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1、2022高考數(shù)學(xué) 30分鐘拿下選擇、填空題 專題04 估算法 理 方法探究 估算法一般包括范圍估算，極端值估算和推理估算，是一種快速解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，也是一種高效率得出正確結(jié)論的捷徑. 對(duì)于高考數(shù)學(xué)某些問(wèn)題，當(dāng)我們沒(méi)有合適的解題思路或正面解析比較麻煩，特別又是針對(duì)選擇題時(shí)，不必進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，我們可以通過(guò)適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小部分?jǐn)?shù)據(jù)估算出答案的大概范圍或者近似值，也可以通過(guò)對(duì)其數(shù)值特點(diǎn)和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙?jì)，便能作出正確的判斷，這就是估算法． 當(dāng)然，這有時(shí)也適合用在填空題中，比如比較大小時(shí).估算法往往可以減少運(yùn)算量，但是加強(qiáng)了思維的層次，所以我們要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用. 而對(duì)于選擇題，實(shí)在沒(méi)

2、思路時(shí)，又不需要解題過(guò)程，我們用這種方法還是能很大程度上提高我們的得分率的，比如，求某個(gè)圖形的面積或體積，當(dāng)選項(xiàng)差距比較大時(shí)，我們只需通過(guò)計(jì)算一部分比較好計(jì)算或自己熟練掌握的，就可以通過(guò)比較各選項(xiàng)得出正確結(jié)論. 經(jīng)典示例 【例1】（范圍估算）已知，，，則這三個(gè)數(shù)從大到小的順序是______． 【答案】 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問(wèn)題，屬于難題.解答比較大小問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答.數(shù)值比較多的比較大小問(wèn)題也可以兩種方法綜合應(yīng)用. 【備考警示】本題屬于高考的?？碱}型，

3、而這種用估算范圍的方法進(jìn)行比較，也是我們常用的快捷方法，需要大家熟練掌握. 【例2】（極端值估算）函數(shù)的圖象大致為 A． B． C． D． 【答案】B 【名師點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象. 【備考警示】當(dāng)函數(shù)在某一點(diǎn)處沒(méi)有定義或趨于無(wú)限時(shí)，可估算一下函數(shù)值的范圍，從而得出函數(shù)圖象的大致范圍，此類問(wèn)題屬于常見(jiàn)題型，需要熟練掌握.

4、 【例3】（數(shù)值估算）已知實(shí)數(shù)滿足條件，則目標(biāo)函數(shù)從最小值連續(xù)變化到1時(shí)，所有滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為 A． B． C． D．1 【答案】A 方法二：四邊形的面積是△OAD去掉一個(gè)小直角三角形，陰影部分面積比1大，比S△OAD＝×2×2＝2小，故選C項(xiàng)． 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）

5、；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值. 【備考警示】特別是像這種求面積需要求幾部分的和的時(shí)候，如果某一部分不好求或求不出，可以大致估算一下選出正確答案. 【例4】（推理估算）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2.則此棱錐的體積是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一：易得△ABC的面積為，而三棱錐的高一定小于球的直徑2， 【備考警示】方法一明顯要比方法二簡(jiǎn)單快捷的多.熟練掌握此類方法也是很有必要的. 拓展變式 1．已知，則的大小關(guān)系為 A．

6、 B． C． D． 【答案】A 【解析】因?yàn)?，，，所以，故選A． 【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)值的比較大小的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對(duì)應(yīng)值的范圍，借助于中介值來(lái)完成任務(wù). 2．如圖，把周長(zhǎng)為的圓的圓心放在軸上，點(diǎn)在圓上，一動(dòng)點(diǎn)從開(kāi)始逆時(shí)針繞圓運(yùn)動(dòng)一周，記弧，直線與軸交于點(diǎn)，則函數(shù)的圖象大致為 A． B． C． D． 【答案】D 3．如圖，在多面體ABCDFE中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面ABCD的距離為2，則

7、該多面體的體積為 A． B．5 C．6 　 D． 【答案】D 【解析】依題意可計(jì)算，而＝6，觀察各選項(xiàng)可知選D. 【名師點(diǎn)睛】本題當(dāng)然也可以通過(guò)分割或補(bǔ)形的方法轉(zhuǎn)化成常規(guī)幾何體進(jìn)行計(jì)算可得，但遠(yuǎn)不如上述方法來(lái)的簡(jiǎn)單. 終極押題 一、選擇題 1．設(shè)集合, ,則 A． B． C． D． 【答案】B 2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差為 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析

