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(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達標檢測(二十一)平面向量的基本運算 文

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1、(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考達標檢測(二十一)平面向量的基本運算 文 一、選擇題 1.(2018·長春模擬)如圖所示,下列結(jié)論正確的是(  ) ①=a+b; ②=a-b; ③=a-b; ④=a+b. A.①②         B.③④ C.①③ D.②④ 解析:選C ①根據(jù)向量的加法法則,得=a+b,故①正確; ②根據(jù)向量的減法法則,得=a-b,故②錯誤; ③=+=a+b-2b=a-b,故③正確; ④=+=a+b-b=a+b,故④錯誤,故選C. 2.(2018·長沙一模)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三點共線,

2、則k的值是(  ) A.- B. C. D. 解析:選A?。剑?4-k,-7), =-=(-2k,-2). ∵A,B,C三點共線, ∴,共線, ∴-2×(4-k)=-7×(-2k), 解得k=-. 3.(2018·嘉興調(diào)研)已知點O為△ABC外接圓的圓心,且++=0,則△ABC的內(nèi)角A等于(  ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:選A 由++=0得,+=, 由O為△ABC外接圓的圓心,結(jié)合向量加法的幾何意義知,四邊形OACB為菱形,且∠CAO=60°,故A=30°. 4.若=a,=b,a與b不共線,則∠AOB平分線上的向量

3、為(  ) A.+ B. C. D.λ,λ由確定 解析:選D 以O(shè)M為對角線,以,方向為鄰邊作平行四邊形OCMD, ∵OM平分∠AOB, ∴平行四邊形OCMD是菱形. 設(shè)OC=OD=λ, 則=λ,=λ, ∴=+=λ,且λ由確定. 5.設(shè)D,E,F(xiàn)分別是△ABC的三邊BC,CA,AB上的點,且=2,=2,=2,則++與 (  ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解析:選A 由題意得=+=+, =+=+, =+=

4、+, 因此++=+(+-) =+=-, 故++與反向平行. 6.如圖所示,已知點G是△ABC的重心,過點G作直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點,且=x,=y(tǒng),則的值為(  ) A.3 B. C.2 D. 解析:選B 利用三角形的性質(zhì),過重心作平行于底邊BC的直線, 易得x=y(tǒng)=,則=. 7.(2018·蘭州模擬)已知向量a=(1-sin θ,1),b=,若a∥b,則銳角θ=(  ) A. B. C. D. 解析:選B 因為a∥b,所以(1-sin θ)×(1+sin θ)-1×=0, 得sin2θ=,所以sin θ=±,故銳角θ=. 8.已知△ABC是邊

5、長為4的正三角形,D,P是△ABC內(nèi)的兩點,且滿足= (+),=+,則△APD的面積為(  ) A. B. C. D.2 解析:選A 法一:取BC的中點E,連接AE,由于△ABC是邊長為4的正三角形,則AE⊥BC,=(+),又=(+),所以點D是AE的中點,AD=.?。剑訟D,AF為鄰邊作平行四邊形,可知=+=+.而△APD是直角三角形,AF=,所以△APD的面積為××=. 法二:以A為原點,以BC的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系. ∵等邊三角形ABC的邊長為4, ∴B(-2,-2),C(2,-2), 由題知=(+)=[(-2,-2)+(2,-2)]

6、=(0,-), =+=(0,-)+(4,0)=, ∴△ADP的面積為S=||·| |=××=. 二、填空題 9.在矩形ABCD中,O是對角線的交點,若=5e1,=3e2,則=________.(用e1,e2表示) 解析:在矩形ABCD中,因為O是對角線的交點, 所以==(+)=(+)=(5e1+3e2)=e1+e2. 答案:e1+e2 10.已知S是△ABC所在平面外一點,D是SC的中點,若=x+y+z,則x+y+z=________. 解析:依題意得=-=(+)-=-++, 因此x+y+z=-1++=0. 答案:0 11.(2018·貴陽模擬)已知平面向量a,b滿足|

7、a|=1,b=(1,1),且a∥b,則向量a的坐標是________. 解析:設(shè)a=(x,y), ∵平面向量a,b滿足|a|=1,b=(1,1),且a∥b, ∴=1,且x-y=0,解得x=y(tǒng)=±. ∴a=或. 答案:或 12.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點,點P在以A為圓心,AD為半徑的圓弧DE上變動(如圖所示),若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則2λ-μ的取值范圍是________. 解析:以A為坐標原點,AB為x軸,AD為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0),E(1,0),D(0,1),F(xiàn), 設(shè)

