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(江蘇專用)2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù)教學(xué)案

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1、專題五 函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù) [江蘇卷5年考情分析] 小題考情分析 大題考情分析 常考點(diǎn) 1.函數(shù)的基本性質(zhì)(5年5考) 2.函數(shù)的零點(diǎn)問題(5年4考) 3.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(5年2考) 4.基本不等式(5年4考)   本部分內(nèi)容在高考解答題中為必考內(nèi)容,考查類型有四類:第一類考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)(2015年T19),第二類考查函數(shù)與不等式零點(diǎn)問題(2016年T19),第三類考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的極值、零點(diǎn)問題(2017年T20,2019年T19),第四類考查函數(shù)的定義、零點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與函數(shù)的性質(zhì)(2018年T19);題目總體難度較大,多體現(xiàn)分類討論思想和

2、考查推理論證的能力. 偶考點(diǎn) 1.一元二次不等式恒成立問題 2.線性規(guī)劃問題 第一講 | 小題考法——函數(shù) 考點(diǎn)(一) 函數(shù)的基本性質(zhì) 主要考查函數(shù)的三要素以及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的應(yīng)用,常結(jié)合 分段函數(shù)命題. [題組練透] 1.(2018·江蘇高考)函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在區(qū)間(-2,2]上,f(x)=則f(f(15))的值為________. 解析:由函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x)(x∈R), 可知函數(shù)f(x)的周期是4, 所以f(15)=f(-1)==, 所以f(f(15))=f=cos=. 答案: 2.(20

3、17·江蘇高考)已知函數(shù)f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若f(a-1)+f(2a2)≤0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:由f(x)=x3-2x+ex-, 得f(-x)=-x3+2x+-ex=-f(x), 所以f(x)是R上的奇函數(shù). 又f′(x)=3x2-2+ex+≥3x2-2+2=3x2≥0, 當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào), 所以f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增. 因?yàn)閒(a-1)+f(2a2)≤0, 所以f(a-1)≤-f(2a2)=f(-2a2), 所以a-1≤-2a2,解得-1≤a≤, 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 答案: 3.(2019·

4、南通等七市一模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+2)=f(x).當(dāng)0

5、_____. 解析:因?yàn)閍<0, 所以f(x)=易知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,且在R上單調(diào)遞增. 若f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(672)=0,則-=,a=-673,則當(dāng)x≥-2a時(shí),f(x)≥9a2=9×6732>2 019,當(dāng)x≤-時(shí),f(x)≤0,所以3×673(2x-673)=2 019,所以x=337. 答案:337 [方法技巧] 函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用技巧 奇偶性 具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切,研究問題時(shí)可轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上.尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì):f(|x|)=f(x) 單調(diào)性 可以比較

6、大小,求函數(shù)最值,解不等式,證明方程根的唯一性 周期性 利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì),把不在已知區(qū)間上的問題,轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解 對稱性 利用其軸對稱或中心對稱可將研究的問題,轉(zhuǎn)化到另一對稱區(qū)間上研究 考點(diǎn)(二) 基本初等函數(shù)   主要考查基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及由基本初等函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的  性質(zhì)問題. [題組練透] 1.(2018·南通檢測)已知冪函數(shù)f(x)=xα,其中α∈.則使f(x)為奇函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)的α的所有取值的集合為________. 解析:冪函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則α=-1,1,3,f(x)在區(qū)

7、間(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),則α的所有值為1,3. 答案:{1,3} 2.已知函數(shù)y=與函數(shù)y=的圖象共有k(k∈N*)個(gè)公共點(diǎn):A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,Ak(xk,yk),則(xi+yi)=________. 解析:如圖,函數(shù)y=與函數(shù)y=的圖象都關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對稱,所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對稱,且只有兩個(gè)交點(diǎn), 所以xi=0,yi=2,則(xi+yi)=2. 答案:2 3.(2018·鎮(zhèn)江期末)不等式logax-ln2x<4(a>0且a≠1)對任意x∈(1,100)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________________.

8、解析:不等式logax-ln2x<4可化為-ln2x<4, 即<+ln x對任意x∈(1,100)恒成立. 因?yàn)閤∈(1,100),所以ln x∈(0,2ln 10), 所以+ln x≥4,故<4, 解得ln a<0或ln a>,即0<a<1或a>e. 答案:(0,1)∪ 4.(2019·南京鹽城二模)已知函數(shù)f(x)=設(shè)g(x)=kx+1,且函數(shù)y=f(x)-g(x)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________. 解析:由題意知,要使y=f(x)-g(x)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限,只需y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象在(-∞,0)和(0,+∞)都相交且交點(diǎn)個(gè)數(shù)大于1

9、.當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x3-12x+3,f′(x)=3x2-12.易知f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,且f(2)<0.又g(x)=kx+1的圖象恒過(0,1),所以易得過(0,1)且與f(x)=x3-12x+3(x>0)的圖象相切的切線的斜率為-9,所以k>-9. 當(dāng)x≤0時(shí),作出f(x)=|x+3|的圖象(圖略),數(shù)形結(jié)合易知k<.綜上可知,實(shí)數(shù)k的取值范圍為. 答案: [方法技巧] 基本初等函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用技巧 (1)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù),當(dāng)?shù)讛?shù)a的值不確定時(shí),要注意分a>1和0