8、】依題意，，而，故數(shù)列的公差為，故選C． 3．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由可得，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限．故選B． 4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則向量與的夾角的余弦值為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依題意，，故的夾角的余弦值為，故選B． 5．某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，成績(jī)大于等

9、于13秒且小于14秒；第二組，成績(jī)大于等于14秒且小于15秒；；第六組，成績(jī)大于等于18秒且小于等于19秒．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．設(shè)成績(jī)小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為，成績(jī)大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為，則從頻率分布直方圖中可以分析出和分別為 A．0.9，45 B．0.9，35 C．0.1，35 D．0.1，45 【答案】B 6．執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的結(jié)果為 A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 7．古代數(shù)學(xué)名著《張丘

10、建算經(jīng)》中有如下問(wèn)題：“今有倉(cāng)，東西袤一丈二尺，南北廣七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，問(wèn)受粟幾何？”該問(wèn)題實(shí)際描述的是：有一糧倉(cāng)的三視圖如圖所示（單位：尺），問(wèn)能儲(chǔ)存多少粟米？已知1斛米的體積約為立方尺，估算糧倉(cāng)可以儲(chǔ)存的粟米約有（四舍五入取整數(shù)） A．斛 B．斛 C．斛 D．斛 【答案】D 【解析】由三視圖得，糧倉(cāng)的形狀是一個(gè)如圖所示的放倒的直四棱柱， 其體積為立方尺），又，所以糧倉(cāng)可以儲(chǔ)存的粟米約為斛，故選D． 8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率

11、為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在軸的上方，易得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由可得，即，結(jié)合，解得．故選C． 9．已知函數(shù)()，，若，且，則 A． B． C． D． 【答案】B 10．某公園經(jīng)常會(huì)在周末舉辦豐富多彩的娛樂(lè)活動(dòng)，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一顆金蛋，如果有獎(jiǎng)品，則“中獎(jiǎng)”）.某校甲、乙、丙、丁四位同學(xué)相約來(lái)到該公園，每人均獲得砸一顆金蛋的機(jī)會(huì).游戲開(kāi)始前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)游戲中獎(jiǎng)結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如下： 甲說(shuō)：“我或乙能中獎(jiǎng)”；

12、 乙說(shuō)：“丁能中獎(jiǎng)”； 丙說(shuō)：“我或乙能中獎(jiǎng)”； 丁說(shuō)：“甲不能中獎(jiǎng)”. 游戲結(jié)束后，這四位同學(xué)中只有一位同學(xué)中獎(jiǎng)，且只有一位同學(xué)的預(yù)測(cè)結(jié)果是正確的，則中獎(jiǎng)的同學(xué)是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解析】由題意可知，若甲中獎(jiǎng)，僅有甲預(yù)測(cè)正確，符合題意；若乙中獎(jiǎng)，則甲、丙、丁均預(yù)測(cè)正確，不符合題意；若丙中獎(jiǎng)，則丙、丁預(yù)測(cè)正確，不符合題意；若丁中獎(jiǎng)，則乙、丁預(yù)測(cè)正確，不符合題意.故選A． 11．已知正三棱錐的外接球的半徑為1，若正三棱錐的高為，則該正三棱錐的側(cè)面積為 A． B． C． D． 【答案】

13、B 12．已知，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】當(dāng)時(shí)，可化為，則； 當(dāng)時(shí)，可化為，即恒成立， 令，，則，易知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，也是最大值，故，即. 因?yàn)?，所以?shí)數(shù)m的取值范圍為，故選B． 二、填空題 13．的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 .（用數(shù)字作答） 【答案】 【解析】由.令，則常數(shù)項(xiàng)為. 14．已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是 . 【答案】 15．已知實(shí)數(shù)滿

14、足約束條件則的取值范圍為 . 【答案】 【解析】依題意，.作出約束條件所表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分所示（含邊界）.表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，觀察可知，，則，所以，所以，故的取值范圍為. 16．已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)M與第四象限內(nèi)的點(diǎn)N在焦點(diǎn)為F的拋物線上，若三點(diǎn)共線，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則拋物線的方程為_(kāi)______________. 【答案】 你用了幾分鐘？ 有哪些問(wèn)題？

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