2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第6講 函數(shù)的奇偶性與周期性練習(xí) 新人教A版
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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第6講 函數(shù)的奇偶性與周期性練習(xí) 新人教A版 [考情展望] 1.考查函數(shù)奇偶性的判斷.2.利用函數(shù)的奇偶性、周期性求函數(shù)值.3.與函數(shù)的對(duì)稱性相結(jié)合,綜合考查知識(shí)的靈活應(yīng)用能力. 一、奇(偶)函數(shù)的定義及圖象特征 1.奇、偶函數(shù)的定義 對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x. (1)f(x)為偶函數(shù)?f(-x)=f(x); (2)f(x)為奇函數(shù)?f(-x)=-f(x). 2.奇、偶函數(shù)的圖象特征 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱. 1.奇、偶函數(shù)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)
2、在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性. 2.奇函數(shù)圖象與原點(diǎn)的關(guān)系: 如果奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)有定義,則f(0)=0. 二、周期性 1.周期函數(shù):T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,則需滿足的條件: ①T≠0; ②f(x+T)=f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立. 2.最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做它的最小正周期. 周期性常用的結(jié)論 對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a; (2)若f(x+a)=,則T=2a; (3)若f(x+a)=-,則T=2a. (4)若對(duì)于R上
3、的任意x都有f(2a-x)=f(x),且f(2b-x)=f(x)(其中a<b),則:y=f(x)是以2(b-a)為周期的周期函數(shù). (5)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù),其中一個(gè)周期為T=2|a-b|. 1.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是( ) A.- B. C. D.- 【解析】 依題意b=0,且2a=-(a-1), ∴b=0且a=, 則a+b=. 【答案】 B 2.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是( ) A.y=sin x B.y=x3 C.y=ex D.y=ln
4、 【解析】 由函數(shù)奇偶性的定義知A、B項(xiàng)為奇函數(shù),C項(xiàng)為非奇非偶函數(shù),D項(xiàng)為偶函數(shù). 【答案】 D 3.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x+4)=f(x),則f(8)的值為( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】 ∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù). ∴f(8)=f(0). 又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù), ∴f(8)=f(0)=0,故選B. 【答案】 B 4.若函數(shù)y=(x+1)(x-a)為偶函數(shù),則a=________. 【解析】 因?yàn)閥=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a 由題意可知1-a=0,即a
5、=1. 【答案】 1 5.(xx·山東高考)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+,則f(-1)=( ) A.2 B.1 C.0 D.-2 【解析】 利用奇函數(shù)的性質(zhì)f(-x)=-f(x)求解. 當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+,∴f(1)=12+=2. ∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-1)=-f(1)=-2. 【答案】 D 6.(xx·北京高考)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是( ) A.y= B.y=e-x C.y=-x2+1 D.y=lg|x| 【解析】 A項(xiàng),y=是奇函數(shù),故不正確; B項(xiàng),y=e-x為非奇
6、非偶函數(shù),故不正確; C,D兩項(xiàng)中的兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù),且y=-x2+1在(0,+∞)上是減函數(shù),y=lg|x|在(0,+∞)上是增函數(shù),故選C. 【答案】 C 考向一 [016] 函數(shù)奇偶性的判斷 判斷下列各函數(shù)的奇偶性: (1) f(x)=(x+1) ; (2)f(x)=; (3)f(x)=. 【思路點(diǎn)撥】 先求定義域,看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在定義域下,帶絕對(duì)值符號(hào)的要盡量去掉,分段函數(shù)要分情況判斷. 【嘗試解答】 (1)由得,定義域?yàn)?-1,1],關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,故f(x)為非奇非偶函數(shù). (2)由得,定義域?yàn)?-1,0)∪(0,1). ∴x-2<0,
