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1、2022年高考數(shù)學(藝術(shù)生百日沖刺)專題19 考前模擬卷
一.選擇題
1.設(shè)集合M={x|x2﹣x>0},N={x|<1},則( ?。?
A.M∩N=? B.M∪N=? C.M=N D.M∪N=R
【答案】C
【解析】:M={x|x2﹣x>0}={x|x>1或x<0},N={x|<1}={x|x>1或x<0},
則M=N,故選:C.
2. 已知是虛數(shù)單位,,且,則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,得,
,即,故選A.
3. 在區(qū)間[0,2]上隨機取一個數(shù)x,使的概率為( ?。?
A. B. C. D.
【答案
2、】A
【解析】:∵0≤x≤2,∴0≤≤π,∵sin≥,
∴≤≤,即≤x≤,∴P==.故選:A.
4. (2018?威海二模)已知命題p:“?a>b,|a|>|b|”,命題q:“”,則下列為真命題的是( ?。?
A.p∧q B.¬p∧¬q C.p∨q D.p∨¬q
【答案】C
【解析】:∵命題p:“?a>b,|a|>|b|”是假命題,命題q:“”是真命題,∴p∨q是真命題.故選:C.
5. 如圖1為某省2018年1~4月快遞業(yè)務(wù)量統(tǒng)計圖,圖2是該省2018年1~4月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計圖,下列對統(tǒng)計圖理解錯誤的是
A. 2018年1~4月的業(yè)務(wù)量,3月最高,2月最低,差值接近200
3、0萬件
B. 2018年1~4月的業(yè)務(wù)量同比增長率均超過50%,在3月最高
C. 從兩圖來看,2018年1~4月中的同一個月的快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長率并不完全一致
D. 從1~4月來看,該省在2018年快遞業(yè)務(wù)收入同比增長率逐月增長
【答案】D
6.(2019?泉州期中)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則“Sn的最大值是S8”是“”的( ?。?
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】:等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則“Sn的最大值是S8”?a8>0,a9<0.
則“”?.
∴Sn的最大值是S8
4、”是“”的充要條件.
故選:C.
7.已知點P(2,1)是拋物線C:x2=my上一點,A,B是拋物線C上異于P的兩點,A,B在x軸上的射影分別為A1,B1,若直線PA與直線PB的斜率之差為1,D是圓(x﹣1)2+(y+4)2=1上一動點,則△A1B1D的面積的最大值為( ?。?
(2)若b,a,c成等差數(shù)列,△ABC的面積為2,求a.
【解析】:(1)∵asinB=bsin(A+).
∴由正弦定理可得:sinAsinB=sinBsin(A+).
∵sinB≠0,
∴sinA=sin(A+).
∵A∈(0,π),可得:A+A+=π,
∴A=.…………6分
(2)∵b,a,c成
5、等差數(shù)列,
∴b+c=,
∵△ABC的面積為2,可得:S△ABC=bcsinA=2,
∴=2,解得bc=8,
∴由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc﹣2bccos=(b+c)2﹣3bc=(a)2﹣24,
∴解得:a=2.………………12分
18. 如圖所示,在四棱錐S—ABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD為直角梯形,其中AB∥CD,∠ADC=90°,AD=AS=2,AB=1,CD=3,點E在棱CS上,且CE=λCS.
(1)若,證明:BE⊥CD;
(2)若,求點E到平面SBD的距離.
【解析】(1)因為,所以,在線段CD上取一點F
6、使,連接EF,BF,則EF∥SD且DF=1.
因為AB=1,AB∥CD,∠ADC=90°,
所以四邊形ABFD為矩形,所以CD⊥BF.
又SA⊥平面ABCD,∠ADC=90°,
所以SA⊥CD,AD⊥CD.
因為AD∩SA=A,所以CD⊥平面SAD,
所以CD⊥SD,從而CD⊥EF.
因為BF∩EF=F,所以CD⊥平面BEF.
又BE平面BEF,所以CD⊥BE.…………5分
(2)解:
由題設(shè)得,,
又因為,,,
所以,
設(shè)點C到平面SBD的距離為h,則由VS—BCD=VC—SBD得,
因為,所以點E到平面SBD的距離為.…………12分
19. .20
7、18年8月8日是我國第十個全民健身日,其主題是:新時代全民健身動起來.某市為了解全民健身情況,隨機從某小區(qū)居民中抽取了40人,將他們的年齡分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試求這40人年齡的平均數(shù)、中位數(shù)的估計值;
(2)(?。┤魪臉颖局心挲g在[50,70)的居民中任取2人贈送健身卡,求這2人中至少有1人年齡不低于60歲的概率;
(ⅱ)已知該小區(qū)年齡在[10,80]內(nèi)的總?cè)藬?shù)為2000,若18歲以上(含18歲)為成年人,試估計該小區(qū)年齡不超過80歲的成年人人數(shù)
8、.