10、數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù),其性質(zhì)的研究往往通過換元法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本初等函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷. (3)對于冪函數(shù)y=xα的性質(zhì)要注意α>0和α<0兩種情況的不同. 考點(diǎn)(三) 函數(shù)的零點(diǎn)問題 主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題以及根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍. [典例感悟] [典例] (1)(2018·蘇錫常鎮(zhèn)一模)若函數(shù)f(x)=則函數(shù)y=|f(x)|-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________. (2)(2018·鎮(zhèn)江期末)已知k為常數(shù),函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=kx+2有且只有四個(gè)不同解,則實(shí)數(shù)k的取值構(gòu)成的集合為_______

11、_. [解析] (1)當(dāng)x≥1時(shí),y=-, 則=,即ln x=x2, 令g(x)=ln x-x2,x≥1, 則函數(shù)g(x)是連續(xù)函數(shù)且先增后減, g(1)=-<0,g(2)=ln 2->0, g(4)=ln 4-2<0,由函數(shù)的零點(diǎn)判定定理可知g(x)=ln x-x2有2個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)x<1時(shí),y= 函數(shù)的圖象與y=的圖象如圖,則兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn),綜上,函數(shù)y=|f(x)|-有4個(gè)零點(diǎn). (2)作函數(shù)y=f(x)和y=kx+2的圖象,如圖所示,兩圖象除了(0,2)還應(yīng)有3個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)k≥0時(shí),直線應(yīng)與曲線y=f(x)(x>1)相切, 設(shè)切點(diǎn)為(x0,ln x

12、0),則切線斜率為k=,又k=,則=,解得x0=e3,此時(shí)k=; 當(dāng)k<0時(shí),當(dāng)y=kx+2與曲線y=相切于點(diǎn)(0,2)時(shí),k=-1,函數(shù)y=f(x)和y=kx+2的圖象只有3個(gè)公共點(diǎn),不符合題意, 當(dāng)-1

13、數(shù)k的取值范圍是∪(-e,-1). [答案] (1)4 (2)∪(-e,-1) [方法技巧] 利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或范圍的方法 [演練沖關(guān)] 1.(2019·蘇州期末)設(shè)函數(shù)f(x)=若方程f(x)-kx=3有三個(gè)相異的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 解析:法一:方程f(x)-kx=3,即f(x)=kx+3有三個(gè)相異的實(shí)根,即曲線y=f(x)和直線y=kx+3有三個(gè)不同的交點(diǎn),作出大致圖象如圖所示.又直線y=kx+3和y=-2x(x<0)必有一個(gè)交點(diǎn),所以k>-2,則直線y=kx+3與曲線y=-x2+2x(x≥0)有兩個(gè)交點(diǎn),聯(lián)立方程,得整理得x2+

14、(k-2)x+3=0(x≥0),由得k<2-2,故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-2,2-2). 法二:當(dāng)x<0且k≠-2時(shí),方程f(x)-kx=3可轉(zhuǎn)化為-2x-kx=3,解為x=-,當(dāng)x≥0時(shí),方程f(x)-kx=3可轉(zhuǎn)化為-x2+2x-kx=3,即x2+(k-2)x+3=0(x≥0),若Δ=(k-2)2-12>0, 則x=, 因?yàn)榉匠蘤(x)-kx=3有三個(gè)相異的實(shí)根,所以解得-2

15、數(shù).當(dāng)x∈(0,2]時(shí),f(x)=,g(x)=其中k>0.若在區(qū)間(0,9]上,關(guān)于x的方程f(x)=g(x)有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是________. 解析:當(dāng)x∈(0,2]時(shí),y=f(x)=?(x-1)2+y2=1(y≥0),結(jié)合f(x)是周期為4的奇函數(shù),可作出f(x)在(0,9]上的圖象如圖所示. ∵ 當(dāng)x∈(1,2]時(shí),g(x)=-,又g(x)的周期為2, ∴ 當(dāng)x∈(3,4]∪(5,6]∪(7,8]時(shí),g(x)=-. 由圖可知,當(dāng)x∈(1,2]∪(3,4]∪(5,6]∪(7,8]時(shí), f(x)與g(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn), ∴ 當(dāng)x∈(0,1]∪(2,3]

16、∪(4,5]∪(6,7]∪(8,9]時(shí), f(x)與g(x)的圖象有6個(gè)交點(diǎn).又當(dāng)x∈(0,1]時(shí),y=g(x)=k(x+2)(k>0)恒過定點(diǎn)A(-2,0),由圖可知,當(dāng)x∈(2,3]∪(6,7]時(shí),f(x)與g(x)的圖象無交點(diǎn), ∴ 當(dāng)x∈(0,1]∪(4,5]∪(8,9]時(shí),f(x)與g(x)的圖象有6個(gè)交點(diǎn).由f(x)與g(x)的周期性可知,當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)與g(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn). 當(dāng)y=k(x+2)與圓弧(x-1)2+y2=1(0<x≤1)相切時(shí), d==1?k2=(k>0)?k=. 當(dāng)y=k(x+2)過點(diǎn)A(-2,0)與B(1,1)時(shí),k=. ∴ ≤k