7、∴|x-2|-2=-x, ∴f(x)=. 又∵f(-x)==-=-f(x), ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). (3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋? (-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. ∵當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x); 當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=(-x)2-x =x2-x=-f(x); 綜上可知:對(duì)于定義域內(nèi)的任意x,總有f(-x)=-f(x)成立,∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 規(guī)律方法1 1.本例第(1)題,若盲目化簡(jiǎn):f(x)==將擴(kuò)大函數(shù)的定義域,作出錯(cuò)誤判斷.第(2)題易忽視定義域無(wú)從入手. 2.判斷函數(shù)的奇
8、偶性,首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的條件下,再化簡(jiǎn)解析式,根據(jù)f(-x)與f(x)的關(guān)系作出判斷,對(duì)于分段函數(shù),應(yīng)分情況判斷. 考向二 [017] 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 (1)設(shè)函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為________. (2)已知y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-2x,則f(x)在R上的解析式為________. (3)設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),且f(2)=0,則不等式>0的解集為________. 【思路點(diǎn)撥】 (1)利用奇函數(shù)定義或特值法求解. (2)設(shè)x<0,則-x>0,借助偶函數(shù)定義求其解
9、析式. (3)分“x>0”和“x<0”兩類分別解不等式,取并集即可. 【嘗試解答】 (1)方法一:∵f(x)=為奇函數(shù), ∴f(-x)=-f(x), 即=-, ∴a=-1. 方法二:∵f(x)=為奇函數(shù), ∴f(1)+f(-1)=0, 即+=0, ∴a=-1. (2)設(shè)x<0,則-x>0, ∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x. 又y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)=x2+2x(x<0). ∴f(x)= (3)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以不等式>0,等價(jià)于>0. ①當(dāng)x>0時(shí),>0等價(jià)于f(x)>0, 又f(x)在
10、(0,+∞)上為減函數(shù),且f(2)=0. 所以f(x)>0的解集為{x|0<x<2}. ②當(dāng)x<0時(shí),>0等價(jià)于f(x)<0, 又f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù),且f(-2)=f(2)=0. 所以f(x)<0的解集為{x|x<-2}. 綜上可知,不等式的解集為{x|x<-2或0<x<2}. 【答案】 (1)-1 (2)f(x)= (3){x|x<-2或0<x<2} 規(guī)律方法2 (1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式,常利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程,從而可得f(x)的解析式. (2)已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù),常常采用待定系數(shù)法:利用f(x)±f(-x)=0
11、產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性可得知字母的值. (3)奇偶性與單調(diào)性綜合時(shí)要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(xx·鄭州模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,則f(2)=( ) A.2 B. C. D.a(chǎn)2 (2)已知定義在R上的奇函數(shù)滿足f(x)=x2+2x(x≥0),若f(3-a2)>f(2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 【解析】 (1)∵f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù), ∴f
12、(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a, ∵f(2)+g(2)=a2-a-2+2,① ∴f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a-2-a2+2,② 由①、②聯(lián)立,g(2)=a=2,f(2)=a2-a-2=. (2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2+2x=(x+1)2-1 ∴函數(shù)f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù). 又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù), ∴函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù). 由f(3-a2)>f(2a)得3-a2>2a. 解得-3<a<1. 【答案】 (1)B (2)(-3,1) 考向三 [018] 函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