8、P(cos α,sin α)(0°≤α≤90°), ∵=λ+μ, ∴(cos α,sin α)=λ(-1,1)+μ =, ∴cos α=-λ+μ,sin α=λ+, ∴λ=(3sin α-cos α),μ=(cos α+sin α), ∴2λ-μ=sin α-cos α=sin(α-45°), ∵0°≤α≤90°, ∴-45°≤α-45°≤45°, ∴-≤sin(α-45°)≤, ∴-1≤sin(α-45°)≤1, ∴2λ-μ的取值范圍是[-1,1]. 答案:[-1,1] 三、解答題 13.如圖所示,在△ABC中,D,F(xiàn)分別是BC,AC的中點,=,=a,=b. (

9、1)用a,b表示向量,,,,; (2)求證:B,E,F(xiàn)三點共線. 解:(1)延長AD到G,使=, 連接BG,CG,得到平行四邊形ABGC, 所以=a+b, ==(a+b), ==(a+b), ==b, =-=(a+b)-a=(b-2a), =-=b-a=(b-2a). (2)證明:由(1)可知=, 又因為,有公共點B, 所以B,E,F(xiàn)三點共線. 14.(2018·鄭州模擬)平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)若(a+kc)∥(2b-a),求實數(shù)k的值; (2)若d滿足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=,求d的坐標

10、. 解:(1)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由題意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, 解得k=-. (2)設(shè)d=(x,y),則d-c=(x-4,y-1), 又a+b=(2,4),|d-c|=, ∴解得或 ∴d的坐標為(3,-1)或(5,3). 15.如圖,在△OAB中,=,=,AD與 BC交于點M,設(shè)=a,=b. (1)用a,b表示; (2)在線段AC上取一點E,在線段BD上取一點F,使EF過M點,設(shè)=p,=q,求證:+=1. 解:(1)設(shè)=xa+yb, 由=,得=4x+yb, ∵C,M,B三點共線, ∴4x

11、+y=1. ① 由=,得=xa+2y, ∵A,M,D三點共線, ∴x+2y=1, ② 聯(lián)立①②得,x=,y=. ∴=a+b. (2)證明:∵=p,=q, ∴=,=, ∴=·+·. ∵E,M,F(xiàn)三點共線, ∴+=1. 1.已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點,且EF∥BC,實數(shù)x,y滿足+x+y=0,設(shè)△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面積分別為S,S1,S2,S3,記=λ1,=λ2,=λ3,則λ2·λ3取最大值時,3x+y的值為(  ) A. B. C.1

12、D.2 解析:選D 由題意可知λ1+λ2+λ3=1. ∵P是△ABC的中位線EF上任意一點,且EF∥BC, ∴λ1=,∴λ2+λ3=, ∴λ2λ3≤2=, 當(dāng)且僅當(dāng)λ2=λ3=時取等號, ∴λ2·λ3取最大值時,P為EF的中點. 延長AP交BC于M,則M為BC的中點, ∴PA=PM, ∴=-=-(+), 又∵+x+y=0, ∴x=y(tǒng)=, ∴3x+y=2. 2.如圖,在Rt△ABC中,P是斜邊BC上一點,且滿足=,點M,N在過點P的直線上,若=λ,=μ(λ>0,μ>0),則λ+2μ的最小值為(  ) A.2 B. C.3 D. 解析:選B ∵=λ,=μ (λ>0,μ>0), ∴=+=(1-λ). ∵M,P,N三點共線, ∴存在實數(shù)k,使=k=k(-)=-kλ+kμ. ∵=,∴==-. ∴+=+=(1-λ), ∴ 由②得,k=代入①得,-=1-λ, ∴μ=,∴λ+2μ=λ+. 設(shè)f(λ)=λ+,λ>0, ∴f′(λ)=,令f′(λ)=0,得λ=0或λ=. 當(dāng)λ∈時,f′(λ)<0,當(dāng)λ∈時,f′(λ)>0. ∴λ=時,f(λ)取極小值,也是最小值, 又f=,∴f(λ)的最小值為, 即λ+2μ的最小值為.

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