17、<. 答案: 3.(2019·揚(yáng)州期末)已知函數(shù)f(x)=a+3+-|x+a|有且僅有三個(gè)零點(diǎn),并且這三個(gè)零點(diǎn)構(gòu)成等差數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的值為________. 解析:令f(x)=a+3+-|x+a|=0,得|x+a|--a=3,設(shè)g(x)=|x+a|--a,則函數(shù)g(x)=不妨設(shè)f(x)=0的三個(gè)根分別為x1,x2,x3,且x1

18、得6+-2a=3,解得a=,滿足題意.②-1<-a≤4,即-4≤a<1,則f(x)=0在(-∞,-a)上有兩個(gè)不同的解x1,x2,x3=4,所以x1,x2是-x--2a=3在(-∞,-a)上的兩個(gè)解,即x1,x2是x2+(2a+3)x+4=0在(-∞,-a)上的兩個(gè)解,則Δ=4a2+12a-7>0,x1,2=,所以x1+x2=-(2a+3),x1x2=4,由x1,x2,x3成等差數(shù)列,且x14,即a<-4時(shí),f(x)=0最多有兩個(gè)解,不滿足題意.綜上所述,實(shí)數(shù)a的值為或-1-. 答案:或-1-

19、 (一) 主干知識(shí)要牢記 1.函數(shù)的定義域 (1)函數(shù)的定義域是研究函數(shù)問題的先決條件,它會(huì)直接影響函數(shù)的性質(zhì),所以要樹立定義域優(yōu)先的意識(shí). (2)對于復(fù)合函數(shù)的定義域要注意: ①如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,則f(g(x))的定義域是使函數(shù)g(x)∈A的x的取值范圍. ②如果f(g(x))的定義域?yàn)锳,則函數(shù)f(x)的定義域是函數(shù)g(x)的值域. ③f(g(x))與f(h(x))聯(lián)系的紐帶是g(x)與h(x)的值域相同. 2.函數(shù)的值域 求函數(shù)值域的常用方法有觀察法、不等式

20、法、圖象法、換元法、單調(diào)性法等. 3.函數(shù)的圖象 函數(shù)的圖象包括作圖、識(shí)圖、用圖,其中作函數(shù)圖象有兩種基本方法:一是描點(diǎn)法;二是圖象變換法,其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換. 4.函數(shù)的單調(diào)性 單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)局部性質(zhì),一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性.判斷函數(shù)單調(diào)性常用定義法、圖象法及導(dǎo)數(shù)法. 5.函數(shù)的奇偶性 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的定義域上具有相反的單調(diào)性;奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的定義域上具有相同的單調(diào)性.判斷函數(shù)奇偶性的常用方法有定義法、圖象法及性質(zhì)法. 6.函數(shù)的

21、周期性 周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).若函數(shù)滿足f(a+x)=f(x)(a不等于0),則其一個(gè)周期T=|a|,最小正數(shù)T叫做f(x)的最小正周期. (二) 二級結(jié)論要用好 1.函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結(jié)論 (1)當(dāng)f(x),g(x)同為增(減)函數(shù)時(shí),f(x)+g(x)為增(減)函數(shù). (2)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù),奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù),積、商是偶函數(shù),奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù). (3)定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù)的圖象必過原點(diǎn),即有f(0)=0.存在既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)的函數(shù):f(x)=0. 2.抽象函數(shù)的周期性與對稱性的結(jié)論 (1)函數(shù)的周期性 ①

22、若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=f(x-a),則f(x)是周期函數(shù),T=2a. ②若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=-f(x),則f(x)是周期函數(shù),T=2a. ③若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=,則f(x)是周期函數(shù),T=2a. (2)函數(shù)圖象的對稱性 ①若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x),或f(x)=f(2a-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱. ②若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=-f(a-x),或f(x)=-f(2a-x),則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱. ③若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱.

23、 3.函數(shù)圖象平移變換的相關(guān)結(jié)論 (1)把y=f(x)的圖象沿x軸左右平移|c|個(gè)單位(c>0時(shí)向左移,c<0時(shí)向右移)得到函數(shù)y=f(x+c)的圖象(c為常數(shù)). (2)把y=f(x)的圖象沿y軸上下平移|b|個(gè)單位(b>0時(shí)向上移,b<0時(shí)向下移)得到函數(shù)y=f(x)+b的圖象(b為常數(shù)). A組——抓牢中檔小題 1.(2018·江蘇高考)函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)開_______. 解析:由log2x-1≥0,即log2x≥log22,解得x≥2,所以函數(shù)f

24、(x)=的定義域?yàn)閧x|x≥2}. 答案:{x|x≥2} 2.(2019·江蘇高考)函數(shù)y=的定義域是________. 解析:要使函數(shù)有意義,需7+6x-x2≥0, 即x2-6x-7≤0,即(x+1)(x-7)≤0,解得-1≤x≤7. 故所求函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,7]. 答案:[-1,7] 3.函數(shù)f(x)=ln的值域是________. 解析:因?yàn)閨x|≥0,所以|x|+1≥1. 所以0<≤1.所以ln≤0, 即f(x)=ln的值域?yàn)?-∞,0]. 答案:(-∞,0] 4.(2019·南京鹽城一模)已知y=f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ex+