13、且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-x2. (1)求證:f(x)是周期函數(shù); (2)當(dāng)x∈[2,4]時(shí),求f(x)的解析式; (3)計(jì)算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015). 【思路點(diǎn)撥】 (1)證明f(x+4)=f(x) (2)先求[-2,0]上的解析式,再求[2,4]上的解析式; (3)根據(jù)周期性求解. 【嘗試解答】 (1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期為4的周期函數(shù). (2)當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),-x∈[0,2],由已知得 f(-x)=2(-x)-
14、(-x)2=-2x-x2. 又f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ∴f(x)=x2+2x. 又當(dāng)x∈[2,4]時(shí),x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期為4的周期函數(shù), ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 所以x∈[2,4]時(shí),f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又f(x)是周期為4的周期函數(shù), ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =…=f(2 008)+f(2
15、009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0+1+0+(-1)=0. 規(guī)律方法3 (1)本例(2)在求解中先借助周期把區(qū)間[2,4]轉(zhuǎn)換到區(qū)間[-2,0]上,然后借助奇函數(shù)實(shí)現(xiàn)[-2,0]與[0,2]間的轉(zhuǎn)化. (2)證明一個(gè)函數(shù)f(x)是周期函數(shù)的關(guān)鍵是借助已知條件探尋使“f(x+T)=f(x)”成立的非零常數(shù)T. (3)周期性與奇偶性相結(jié)合的綜合問(wèn)題,周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用,奇偶性起到調(diào)節(jié)符號(hào)的作用. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且f(x+1
16、)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上是減函數(shù),那么f(x)在[1,3]上是( ) A.增函數(shù) B.減函數(shù) C.先增后減的函數(shù) D.先減后增的函數(shù) (2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),若對(duì)于x≥0,都有f(x+2)=-,且當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f(x)=log2(x+1),則f(-2 013)+f(2 015)=________. 【解析】 (1)由f(x)在[-1,0]上是減函數(shù),又f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(x)在[0,1]上是增函數(shù). 由f(x+1)=-f(x), 得f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x), 故2是函數(shù)f
17、(x)的一個(gè)周期. 結(jié)合以上性質(zhì),模擬畫出f(x)的部分圖象,如圖. 由圖象可以觀察出,f(x)在[1,2]上為減函數(shù),在[2,3]上為增函數(shù). (2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x+2)=-, ∴f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一個(gè)周期. ∴f(2 013)=f(1)=log22=1,f(-2 013)=f(2 013)=1, f(2 015)=f(3)=-=-1, ∴f(-2 013)+f(2 015)=0. 【答案】 (1)D (2)0 思想方法之三 利用奇偶性求值——“方程思想”閃光芒 方程思想就是通過(guò)分析問(wèn)題中的各個(gè)量及其關(guān)系,列出方程(組)、或者構(gòu)
18、造方程(組),通過(guò)求方程(組)、或討論方程(組)的解的情況,使問(wèn)題得以解決. 在函數(shù)的奇偶性中,方程思想的具體體現(xiàn)如下: (1)函數(shù)奇偶性的判斷,即驗(yàn)證等式“f(x)±f(-x)=0”是否對(duì)定義域中的每個(gè)x均成立. (2)求解析式,在同時(shí)含有f(x)與f(-x)的表達(dá)式中,如bf(x)+f(-x)=a(ab≠0)中,常用“-x”代式子中的“x”,重新構(gòu)建方程,聯(lián)立求解f(x). (3)求值,已知f(a)的值探求f(-a)的值,其方法如同(2). ———— [1個(gè)示范例] ——— [1個(gè)對(duì)點(diǎn)練] ——— (xx·湖南高考)已知f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),且f(-1)+g
19、(1)=2,f(1)+g(-1)=4,則g(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】 ∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-1)=-f(1). 又g(x)是偶函數(shù),∴g(-1)=g(1). ∵f(-1)+g(1)=2,∴g(1)-f(1)=2.① 又f(1)+g(-1)=4,∴f(1)+g(1)=4.② 由①②,得g(1)=3. (xx·重慶高考)已知函數(shù)f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,則f(lg(lg 2))=( ) A.-5 B.-1 C.3 D.4 【解析】 因?yàn)閘og210與lg 2(即log102)互為倒數(shù), 所以lg(log210)與lg(lg 2)互為相反數(shù).不妨令lg(log210)=x,則lg(lg 2)=-x,而f(x)+f(-x)=(ax3+bsin x+4)+[a(-x)3+bsin(-x)+4]=8,故f(-x)=8-f(x)=8-5=3,故選C. 【答案】 C
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