【解析】
(1)平均數(shù).
前三組的頻率之和為0.15+0.2+0.3=0.65,故中位數(shù)落在第3組,設(shè)中位數(shù)為x,
則(x-30)×0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位數(shù)為35.…………5分
(2)(?。颖局?,年齡在[50,70)的人共有40×0.15=6人,其中年齡在[50,60)的有4人,設(shè)為a,b,c,d,年齡在[60,70)的有2人,設(shè)為x,y.
則從中任選2人共有如下15個基本事件:(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(c,d),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y)
9、,(x,y).
至少有1人年齡不低于60歲的共有如下9個基本事件:
(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y).
記“這2人中至少有1人年齡不低于60歲”為事件A,
故所求概率.…………9分
(ⅱ)樣本中年齡在18歲以上的居民所占頻率為1-(18-10)×0.015=0.88,
故可以估計,該小區(qū)年齡不超過80歲的成年人人數(shù)約為2000×0.88=1760.……12分
20. 已知橢圓E:(a>b>0)過點P(),其上頂點B(0,b)與左右焦點F1,F(xiàn)2構(gòu)成等腰三角形,且∠F1BF2=120°.
(Ⅰ)求橢圓E的方
10、程;
(Ⅱ)以點B(0,b)為焦點的拋物線C:x2=2py(p>0)上的一動點P(m,yp),拋物線C在點P處的切線l與橢圓E交于P1P2兩點,線段P1P2的中點為D,直線OD(O為坐標原點)與過點P且垂直于x軸的直線交于點M,問:當0<m≤b時,△POM面積是否存在最大值?若存在,求出最大值,若不存在說明理由.
【解析】:(Ⅰ)由已知得:a=2b,+=1,
解得b2=1,a2=4.
故橢圓E的方程為:+y2=1.………………4分
(Ⅱ)拋物線C的焦點B(0,1),則其方程為x2=4y.y′=x.
于是拋物線上點P(m,),則在點P處的切線l的斜率為k=y′|x=m=,
故切線l
11、的方程為:y﹣=(x﹣m),即y=x﹣.…………6分
由方程組,消去y,整理后得(m2+1)x2﹣m3x+﹣4=0.
由已知直線l與橢圓交于兩點,則△=m6﹣4(m2+1)(﹣4)>0.
解得0≤m2<8+4,其中m=0是不合題意的.
∴﹣<m<0,或0<m<.
設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則xD==.…………8分
代入l的方程得yD=.
故直線OD的方程為:x,即y=﹣x.
當x=m時,y=﹣,即點M.
△POM面積S=|PM|?m=m=+m.
∵S′=m2+>0,
故S關(guān)于m單調(diào)遞增.
∵0<m≤1,∴當m=1時,△POM面積最大值為.…………12分
12、
21已知函數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù),求a的取值范圍;
(2)當-2<a<0時,證明:對任意x∈(0,+∞),.
【解析】 (1)解:由題意得.
即在上恒成立,
所以.…………3分
(2)證明:由(1)可知,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
因為,
所以,
所以,即,
即,
所以.…………12分
22.(10分)以直角坐標系的原點O為極點,x軸正半軸為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線l的參數(shù)方程為,(t為參數(shù),0<θ<π),曲線C的極坐標方程為ρsin2θ﹣2cosθ=0.
(1)求曲線C的直角坐標方程;
(2
13、)設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點,當θ變化時,求|AB|的最小值.
【分析】(1)利用極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化方法,求曲線C的直角坐標方程;
(2)將直線l的參數(shù)方程代入y2=2x,得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0,利用參數(shù)的幾何意義,求|AB|的最小值.
23. 設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值為m.
(Ⅰ)作出函數(shù)f(x)的圖象;
(Ⅱ)若a2+2c2+3b2=m,求ab+2bc的最大值.
【解析】:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=|x﹣1|﹣|2x+1|=,
畫出圖象如圖,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當x=﹣時,函數(shù)f(x)取得最大值為m=.
∵a2+2c2+3b2=m==(a2+b2)+2(c2+b2)≥2ab+4bc,
∴ab+2bc≤,當且僅當a=b=c=1時,取等號,
故ab+2bc的最大值為.