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2022年高考數(shù)學 (真題+模擬新題分類匯編) 解析幾何 文

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1、2022年高考數(shù)學 (真題+模擬新題分類匯編) 解析幾何 文 21.B12,H1[xx·新課標全國卷Ⅱ] 已知函數(shù)f(x)=x2e-x. (1)求f(x)的極小值和極大值; (2)當曲線y=f(x)的切線l的斜率為負數(shù)時,求l在x軸上截距的取值范圍. 21.解:(1)f(x)的定義域為(-∞,+∞). f′(x)=-e-xx(x-2).① 當x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)時,f′(x)<0; 當x∈(0,2)時,f′(x)>0. 所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)單調遞減,在(0,2)單調遞增. 故當x=0時,f(x)取得極小值,極小值為f(0)=0;當x=2時

2、,f(x)取得極大值,極大值為f(2)=4e-2. (2)設切點為(t,f(t)),則l的方程為 y=f′(t)(x-t)+f(t). 所以l在x軸上的截距為 m(t)=t-=t+=t-2++3. 由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞). 令h(x)=x+(x≠0),則當x∈(0,+∞)時,h(x)的取值范圍為[2 ,+∞);當x∈(-∞,-2)時,h(x)的取值范圍是(-∞,-3). 所以當t∈(-∞,0)∪(2,+∞)時,m(t)的取值范圍是(-∞,0)∪[2 +3,+∞). 綜上,l在x軸上的截距的取值范圍是(-∞,0)∪[2 +3,+∞). 5.H1,H4[xx·

3、天津卷] 已知過點P(2,2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線ax-y+1=0垂直,則a=(  ) A.- B.1 C.2 D. 5.C [解析] 設過點P(2,2)的圓的切線方程為y-2=k(x-2),由題意得=,解之得k=-.又∵切線與直線ax-y+1=0垂直,∴a=2. 15.H1,C8,E8[xx·四川卷] 在平面直角坐標系內,到點A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距離之和最小的點的坐標是________. 15.(2,4) [解析] 在以A,B,C,D為頂點構成的四邊形中,由平面幾何知識:三角形兩邊之和大于第三邊,可知當動點落在四邊

4、形兩條對角線AC,BD交點上時,到四個頂點的距離之和最?。瓵C所在直線方程為y=2x,BD所在直線方程為y=-x+6,交點坐標為(2,4),即為所求. H2 兩直線的位置關系與點到直線的距離                    20.H2,H4[xx·新課標全國卷Ⅱ] 在平面直角坐標系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為2 ,在y軸上截得線段長為2 . (1)求圓心P的軌跡方程; (2)若P點到直線y=x的距離為,求圓P的方程. 20.解:(1)設P(x,y),圓P的半徑為r. 由題設y2+2=r2,x2+3=r2.從而y2+2=x2+3. 故P點的軌跡方程為

5、y2-x2=1. (2)設P(x0,y0),由已知得 =. 又P點在雙曲線y2-x2=1上,從而得 由得 此時,圓P的半徑r=. 由得 此時,圓P的半徑r=. 故圓P的方程為x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3. 4.H2、H3和H4[xx·重慶卷] 設P是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動點,Q是直線x=-3上的動點,則|PQ|的最小值為(  ) A.6 B.4 C.3 D.2 4.B [解析] |PQ|的最小值為圓心到直線距離減去半徑.因為圓的圓心為(3,-1),半徑為2,所以|PQ|的最小值d=3-(-3)-2=4. H3 圓的方程  

6、                  14.H3[xx·江西卷] 若圓C經(jīng)過坐標原點和點(4,0),且與直線y=1相切,則圓C的方程是________. 14.(x-2)2+= [解析] r2=4+(r-1)2,得r=,圓心為.故圓C的方程是(x-2)2+=. 21.F2、F3、H3、H5和H8[xx·重慶卷] 如圖1-5所示,橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,離心率e=,過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A,A′兩點,|AA′|=4. (1)求該橢圓的標準方程; (2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P,P′,過P,P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點均在圓Q外.求△