25、1,則f(-ln 2)的值為________. 解析:法一:因?yàn)閒(x)為奇函數(shù), f-(ln 2)=-f(ln 2)=-(eln 2+1)=-3. 法二:當(dāng)x<0時(shí),-x>0,所以當(dāng)x<0時(shí), f(x)=-f(-x)=-(e-x+1),因?yàn)椋璴n 2<0, 所以f(-ln 2)=-(eln 2+1)=-3. 答案:-3 5.已知f(x)是奇函數(shù),g(x)=.若g(2)=3,則g(-2)=________. 解析:由題意可得g(2)==3,解得f(2)=1. 又f(x)是奇函數(shù),則f(-2)=-1, 所以g(-2)===-1. 答案:-1 6.(2019·蘇北三市一模)

26、已知a,b∈R,函數(shù)f(x)=(x-2)·(ax+b)為偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù),則關(guān)于x的不等式f(2-x)>0的解集為________. 解析:因?yàn)閒(x)=(x-2)(ax+b)=ax2+(b-2a)x-2b為偶函數(shù),所以b=2a,f(x)=ax2-4a=a(x-2)(x+2),又f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),所以a<0,由二次函數(shù)的圖象可知f(x)>0的解集為(-2,2).f(2-x)=f(x-2),而f(x-2)的圖象可看成是由f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位長度得到,所以f(2-x)>0的解集為(0,4). 答案:(0,4) 7.(2018·福建模擬)已知函數(shù)f(

27、x)=有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:當(dāng)x<1時(shí),令ln(1-x)=0,解得x=0,故f(x)在(-∞,1)上有1個(gè)零點(diǎn), ∴f(x)在[1,+∞)上有1個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)x≥1時(shí),令-a=0,得a=≥1. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞). 答案:[1,+∞) 8.(2018·蘇州模擬)設(shè)a=log2,b=log,c=,則a,b,c按從小到大的順序排列為_________. 解析:因?yàn)閘og2log22=1,0<<=1,即a<0,b>1,0

28、已知函數(shù)f(x)=若f(a-1)=,則實(shí)數(shù)a=________. 解析:當(dāng)a-1≤0,即a≤1時(shí),f(a-1)=log2(4-a)=,a=4->1,舍去;當(dāng)a-1>0,即a>1時(shí),2a-1-1=,a=1+log2=log23>1,所以實(shí)數(shù)a=log23. 答案:log23 10.(2018·南京三模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上且周期為4的偶函數(shù).當(dāng)x∈[2,4]時(shí),f(x)=,則f的值為________. 解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上且周期為4的偶函數(shù),所以f=f=f,因?yàn)楫?dāng)x∈[2,4]時(shí),f(x)=,所以f=f==log42=. 答案: 11.(2019·蘇州期末)設(shè)函

29、數(shù)f(x)=,若對任意x1∈(-∞,0),總存在x2∈[2,+∞),使得f(x2)≤f(x1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 解析:對任意x1∈(-∞,0),總存在x2∈[2,+∞),使得f(x2)≤f(x1),即f(x)min(x∈[2,+∞))≤f(x)min(x∈(-∞,0)). a=0,f(x)=,當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí), 函數(shù)f(x)=-∈(0,+∞), 當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),f(x)=∈(0,1],符合題意. a<0,當(dāng)x<0時(shí),f(x)=≥0,此時(shí)最小值為0.當(dāng)x≥2時(shí), f(x)=-ax2>0,不滿足題意. a>0,當(dāng)x≥2時(shí),f(x)=,易得≥2,即0<

30、a≤時(shí),f(x)的最小值為0,a>時(shí),f(x)的最小值為f(2)=4a-1,當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-+ax2,f′(x)=+2ax=,易得x=時(shí)f(x)取極小值,且取最小值,可得f(x)的最小值為f=3,由題意可得0時(shí),3≥4a-1,結(jié)合圖象(圖略),得

31、≥ex+4對x<1恒成立.因?yàn)閑x+4在(-∞,1)上的值域?yàn)?4,e+4),所以a≥e+4. 法二:當(dāng)x<1時(shí),f(x)=a-ex>a-e;當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=x+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=2時(shí),取“=”,又函數(shù)f(x)的值域是[4,+∞),所以a-e≥4,即a≥e+4. 答案: [e+4,+∞) 13.(2019·南京鹽城二模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-5x,則不等式f(x-1)>f(x)的解集為________. 解析:當(dāng)x<0時(shí),-x>0,所以f(-x)=x2+5x,又f(x)為奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=-x2-5x,所以f

32、(x)= 法一:當(dāng)x-1≥0時(shí),x≥1,由f(x-1)>f(x)得,(x-1)2-5(x-1)>x2-5x,解得x<3,所以1≤x<3. 當(dāng)x-1<0時(shí),x<1, ①0≤x<1時(shí),由f(x-1)>f(x)得,-(x-1)2-5(x-1)>x2-5x, 解得-1f(x)得,-(x-1)2-5(x-1)>-x2-5x,解得x>-2, 所以-2f(x)的解集為{x|-2f(x)的解集可以理解為將f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位長度后所得

33、函數(shù)f(x-1)的圖象在函數(shù)f(x)的圖象上方部分的點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)取值的集合,由f(x)的解析式易得函數(shù)f(x-1)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-2,6)和(3,-6),所以不等式的解集為{x|-20,且a≠2,則g(

