《(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)(二十三)等差數(shù)列的3考點(diǎn)——求項(xiàng)、求和及判定 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)(二十三)等差數(shù)列的3考點(diǎn)——求項(xiàng)、求和及判定 文(7頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)(二十三)等差數(shù)列的3考點(diǎn)——求項(xiàng)、求和及判定 文
一、選擇題
1.(2018·廈門一中測(cè)試)已知數(shù)列{an}中,a2=,a5=,且是等差數(shù)列,則 a7=( )
A. B.
C. D.
解析:選D 設(shè)等差數(shù)列的公差為d,
則=+3d,即=+3d,解得d=2,
所以=+5d=12,解得a7=.
2.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有金箠,長(zhǎng)五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金箠,長(zhǎng)五尺,一頭粗,一頭細(xì),在粗的一端截下1尺,重4斤,在細(xì)
2、的一端截下1尺,重2斤,問依次每一尺各重多少斤?”根據(jù)上題的已知條件,若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的,問第二尺與第四尺的重量之和為( )
A.6斤 B.9斤
C.9.5斤 D.12斤
解析:選A 依題意,金箠由粗到細(xì)各尺的重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,
設(shè)首項(xiàng)a1=4,則a5=2.
由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2+a4=a1+a5=6,
所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤.
3.(2018·銀川一中月考)在等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1>0,公差d≠0,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),有下列命題:
①若S3=S11,則必有S14=0;
②若S3=S11,則必有S7是Sn中的最大項(xiàng);
③若S7>
3、S8,則必有S8>S9;
④若S7>S8,則必有S6>S9.
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:選D 對(duì)于①,若S11-S3=4(a1+a14)=0,即a1+a14=0,則S14==0,所以①正確;
對(duì)于②,當(dāng)S3=S11時(shí),易知a7+a8=0,又a1>0,d≠0,所以a7>0>a8,故S7是Sn中的最大項(xiàng),所以②正確;
對(duì)于③,若S7>S8,則a8<0,那么d<0,可知a9<0,此時(shí)S9-S8<0,即S8>S9,所以③正確;
對(duì)于④,若S7>S8,則a8<0,S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,即S6>S9,所以④正確.故選D.
4、4.(2018·大同模擬)在等差數(shù)列中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,則此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于( )
A.290 B.300
C.580 D.600
解析:選B 由a1+a2+a3=3a2=3,得a2=1.
由a18+a19+a20=3a19=87,得a19=29,
所以S20==10(a2+a19)=300.
5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S9=18,an-4=30(n>9),若Sn=336,則n的值為( )
A.18 B.19
C.20 D.21
解析:選D 因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,
所以S9=9a5=18,a5=2,
S
5、n===×32=16n=336,
解得n=21.
6.設(shè){an}是等差數(shù)列,d是其公差,Sn是其前n項(xiàng)和,且S5S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.d<0
B.a(chǎn)7=0
C.S9>S5
D.當(dāng)n=6或n=7時(shí)Sn取得最大值
解析:選C 由S50.同理由S7>S8,得a8<0.又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,∴B正確;∵d=a7-a6<0,∴A正確;而C選項(xiàng),S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,由結(jié)論
6、a7=0,a8<0,知C選項(xiàng)錯(cuò)誤;∵S5S8,∴結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特性可知D正確.故選C.
7.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若公差d>0,(S8-S5)(S9-S5)<0,則( )
A.|a7|>|a8| B.|a7|<|a8|
C.|a7|=|a8| D.|a7|=0
解析:選B 因?yàn)?S8-S5)(S9-S5)<0,
所以(a6+a7+a8)(a6+a7+a8+a9)<0,
因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,
所以a6+a7+a8=3a7,
a6+a7+a8+a9=2(a7+a8),
所以a7(a7+a8)<0,
所以a7與(a7+a8)異
7、號(hào).
又公差d>0,
所以a7<0,a8>0,且|a7|<|a8|,故選B.
二、填空題
8.在數(shù)列{an}中,an+1=,a1=2,則a20=________.
解析:由an+1=,a1=2,
可得-=3,
所以是以為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列.
所以=+3(n-1),即an=,
所以a20=.
答案:
9.?dāng)?shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=2an+2n,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________.
解析:∵a1=1,an+1=2an+2n,
∴=+,
∴數(shù)列是首項(xiàng)為=,公差d=的等差數(shù)列,
故=+(n-1)×=n,
即an=n·2n-1.