7、PP′Q的面積S的最大值,并寫出對應的圓Q的標準方程. 圖1-5 21.解:(1)由題意知點A(-c,2)在橢圓上,則+=1,從而e2+=1. 由e=得b2==8,從而a2==16. 故該橢圓的標準方程為+=1. (2)由橢圓的對稱性,可設Q(x0,0),又設M(x,y)是橢圓上任意一點,則 |QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x+8 =(x-2x0)2-x+8(x∈[-4,4]). 設P(x1,y1),由題意,P是橢圓上到Q的距離最小的點,因此,上式當x=x1時取最小值,又因為x1∈(-4,4),所以上式當x=2x0時取最小值,所以x1=2x0,且|QP|2

8、=8-x. 由對稱性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以 S=|2y1||x1-x0|=×2 |x0|= =. 當x0=±時,△PP′Q的面積S取到最大值2 . 此時對應的圓Q的圓心坐標為Q(±,0),半徑|QP|==,因此,這樣的圓有兩個,其標準方程分別為(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6. 4.H2、H3和H4[xx·重慶卷] 設P是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動點,Q是直線x=-3上的動點,則|PQ|的最小值為(  ) A.6 B.4 C.3 D.2 4.B [解析] |PQ|的最小值為圓心到直線距離減去半徑.因為圓的圓心為(3,-

9、1),半徑為2,所以|PQ|的最小值d=3-(-3)-2=4. H4 直線與圓、圓與圓的位置關系                    6.H4[xx·安徽卷] 直線x+2y-5+=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長為(  ) A.1 B.2 C.4 D.4 6.C [解析] 圓的標準方程是(x-1)2+(y-2)2=5,圓心(1,2)到直線x+2y-5+=0的距離d=1,所以直線x+2y-5+=0被圓x2+y2-2x-4y=0所截得的弦長l=2=4. 7.H4[xx·廣東卷] 垂直于直線y=x+1且與圓x2+y2=1相切于第Ⅰ象限的直線方程是(  )

10、 A.x+y-=0 B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+=0 7.A [解析] 設直線方程為y=-x+m,且原點到此直線的距離是1,即1=,解得m=±.當m=-時,直線和圓切于第Ⅲ象限,故舍去,選A. 14.H4[xx·湖北卷] 已知圓O:x2+y2=5,直線l:x cosθ+y sinθ=1.設圓O上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)為k,則k=________. 14.4 [解析] 圓心到直線的距離d=1,r=,r-d>d,所以圓O上共有4個點到直線的距離為1,k=4. 10.H4[xx·江西卷] 如圖1-3所示,已知l1⊥l2,圓心在l1上、半徑為1 m的圓O在

11、t=0時與l2相切于點A,圓O沿l1以1 m/s的速度勻速向上移動,圓被直線l2所截上方圓弧長記為x,令y=cos x,則y與時間t(0≤t≤1,單位:s)的函數(shù)y=f(t)的圖像大致為(  ) 圖1-3 圖1-4 10. B [解析] 如圖,設∠MOA=α,cos α=1-t,cos 2α=2cos2 α-1=2t2-4t+1,x=2α·1=2α,y=cos x=cos 2α=2t2-4t+1,故選B. 20.H2,H4[xx·新課標全國卷Ⅱ] 在平面直角坐標系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為2 ,在y軸上截得線段長為2 . (1)求圓心P的軌跡方程; (2

12、)若P點到直線y=x的距離為,求圓P的方程. 20.解:(1)設P(x,y),圓P的半徑為r. 由題設y2+2=r2,x2+3=r2.從而y2+2=x2+3. 故P點的軌跡方程為y2-x2=1. (2)設P(x0,y0),由已知得 =. 又P點在雙曲線y2-x2=1上,從而得 由得 此時,圓P的半徑r=. 由得 此時,圓P的半徑r=. 故圓P的方程為x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3. 13.H4[xx·山東卷] 過點(3,1)作圓(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的長為________. 13.2  [解析] 設弦與圓的交點為A、B,最短弦長

13、以(3,1)為中點,由垂徑定理得+(3-2)2+(2-1)2=4,解之得|AB|=2 . 8.H4[xx·陜西卷] 已知點M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關系是(  ) A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定 8.B [解析] 由題意點M(a,b)在圓x2+y2=1外,則滿足a2+b2>1,圓心到直線的距離d=<1,故直線ax+by=1與圓O相交. 5.H1,H4[xx·天津卷] 已知過點P(2,2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線ax-y+1=0垂直,則a=(  ) A.- B.1 C.2 D. 5.C [解析]