34、x)在[a,+∞)上無零點(diǎn), 在(-∞,a)上存在零點(diǎn)x=0和x=-, ∴ ≥a,解得0

35、os ,則g+g+…+g=________. 解析:由題意得,f(-x)=-f(x)=-[f(x+2)-1]?f(-x)+f(x+2)=1, 故g(x)+g(2-x)=f(x)+cos +f(2-x)+cos=1, 又f(6+x)=f(4+x)+1=f(2+x)+2=f(x)+3=-f(-x)+3, 所以f(-x)+f(6+x)=3,所以g(x)+g(6-x)=f(x)+cos +f(6-x)+cos=3. 令S1=g+g+…+g, 則S1=g+g+…+g, 兩式相加得,2S1=437×1,所以S1=. 令S2=g+g+…+g, 則S2=g+g+…+g, 兩式相加得,2S2

36、=437×3,所以S2=. 又f(2)=f(0)+1=1,g(2)=f(2)+cos π=f(2)-1=0, 故原式=S1+g(2)+S2=+0+=874. 答案:874 2.(2019·南通等七市二模)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x),且在[2,4)上,f(x)=則函數(shù)y=f(x)-log5|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________. 解析:由f(x+4)=f(x)得奇函數(shù)f(x)的最小正周期為4,作出函數(shù)f(x)與y=log5|x|的部分圖象如圖所示,根據(jù)圖象易知,函數(shù)y=f(x)與y=log5|x|的圖象有5個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)y=f(x)-log5|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5.

37、 答案:5 3.(2018·無錫期末)已知函數(shù)f(x)=g(x)=-x2-2x-2.若存在a∈R,使得f(a)+g(b)=0,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________. 解析:由題意,存在a∈R,使得f(a)=-g(b), 令h(b)=-g(b)=b2+2b+2. 當(dāng)a≤-時(shí),f(a)==-++1=-+2,因?yàn)閍≤-,所以-2≤<0,從而-7≤f(a)<1;當(dāng)a>-時(shí),f(a)=log,因?yàn)閍>-,所以>,從而f(a)<2. 綜上,函數(shù)f(a)的值域是(-∞,2). 令h(b)<2,即b2+2b+2<2,解得-2

38、0) 4.(2018·蘇北四市三調(diào))已知函數(shù)f(x)=的圖象恰好經(jīng)過三個(gè)象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:當(dāng)a<0時(shí),x≤0,y=ax-1的圖象經(jīng)過第二、三象限;x>0,y=x3-ax+|x-2|>0在(0,+∞)恒成立,所以圖象僅在第一象限,所以a<0時(shí)顯然滿足題意;當(dāng)a≥0時(shí),x≤0,y=ax-1的圖象僅經(jīng)過第三象限,由題意知,x>0,y=x3-ax+|x-2|的圖象需經(jīng)過第一、四象限. y=x3+|x-2|與y=ax在y軸右側(cè)的圖象有公共點(diǎn)(且不相切),如圖, y=x3+|x-2|= 結(jié)合圖象設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x-x0+2),y′=3x2-1,則有3x-

39、1=, 解得x0=1,所以臨界直線l0的斜率為2,所以a>2時(shí),符合.綜上,a<0或a>2. 答案:(-∞,0)∪(2,+∞) 5.(2018·蘇州測試)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=2x,若對任意的x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f2(x)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:當(dāng)x≥0時(shí),定義在R上的偶函數(shù)f(x)=2x,易得f(x)=2|x|,x∈R.由f(x+a)≥f2(x)得,2|x+a|≥(2|x|)2,即|x+a|≥|2x|對于x∈[a,a+2]恒成立,即(3x+a)(x-a)≤0對于x∈[a,a+2]恒成立, 即解得a≤

40、-. 答案: 6.(2018·南京、鹽城、連云港二模)已知函數(shù)f(x)=(t∈R).若函數(shù)g(x)=f(f (x)-1)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn),則t的取值范圍為________. 解析:當(dāng)x<0時(shí),f′(x)=-3x2+6x=3x(2-x),故函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,此時(shí)f(0)=t. 當(dāng)t≥0時(shí),作出函數(shù)f(x)的圖象如圖①所示. 令f(x)=0,得x=0, 從而當(dāng)g(x)=f(f(x)-1)=0時(shí),f(x)=1, 由圖象①可知,此時(shí)至多有兩個(gè)零點(diǎn),不符合題意; 當(dāng)t<0時(shí),作出函數(shù)f(x)的圖象如圖②所示. 令f(x)=0,得x=0,或x=m(m<0),且-

41、m3+3m2+t=0, 從而當(dāng)g(x)=f(f(x)-1)=0時(shí), f(x)-1=0或f(x)-1=m,即f(x)=1或f(x)=1+m, 借助圖象②知,欲使得函數(shù)g(x)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn), 則m+1≥0,從而-1≤m<0. 又因?yàn)閠(m)=m3-3m2,而t′(m)=3m2-6m>0, 故t(m)在區(qū)間[-1,0)上單調(diào)遞增,從而t∈[-4,0). 答案: [-4,0) 第二講 | 小題考法——不等式 考點(diǎn)(一) 不等式的恒成立問題及存在性問題   主要考查恒成立問題或存在性問題以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. [題組練透] 1.設(shè)實(shí)數(shù)a≥1,使得不等式x|