答案:an=n
8、·2n-1
10.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S4≠0,且S8=3S4,S12=λS8,則λ=________.
解析:當(dāng)S4≠0,且S8=3S4,S12=λS8時(shí),
由等差數(shù)列的性質(zhì)得:S4,S8-S4,S12-S8成等差數(shù)列,
∴2(S8-S4)=S4+(S12-S8),
∴2(3S4-S4)=S4+(λ·3S4-3S4),
解得λ=2.
答案:2
三、解答題
11.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,a3+a4=12.
(1)求a1+a2+a3+a4+a5;
(2)設(shè)bn=10-an,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,若b1≠b2,則n為
9、何值時(shí),Sn最大? Sn最大值是多少?
解:(1)設(shè){an}的公差為d,
∵a1,a2,a5成等比數(shù)列,
∴(a1+d)2=a1(a1+4d),
解得d=0或d=2a1.
當(dāng)d=0時(shí),∵a3+a4=12,∴an=6,
∴a1+a2+a3+a4+a5=30;
當(dāng)d≠0時(shí),∵a3+a4=12,∴a1=1,d=2,
∴a1+a2+a3+a4+a5=25.
(2)∵b1≠b2,bn=10-an,∴a1≠a2,∴d≠0,
由(1)知an=2n-1,
∴bn=10-an=10-(2n-1)=11-2n,Sn=10n-n2=-(n-5)2+25.
∴當(dāng)n=5時(shí),Sn取得最
10、大值,最大值為25.
12.(2018·沈陽質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a3+a6=4,S5=-5.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,求T5的值和Tn的表達(dá)式.
解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
由題意知解得
故an=2n-7(n∈N*).
(2)由an=2n-7<0,得n<,即n≤3,
所以當(dāng)n≤3時(shí),an=2n-7<0,當(dāng)n≥4時(shí),an=2n-7>0.
由(1)知Sn=n2-6n,
所以當(dāng)n≤3時(shí),Tn=-Sn=6n-n2;
當(dāng)n≥4時(shí),
Tn=-S3+(Sn-S3)=Sn-2S3
11、=n2-6n+18.
故T5=13,Tn=
13.已知數(shù)列{an}中,a1=4,an=an-1+2n-1+3(n≥2,n∈N*).
(1)證明數(shù)列{an-2n}是等差數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求bn的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)證明:當(dāng)n≥2時(shí),an=an-1+2n-1+3=an-1+2n-2n-1+3,
∴an-2n-(an-1-2n-1)=3.
又a1=4,∴a1-2=2,
故數(shù)列{an-2n}是以2為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,
∴an-2n=2+(n-1)×3=3n-1,
∴an=2n+3n-1.
(2)bn===1+,
∴Sn=++…+
=
12、n+,
令Tn=++…+, ①
則Tn=++…+, ②
①-②得,Tn=1+++…+-,
=1+3×-=-,
∴Sn=n+5-.
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=3,an+1=2an+2n+1-1(n∈N*).
(1)求a2,a3;
(2)求實(shí)數(shù)λ使為等差數(shù)列,并由此求出an與Sn;
(3)求n的所有取值,使∈N*,說明你的理由.
解:(1)∵a1=3,an+1=2an+2n+1-1,
∴a2=2×3+22-1=9,a3=2×9+23-1=25.
(2)∵a1=3,an+1=2an+2n+1-1,
∴an+1-
13、1=2(an-1)+2n+1,
∴-=1,
故λ=-1時(shí),數(shù)列成等差數(shù)列,且首項(xiàng)為=1,公差d=1.
∴=n,即an=n·2n+1.
∴Sn=(1×2+2×22+3×23+…+n×2n)+n,
設(shè)Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①
則2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,②
①-②得,-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=(1-n)·2n+1-2,
∴Tn=(n-1)·2n+1+2,
∴Sn=Tn+n=(n-1)·2n+1+2+n.
(3)==2+,
結(jié)合y=2x及y=x的圖象可知2n>恒成立,
∴2n+1>n,即n-2n+1<0,∵n·2n+1>0,∴<2.
當(dāng)n=1時(shí),==1∈N*;
當(dāng)n≥2時(shí),∵an>0且{an}為遞增數(shù)列,
∴Sn>0且Sn>an,
∴>1,即1<<2,∴當(dāng)n≥2時(shí), ?N*.
綜上可得n=1.