部,所求概率為=. 4.(2018·泉州質(zhì)檢)一個(gè)三位自然數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a,b,c,當(dāng)且僅當(dāng)a>b,b<c時(shí),稱該三位自然數(shù)為“凹數(shù)”(如213,312等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,則這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是(  ) A. B.

4、C. D. 解析:選C 由1,2,3組成的三位自然數(shù)為123,132,213,231,312,321,共6個(gè); 同理由1,2,4組成的三位自然數(shù)共6個(gè);由1,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個(gè); 由2,3,4組成的三位自然數(shù)也是6個(gè).所以共有4×6=24個(gè). 當(dāng)b=1時(shí),有214,213,312,314,412,413,共6個(gè)“凹數(shù)”; 當(dāng)b=2時(shí),有324,423,共2個(gè)“凹數(shù)”. 所以這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P==. 5.從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng),每天一人,則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為(  ) A.

5、 B. C. D. 解析:選A 設(shè)2名男生記為A1,A2,2名女生記為B1,B2,任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng),共有A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2,A2A1,B1A1,B2A1,B1A2,B2A2,B2B1 12種情況,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2 4種情況,則發(fā)生的概率為P==. 6.甲盒子裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的4張卡片,乙盒子裝有分別標(biāo)有數(shù)字2,5的2張卡片,若從兩個(gè)盒子中各隨機(jī)地取出1張卡片,則2張卡片上的數(shù)字為相鄰數(shù)字的概率為(  ) A. B

6、. C. D. 解析:選B 從兩個(gè)盒子中各隨機(jī)地取出1張卡片,有(1,2),(1,5),(2,2),(2,5),(3,2),(3,5),(4,2),(4,5),共8種不同的取法,其中數(shù)字為相鄰數(shù)字的取法有(1,2),(3,2),(4,5),共3種不同的取法,所以所求概率P=. 7.拋擲質(zhì)地均勻的甲、乙兩顆骰子,設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為a,b,則<|b-a2|<6-a成立的概率為(  ) A. B. C. D. 解析:選C 由題意知(a,b)的所有可能情況為(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,4),(6,5),(6,6),共36種, 設(shè)“<|b-a2|<6-a

7、成立”為事件A, 則事件A包括(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,6),共7種, 故P(A)=. 8.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b2x+1,若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為(  ) A. B. C. D. 解析:選D 對函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)=x2+2ax+b2, 要滿足題意需x2+2ax+b2=0有兩個(gè)不等實(shí)根, 即Δ=4(a2-b2)>0,即a>b. 又(a,b)的取法共有9種, 其中滿足a>b的有(1,0),(2,0),(2,1),(3

8、,0),(3,1),(3,2),共6種, 故所求的概率P==. 二、填空題 9.先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,骰子落地后面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x,y,則log2xy=1的概率為________. 解析:根據(jù)題意,每枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)都有6種情況,則(x,y)的情況有6×6=36(種). 若log2xy=1,則y=2x,其情況有(1,2),(2,4),(3,6),共3種, 所以log2xy=1的概率P==. 答案: 10.從-1,0,1,3,4這五個(gè)數(shù)中任選一個(gè)數(shù)記為a,則使曲線y=的圖象在第一、三象限,且滿足不等式組無解的概率為________. 解析:曲線y=的圖象在第一、三象限,

9、且滿足不等式組無解,即7-3a>0且a≤3,所以a<,所以a可取-1,0,1,由古典概型的概率公式,得P=. 答案: 11.從-=1(其中m,n∈{-1,2,3})所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)方程中任取一個(gè),則此方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程的概率為________. 解析:當(dāng)方程-=1表示橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線時(shí),不能有m<0,n>0,所以方程-=1表示橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的(m,n)有(2,-1),(3, -1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(-1,-1),共7種,其中表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí),m>0,n>0,有(2,

10、2),(2,3),(3,2),(3,3),共4種,所以所求概率P=. 答案: 12.設(shè)集合A={0,1,2},B={0,1,2},分別從集合A和B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b,確定平面上一個(gè)點(diǎn)P(a,b),設(shè)“點(diǎn)P(a,b)落在直線x+y=n上”為事件Cn(0≤n≤4,n∈N),若事件Cn的概率最大,則n的值為________. 解析:由題意知,點(diǎn)P的坐標(biāo)的所有情況為(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),共9種. 當(dāng)n=0時(shí),落在直線x+y=0上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0),共1種; 當(dāng)n=1時(shí),落在直線x+y=1上的點(diǎn)的坐標(biāo)為