42、x-a|+≥a對任意的實(shí)數(shù)x∈[1,2]恒成立,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的范圍是________. 解析:(1)當(dāng)1≤a≤時(shí),顯然符合題意; (2)當(dāng)a≥2時(shí),原不等式可化為x(a-x)≥a-,取x=1,成立;當(dāng)x∈(1,2]時(shí),a≥=x+1-.而函數(shù)f(x)=x+1-在(1,2]上單調(diào)遞增,故a≥f(2)=; (3)當(dāng)

43、=0,若x+y≥m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________. 解析:x+4y-xy=0,即x+4y=xy,等式兩邊同時(shí)除以xy,得+=1,由基本不等式可得x+y=(x+y).=++5≥2+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2y=6時(shí),等號(hào)成立,所以x+y的最小值為9,因此m≤9. 答案:(-∞,9] 3.已知不等式(m-n)2+(m-ln n+λ)2≥2對任意m∈R,n∈(0,+∞)恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________. 解析:條件“不等式(m-n)2+(m-ln n+λ)2≥2對任意m∈R,n∈(0,+∞)恒成立”可看作“點(diǎn)(m,m+λ),(n,ln n)兩點(diǎn)的距離的平方恒大于2

44、”,即“直線y=x+λ與曲線f(x)=ln x上點(diǎn)之間的距離恒大于等于”.如圖,當(dāng)與直線y=x+λ平行的直線與曲線f(x)=ln x相切時(shí),兩平行線間的距離最短,f′(x)==1,故切點(diǎn)A(1,0),此切點(diǎn)到直線y=x+λ的距離為≥ ,解得λ≥1或λ≤-3(舍去,此時(shí)直線與曲線相交).故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[1,+∞). 答案:[1,+∞) 4.(2019·南京鹽城一模)若正實(shí)數(shù)a,b,c滿足ab=a+2b,abc=a+2b+c,則c的最大值為________. 解析:由ab=a+2b≥2,得ab≥8,則由abc=a+2b+c,得c===1+≤1+=,當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=2時(shí)等號(hào)成立,所以

45、c的最大值為. 答案: 5.(2019·江蘇連云港期中)已知a為正實(shí)數(shù),f(x)=若?x1,x2∈R,使得f(x1)=f(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:因?yàn)閍>0,所以拋物線y=x2+ax+3的對稱軸在y軸左側(cè),所以函數(shù)y=x2+ax+3在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且當(dāng)x=0時(shí)有最小值為3.又函數(shù)y=2x+a在(-∞,0)上為增函數(shù),若?x1,x2∈R,使得f(x1)=f(x2),只需20+a>3,解得a>2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+∞). 答案:(2,+∞) [方法技巧] 不等式恒成立問題或存在性問題的求解策略 (1)有關(guān)不等式恒成立問題,通常利用分離

46、變量法將其轉(zhuǎn)化,即將所求參數(shù)與變量x之間的函數(shù)關(guān)系用不等式連接起來,再求函數(shù)的最值,從而確定參數(shù)范圍.用分離變量法進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的好處是可以減少分類討論.若不等式中含有絕對值,須通過分類討論,轉(zhuǎn)化為一般的一元二次不等式,再求解. (2)存在性問題也需要轉(zhuǎn)化為最值問題,優(yōu)先考慮分離變量的做題思路. (3)二元問題的恒成立也可以構(gòu)造幾何意義,利用幾何法求解. 考點(diǎn)(二) 基本不等式 主要考查利用基本不等式求最值,常與函數(shù)等知識(shí)交匯命題. [題組練透] 1.(2019·常州期末)已知正數(shù)x,y滿足x+=1,則+的最小值為________. 解析:法一:由正數(shù)x,y滿足x+=1,得

47、=1-x,=>0,則00,則00(a,b,c∈R)的解集為{x|3

48、知實(shí)數(shù)x,y滿足x>y>0,且x+y≤2,則+的最小值為________. 解析:法一:因?yàn)?≥2x+2y,所以 4≥[(x+3y)+(x-y)]=3++≥3+2, 當(dāng)且僅當(dāng)x=2-1,y=3-2時(shí)取等號(hào), 故+的最小值為. 法二:因?yàn)閤>y>0,x+y≤2,所以0

49、n=時(shí)取等號(hào),所以的最大值為. 答案: [方法技巧] 利用基本不等式求最值的方法 (1)知和求積的最值:“和為定值,積有最大值”.但應(yīng)注意以下兩點(diǎn):①具備條件——正數(shù);②驗(yàn)證等號(hào)成立. (2)知積求和的最值:“積為定值,和有最小值”,直接應(yīng)用基本不等式求解,但要注意利用基本不等式求最值的條件. (3)構(gòu)造不等式求最值:在求解含有兩個(gè)變量的代數(shù)式的最值問題時(shí),通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換,構(gòu)造不等式求解. (4)“a+b,a2+b2,ab,+”之間的互化也是基本等式常見處理方法. 考點(diǎn)(三) 線性規(guī)劃問題 主要考查在約束條件下目標(biāo)函數(shù)最值的求法,以及

50、已知最優(yōu)解或可行域的情況求參數(shù)的值或范圍. [題組練透] 1.(2018·全國卷Ⅱ)若x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值為________. 解析:作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示.由圖可知當(dāng)直線x+y=z過點(diǎn)A時(shí)z取得最大值. 由得點(diǎn)A(5,4),∴zmax=5+4=9. 答案:9 2.(2018·蘇州模擬)設(shè)變量x,y滿足則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最小值為________. 解析:作出不等式組 對應(yīng)的可行域,如圖中陰影部分所示.當(dāng)直線y=-2x+z過點(diǎn)C時(shí),在y軸上的截距最小,此時(shí)z最小, 由得所以C, zmin=2×+=. 答案: 3