14、設過點P(2,2)的圓的切線方程為y-2=k(x-2),由題意得=,解之得k=-.又∵切線與直線ax-y+1=0垂直,∴a=2. 20.H4,E8,B1[xx·四川卷] 已知圓C的方程為x2+(y-4)2=4,點O是坐標原點.直線l:y=kx與圓C交于M,N兩點. (1)求k的取值范圍; (2)設Q(m,n)是線段MN上的點,且=+.請將n表示為m的函數(shù). 20.解:(1)將y=kx代入x2+(y-4)2=4,得 (1+k2)x2-8kx+12=0.(*) 由Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12>0,得k2>3. 所以,k的取值范圍是(-∞,-)∪(+∞). (2)因為M,N

15、在直線l上,可設點M,N的坐標分別為(x1,kx1),(x2,kx2),則 |OM|2=(1+k2)x,|ON|2=(1+k2)x. 又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2, 由=+,得 =+, 即=+=. 由(*)式可知,x1+x2=,x1x2=, 所以m2=. 因為點Q在直線y=kx上,所以k=,代入m2=中并化簡,得5n2-3m2=36. 由m2=及k2>3,可知00, 所以n==. 于是,n與m的函數(shù)關系為n=(m∈(-,0)∪(0,)). 13.H4[xx·浙江卷] 直線y=2x+3

16、被圓x2+y2-6x-8y=0所截得的弦長等于________. 13.4  [解析] 圓的標準方程為(x-3)2+(y-4)2=25,圓心到直線的距離為d==,所以弦長為2=2=4 . 4.H2、H3和H4[xx·重慶卷] 設P是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動點,Q是直線x=-3上的動點,則|PQ|的最小值為(  ) A.6 B.4 C.3 D.2 4.B [解析] |PQ|的最小值為圓心到直線距離減去半徑.因為圓的圓心為(3,-1),半徑為2,所以|PQ|的最小值d=3-(-3)-2=4. H5 橢圓及其幾何性質                   

17、 21.H5,H10[xx·安徽卷] 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,且過點P(,). (1)求橢圓C的方程; (2)設Q(x0,y0)(x0y0≠0)為橢圓C上一點,過點Q作x軸的垂線,垂足為E,取點A(0,2),聯(lián)結AE,過點A作AE的垂線交x軸于點D,點G是點D關于y軸的對稱點,作直線QG,問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由. 21.解:(1)因為焦距為4,所以a2-b2=4.又因為橢圓C過點P(,),所以+=1,故a2=8,b2=4, 從而橢圓C的方程為+=1. (2)由題意,E點坐標為(x0,0),設D(xD,0),則=(x0,-2

18、),=(xD,-2). 再由AD⊥AE知,·=0,即x0xD+8=0.由于x0y0≠0,故xD=-. 因為點G是點D關于y軸的對稱點,所以G,0, 故直線QG的斜率kQG==. 又因Q(x0,y0)在橢圓C上,所以x+2y=8.① 從而kQG=-. 故直線QG的方程為y=-x-.② 將②代入橢圓C方程,得(x+2y)x2-16x0x+64-16y=0.③ 再將①代入③,化簡得x2-2x0x+x=0, 解得x=x0,y=y(tǒng)0,即直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點. 19.M2,H5,H10[xx·北京卷] 直線y=kx+m(m≠0)與橢圓W:+y2=1相交于A,C兩點,O是坐

19、標原點. (1)當點B的坐標為(0,1),且四邊形OABC為菱形時,求AC的長; (2)當點B在W上且不是W的頂點時,證明:四邊形OABC不可能為菱形. 19.解:(1)因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分. 所以可設A,代入橢圓方程得+=1,即t=±. 所以|AC|=2 . (2)證明:假設四邊形OABC為菱形. 因為點B不是W的頂點,且AC⊥OB,所以k≠0. 由消y并整理得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 設A(x1,y1),C(x2,y2),則 =-,=k·+m=. 所以AC的中點為M. 因為M為AC和OB的交點,且m≠0

20、,k≠0,所以直線OB的斜率為-. 因為k·≠-1,所以AC與OB不垂直. 所以OABC不是菱形,與假設矛盾. 所以當點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形. 15.H5[xx·全國卷] 若x,y滿足約束條件則z=-x+y的最小值為________. 15.0 [解析] 已知不等式組表示區(qū)域如圖中的三角形ABC及其內部,目標函數(shù)的幾何意義是直線y=x+z在y軸上的截距,顯然在點A取得最小值,點A(1,1),故zmin=-1+1=0. 8.H5[xx·全國卷] 已知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點,過F2且垂直于x軸的直線交C于A,B兩點,且|AB|=3