11、(0,1)和(1,0),共2種; 當(dāng)n=2時(shí),落在直線x+y=2上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1),(2,0),(0,2),共3種; 當(dāng)n=3時(shí),落在直線x+y=3上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),(2,1),共2種; 當(dāng)n=4時(shí),落在直線x+y=4上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2),共1種. 因此,當(dāng)Cn的概率最大時(shí),n=2. 答案:2 三、解答題 13.有一枚正方體骰子,六個(gè)面分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5,6,規(guī)定拋擲該枚骰子得到的數(shù)字是拋擲后面向上的那一個(gè)數(shù)字.已知b和c是先后拋擲該枚骰子得到的數(shù)字,函數(shù)f(x)=x2+bx+c(x∈R). (1)若先拋擲骰子得到的數(shù)字是3,求再次拋擲骰子時(shí),函數(shù)

12、y=f(x)有零點(diǎn)的概率; (2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-3,+∞)上是增函數(shù)的概率. 解:(1)記“函數(shù)f(x)=x2+bx+c(x∈R)有零點(diǎn)”為事件A, 由題意知,b=3,c=1,2,3,4,5,6, ∴所有的基本事件為(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),共6個(gè). 當(dāng)函數(shù)f(x)=x2+bx+c(x∈R)有零點(diǎn)時(shí),方程x2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根, 即Δ=b2-4c≥0,∴c≤,∴c=1或2, 即事件A包含2個(gè)基本事件, ∴函數(shù)f(x)=x2+bx+c(x∈R)有零點(diǎn)的概率P(A)==. (2)由題意可知,所有的基本事件為(1,1)

13、,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,5),(6,6),共36個(gè). 記“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-3,+∞)上是增函數(shù)”為事件B. ∵y=f(x)的圖象開口向上, ∴要想使函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-3,+∞)上是增函數(shù), 只需-≤-3即可,解得b≥6,∴b=6. ∴事件B包含的基本事件有6個(gè). ∴函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-3,+∞)上是增函數(shù)的概率P(B)==. 14.學(xué)校組織學(xué)生參加某項(xiàng)比賽,參賽選手必須有很好的語言表達(dá)能力和文字組織能力.學(xué)校對10位已入圍的學(xué)生進(jìn)行語言表達(dá)能力和文字組織能力的測試,測試成績分為A,B,C三個(gè)等級,

14、其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:    語言表達(dá)能力 文字組織能力    A B C A 2 2 0 B 1 a 1 C 0 1 b 由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,只知道從這10位參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位,抽到語言表達(dá)能力或文字組織能力為C的學(xué)生的概率為. (1)求a,b的值; (2)從測試成績均為A或B的學(xué)生中任意抽取2位,求其中至少有一位語言表達(dá)能力或文字組織能力為A的學(xué)生的概率. 解:(1)依題意可知,語言表達(dá)能力或文字組織能力為C的學(xué)生共有(b+2)人, 所以=,a+b=3,解得b=1,a=2. (2)測試成績均為A或B的學(xué)生共有7人,其中語言表達(dá)能力和

15、文字組織能力均為B的有2人,設(shè)為b1,b2,其余5人設(shè)為a1,a2,a3,a4,a5. 則基本事件空間Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2), (a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2), (a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)}. 所以基本事件空間總數(shù)為21. 選出的2人語言表達(dá)能力和文字組織能力均為B的有(b1,b2). 所以至少有一位語言表達(dá)能力或文字組織能

16、力為A的學(xué)生的概率P=1-=. 1.若x∈A的同時(shí),還有∈A,則稱A是“好搭檔集合”,在集合B=的所有非空子集中任選一集合,則該集合是“好搭檔集合”的概率為(  ) A. B. C. D. 解析:選A 由題意可得,集合B的非空子集有25-1=31個(gè),其中是“好搭檔集合”的有:{1},,,,,,,共7個(gè),所以該集合是“好搭檔集合”的概率為P=. 2.某企業(yè)員工500人參加“學(xué)雷鋒”活動(dòng),按年齡分組所得頻率分布直方圖如圖所示. (1)下表是年齡的頻數(shù)分布表,求出表中a,b的值; 組別 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50]

17、 人數(shù) 50 50 a 150 b (2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人,則年齡在第1,2,3組的各抽取多少人? (3)在第(2)問的前提下,從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)活動(dòng),求至少有1人年齡在第3組的概率. 解:(1)由圖可知,年齡在[35,40)間的頻率為0.08×5=0.4,年齡在[45,50)間的頻率為0.02×5=0.1, 故a=0.4×500=200,b=0.1×500=50. (2)由(1)及表中數(shù)據(jù)知抽取的1,2,3組的人數(shù)比為1∶1∶4,故1,2,3組抽取的人數(shù)分別為1,1,4. (3)設(shè)第1組的人為A,第2組的人為B,第3組的人為c,d,e,f.現(xiàn)在隨機(jī)抽取6人,則所有的抽取方法為AB,Ac,Ad,Ae,Af,Bc,Bd,Be,Bf,cd,ce,cf,de,df,ef共15種.記事件E為“至少有1人來自第3組”,則P(E)=1-=.

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