51、.(2018·福州四校聯(lián)考)設(shè)x,y滿足約束條件其中a>0,若的最大值為2,則a的值為________. 解析:設(shè)z=,則y=x,當(dāng)z=2時(shí),y=-x,作出x,y滿足的約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,作出直線y=-x,易知此直線與區(qū)域的邊界線2x-2y-1=0的交點(diǎn)為,當(dāng)直線x=a過點(diǎn)時(shí)a=,又此時(shí)直線y=x的斜率=-1+的最小值為-,即z的最大值為2,符合題意,所以a的值為. 答案: 4.已知a,b,c為正實(shí)數(shù),且a+2b≤8c,+≤,則的取值范圍為________. 解析:因?yàn)閍,b,c為正實(shí)數(shù),且a+2b≤8c,+≤, 所以令=x,=y(tǒng), 得則 作出不等式組表示的

52、平面區(qū)域如圖中陰影部分所示. 令z==3x+8y,則y=-x+,由圖知當(dāng)直線y=-x+過點(diǎn)A時(shí),截距最大,即z最大,當(dāng)直線y=-x+與曲線y=相切時(shí),截距最小,即z最小.解方程組得A(2,3), ∴zmax=3×2+8×3=30, 設(shè)直線y=-x+與曲線y=的切點(diǎn)為(x0,y0), 則′,即=-, 解得x0=3.∴切點(diǎn)坐標(biāo)為,∴zmin=3×3+8×=27,∴27≤≤30. 答案:[27,30] [方法技巧] 解決線性規(guī)劃問題的3步驟 (一) 主干知識(shí)要記

53、牢 1.不等式的性質(zhì) (1)a>b,b>c?a>c; (2)a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc; (3)a>b?a+c>b+c; (4)a>b,c>d?a+c>b+d; (5)a>b>0,c>d>0?ac>bd; (6)a>b>0,n∈N,n>1?an>bn,>. 2.簡單分式不等式的解法 (1)>0?f(x)g(x)>0,<0?f(x)g(x)<0. (2)≥0?≤0? (3)對于形如>a(≥a)的分式不等式要采?。骸耙祈?xiàng)—通分—化乘積”的方法轉(zhuǎn)化為(1)或(2)的形式求解. (二) 二級結(jié)論要用好 1.一元二次不等式的恒成立問題 (1)ax2

54、+bx+c>0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的條件是 2.基本不等式的重要結(jié)論 (1)≥(a>0,b>0). (2)ab≤(a,b∈R). (3) ≥≥(a>0,b>0). 3.線性規(guī)劃中的兩個(gè)重要結(jié)論 (1)點(diǎn)M(x0,y0)在直線l:Ax+By+C=0(B>0)上方(或下方)?Ax0+By0+C>0(或<0). (2)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)在直線l:Ax+By+C=0同側(cè)(或異側(cè))?(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0(或<0).

55、 A組——抓牢中檔小題 1.當(dāng)x>0時(shí),f(x)=的最大值為________. 解析:因?yàn)閤>0,所以f(x)==≤=1, 當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=1時(shí)取等號(hào). 答案:1 2.(2019·蘇北三市一模)已知a>0,b>0,且a+3b=-,則b的最大值為________. 解析:a+3b=-可化為-3b=a+≥2,即3b2+2b-1≤0,解得0

56、b=,即a=且b=時(shí)等號(hào)成立. 答案:2 4.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0對x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:當(dāng)a-2=0,即a=2時(shí),原不等式為-4<0, 所以a=2時(shí)不等式恒成立, 當(dāng)a-2≠0,即a≠2時(shí),由題意得 即 解得-2

57、4 m3,高為1 m,得另一邊長為 m. 記容器的總造價(jià)為y元, 則y=4×20+2×1×10 =80+20≥80+20×2 =160, 當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=2時(shí)等號(hào)成立. 因此,當(dāng)x=2時(shí),y取得最小值160, 即容器的最低總造價(jià)為160元. 答案:160元 6.已知a>0, b>0,且+=,則ab的最小值是________. 解析:因?yàn)椋剑? ,所以ab≥2,當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí)取等號(hào). 答案:2 7.已知關(guān)于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)a的最小值為________. 解析:因?yàn)閤∈(a,+∞),所以2x+=2(x-a)++2a≥2 +2a=4

58、+2a,當(dāng)且僅當(dāng)x-a=1時(shí)等號(hào)成立. 由題意可知4+2a≥7,解得a≥,即實(shí)數(shù)a的最小值為. 答案: 8.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足+=1,且不等式x+x+≥≥4,故m2-3m>4,化簡得(m+1)(m-4)>0,解得m<-1或m>4,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1)∪(4,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(4,+∞) 9.已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1,若對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 解析:因?yàn)閒(x)=

59、x2+mx-1是開口向上的二次函數(shù),所以函數(shù)的最大值只能在區(qū)間端點(diǎn)處取到,所以對于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,只需 即 解得所以-