21、,則C的方程為(  ) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 8.C [解析] 設橢圓C的方程為+=1(a>b>0),與直線x=1聯(lián)立得y=±(c=1),所以2b2=3a,即2(a2-1)=3a,2a2-3a-2=0,a>0,解得a=2(負值舍去),所以b2=3,故所求橢圓方程為+=1. 15.H5,H8[xx·福建卷] 橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y=(x+c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于________. 15.-1 [解析] 如圖,△MF1F2中,∠MF1F2=6

22、0°,所以∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°.又|F1F2|=2c,所以|MF1|=c,|MF2|=c.根據(jù)橢圓定義得2a=|MF1|+|MF2|=c+c,得e===-1. 9.H5[xx·廣東卷] 已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0),離心率等于,則C的方程是(  ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 9.D [解析] 設橢圓C的標準方程為+=1(a>b>0),由題知c=1,=,解得a=2,b2=a2-c2=4-1=3,選D. 12.H5[xx·江蘇卷] 在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的標準方程為+=1(a>0,b>0),右焦點為F,右準線為l,

23、短軸的一個端點為B.設原點到直線BF的距離為d1,F(xiàn)到l的距離為d2.若d2=d1,則橢圓C的離心率為________. 12. [解析] 由題意知F(c,0),l:x=,不妨設B(0,b),則直線BF:+=1,即bx+cy-bc=0. 于是d1==, d2=-c==. 由d2=d1,得=6, 化簡得6c4+a2c2-a4=0, 即6e4+e2-1=0, 解得e2=或e2=-(舍去), 故e=,故橢圓C的離心率為. 20.H5,H8[xx·江西卷] 橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,a+b=3. (1)求橢圓C的方程; (2)如圖1-8所示,A,B,D是橢圓C的頂

24、點,P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M,設BP的斜率為k,MN的斜率為m. 證明:2m-k為定值. 圖1-8 20.解:(1)因為e==, 所以a=c,b=c,代入a+b=3得,c=,a=2,b=1, 故橢圓C的方程為+y2=1. (2)方法一:因為B(2,0),P不為橢圓頂點,則直線BP的方程為y=k(x-2),① ①代入+y2=1,解得P. 直線AD的方程為y=x+1.② ①與②聯(lián)立解得M. 由D(0,1),P,N(x,0)三點共線知 =,解得N. 所以MN的斜率為m===, 則2m-k=-k=(定值). 方法二:

25、設P(x0,y0)(x0≠0,±2),則k=. 直線AD的方程為:y=(x+2), 直線BP的方程為:y=(x-2), 直線DP的方程為:y-1=x,令y=0,由于y0≠1可得N, 聯(lián)立 解得M, 因此MN的斜率為 m== ==. 所以2m-k=- = = = =(定值). 11.H5[xx·遼寧卷] 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,聯(lián)結AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,則C的離心率為(  ) A. B. C. D. 11.B [解析] 設橢圓的右焦點為Q,由已知|BF|=8,利用

26、橢圓的對稱性可以得到|AQ|=8,△FAQ為直角三角形,然后利用橢圓的定義可以得到2a=14,2c=10,所以e=. 5.H5[xx·新課標全國卷Ⅱ] 設橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,P是C上的點,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,則C的離心率為(  ) A. B. C. D. 5.D [解析] 設PF2=x, 則PF1=2x,由橢圓定義得3x=2a,結合圖形知,==,故選D. 22.H5,H8[xx·山東卷] 在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C的中心在原點O,焦點在x軸上,短軸長為2,離心率為. (1)求橢圓C的方程; (2)A

27、,B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點,E為線段AB的中點,射線OE交橢圓C于點P.設=t,求實數(shù)t的值. 22.解:(1)設橢圓C的方程為+=1(a>b>0), 故題意知 解得a=,b=1, 因此橢圓C的方程為+y2=1. (2)(i)當A,B兩點關于x軸對稱時, 設直線AB的方程為x=m,由題意-<m<0或0<m<. 將x=m代入橢圓方程+y2=1, 得|y|=. 所以S△AOB=|m|=. 解得m2=或m2=.① 又=t=t(+)=t(2m,0)=(mt,0), 因為P為橢圓C上一點, 所以=1.② 由①②得 t2=4或t2=, 又因為t>0,所以t=