60、 β-sin αsin β=, 即cos αcos β=sin α, 由α,β均為銳角得cos α≠0,tan β>0, 所以tan α=====≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)2tan β=,即tan β=時(shí),等號(hào)成立. 答案: 12.(2019·湖北宜昌模擬)已知x,y滿足不等式組若不等式ax+y≤7恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:x,y滿足不等式組的平面區(qū)域如圖所示,由于對任意的實(shí)數(shù)x,y,不等式ax+y≤7恒成立,設(shè)z=ax+y,根據(jù)圖形,當(dāng)a≥0時(shí),z=ax+y的最優(yōu)解為A(2,1),可得2a+1≤7,解得0≤a≤3;當(dāng)a<0時(shí),z=ax+y的最優(yōu)解為B(-2,-

61、1),則-2a-1≤7,解得-4≤a<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-4,3]. 答案:[-4,3] 13.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足-y2=1,則3x2-2xy的最小值是________. 解析:法一:因?yàn)椋瓂2=1, 所以3x2-2xy==, 令k=∈, 則3x2-2xy==, 再令t=3-2k∈(2,4),則k=, 故3x2-2xy==≥=6+4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)等號(hào)成立. 法二:因?yàn)椋瓂2=1=,所以令+y=t,則-y=,從而則3x2-2xy=6+2t2+≥6+4,當(dāng)且僅當(dāng)t2=時(shí)等號(hào)成立. 答案:6+4 14.已知函數(shù)f(x)=設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上恒

62、成立,則a的取值范圍是________. 解析:根據(jù)題意,作出f(x)的大致圖象,如圖所示. 當(dāng)x≤1時(shí),若要f(x)≥恒成立,結(jié)合圖象,只需x2-x+3≥-,即x2-+3+a≥0,故對于方程x2-+3+a=0,Δ=-4(3+a)≤0,解得a≥-;當(dāng)x>1時(shí),若要f(x)≥恒成立,結(jié)合圖象,只需x+≥+a,即+≥a.又+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2時(shí)等號(hào)成立,所以a≤2.綜上,a的取值范圍是. 答案: B組——力爭難度小題 1.已知函數(shù)f(x)=ax2+x,若當(dāng)x∈[0,1]時(shí),-1≤f(x)≤1恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 解析:當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0,不等式成

63、立; 當(dāng)x∈(0,1]時(shí),不等式-1≤f(x)≤1,即 其中∈[1,+∞), 從而 解得-2≤a≤0. 答案:[-2,0] 2.△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,sin 2C+cos(A+B)=0且c=,a>c,a+b=5.則△ABC的面積是________. 解析:由sin 2C+cos(A+B)=0且A+B+C=π, 得2sin Ccos C-cos C=0,所以cos C=0或sin C=. 由c=,a>c得,cos C=0不成立,所以sin C=,所以C=, 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=25-3ab=13,所以

64、ab=4, 故S△ABC=absin C=×4×=. 答案: 3.(2019·湖南長沙岳麓區(qū)模擬)若圓A:(x-1)2+(y-4)2=a上至少存在一點(diǎn)P落在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖,圓A與不等式組表示的平面區(qū)域有交點(diǎn).因?yàn)閳AA的圓心(1,4)到直線3x-y-1=0的距離為=,聯(lián)立方程可得B(3,4),D(1,2),則圓心A與可行域內(nèi)的點(diǎn)的距離的最大值為|AB|=|AD|=2,所以≤≤2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 答案: 4.如圖是某斜拉式大橋的部分平面結(jié)構(gòu)模型,其中橋塔AB,CD與橋面AC垂直,且AB

65、=1 m,CD=2 m,AC=7 m.P為AC上的一點(diǎn),則當(dāng)∠BPD達(dá)到最大時(shí),AP的長度為________ m. 解析:設(shè)AP=x m(0≤x≤7),則PC=(7-x) m, 所以tan∠BPD=tan(∠ABP+∠PDC)===.令x+7=t,7≤t≤14,則tan∠BPD===,故當(dāng)t=,即t=10時(shí),∠BPD最大,此時(shí)x=3,即AP的長度為3 m. 答案:3 5.(2018·江蘇高考)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為________. 解析:法一:如圖, ∵S△ABC=

66、S△ABD+S△BCD, ∴ac·sin 120°=c×1×sin 60°+a×1×sin 60°,∴ac=a+c.∴+=1. ∴4a+c=(4a+c)=++5≥2 +5=9, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即c=2a時(shí)取等號(hào). 故4a+c的最小值為9. 法二:如圖,以B為原點(diǎn),BD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系, 則D(1,0),A,C.又A,D,C三點(diǎn)共線, ∴=, ∴ac=a+c.∴+=1. ∴4a+c=(4a+c)=++5≥2 +5=9, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即c=2a時(shí)取等號(hào). 故4a+c的最小值為9. 答案:9 6.已知a>1,定義f(n)=++…+,如果對任意的n≥2,n∈N*,不等式12f(n)+7logab>7+7loga+1b恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________. 解析:由f(n)=++…+,知f(n+1)=++…+,所以f(n+1)-f(n)=+-=>0,所以f(n)單調(diào)遞增,所以當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),f(n)的最小值為f(2)=.要使得對任意的n≥2,n∈N*,不等式12f(n)+7logab>7+7loga+1b恒成立,只需滿足12×+7loga

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