28、2或t=. (ii)當A,B兩點關于x軸不對稱時, 設直線AB的方程為y=kx+h. 將其代入橢圓的方程+y2=1, 得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0, 設A(x1,y1),B(x2,y2). 由判別式Δ>0可得1+2k2>h2, 此時x1+x2=-,x1x2=, y1+y2=k(x1+x2)+2h=, 所以|AB|== 2 . 因為點O到直線AB的距離d=, 所以S△AOB=|AB|d =×2 = |h|. 又S△AOB=, 所以 |h|=.③ 令n=1+2k2,代入③整理得3n2-16h2n+16h4=0, 解得n=4h2或n=h2,

29、 即1+2k2=4h2或1+2k2=h2.④ 又=t=t(+)=t(x1+x2,y1+y2)=, 因為P為橢圓C上一點, 所以t2=1, 即t2=1.⑤ 將④代入⑤得t2=4或t2=,又知t>0, 故t=2或t=, 經(jīng)檢驗,適合題意. 綜合(i)(ii)得t=2或t=. 20.H5,H8[xx·陜西卷] 已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍. (1)求動點M的軌跡C的方程; (2)過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點.若A是PB的中點,求直線m的斜率. 20.解: (1)設M到直線l的距離為d,根據(jù)題意,d=2|

30、MN|. 由此得|4-x|=2. 化簡得+=1, 所以,動點M的軌跡方程為+=1. (2)方法一:由題意,設直線m的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2). 將y=kx+3代入+=1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0, 其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0. 由求根公式得,x1+x2=-,① x1x2=.② 又因A是PB的中點,故x2=2x1.③ 將③代入①,②,得 x1=-,x=, 可得=,且k2>, 解得k=-或k=, 所以,直線m的斜率為-或. 方法二:由題意,設直線m的方程為y=kx+3,A(

31、x1,y1),B(x2,y2). ∵A是PB的中點, ∴x1=,① y1=.② 又+=1,③ +=1,④ 聯(lián)立①,②,③,④解得或 即點B的坐標為(2,0)或(-2,0), 所以,直線m的斜率為-或. 9.H5[xx·四川卷] 從橢圓+=1(a>b>0)上一點P向x軸作垂線,垂足恰為左焦點F1,A是橢圓與x軸正半軸的交點,B是橢圓與y軸正半軸的交點,且AB∥OP(O是坐標原點),則該橢圓的離心率是(  ) A. B. C. D. 9.C [解析] 由已知,P點坐標為,A(a,0),B(0,b),于是由kAB=kOP得-=,整理得b=c,從而a==c.于是,離心率e=

32、=. 18.H5,H8[xx·天津卷] 設橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (1)求橢圓的方程; (2)設A,B分別為橢圓的左、右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若·+·=8,求k的值. 18.解:(1)設F(-c,0),由=,知a=c.過點F且與x軸垂直的直線為x=-c, 代入橢圓方程有+=1,解得y=±.于是=,解得b=.又a2-c2=b2,從而a=,c=1,所以橢圓的方程為+=1. (2)設點C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1). 由方程組消去

33、y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. 由根與系數(shù)的關系得x1+x2=-,x1x2=.因為A(-,0),B(,0),所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1) =6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 =6+. 由已知得6+=8,解得k=±. 21.H5、H9、H10[xx·新課標全國卷Ⅰ] 已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內切,圓心P的軌跡為曲線C. (1)求C的方

34、程; (2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當圓P的半徑最長時,求|AB|. 21.解:由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3. 設圓P的圓心為P(x,y),半徑為R. (1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點,長半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左頂點除外),其方程為+=1(x≠-2). (2)對于曲線C上任意一點P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,當且僅當圓P的圓

35、心為(2,0)時,R=2.所以當圓P的半徑最長時,其方程為(x-2)2+y2=4. 若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得|AB|=2 . 若l的傾斜角不為90°,由r1≠R知l不平行于x軸,設l與x軸的交點為Q, 則=,可求得Q(-4,0),所以可設l:y=k(x+4). 由l與圓M相切得=1,解得k=±. 當k=時,將y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=, 所以|AB|=|x2-x1|=. 當k=-時,由圖形的對稱性得|AB|=. 綜上,|AB|=2 或|AB|=. 9.H5,H6[xx·浙江卷] 如圖1-4所示,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C1:+y

36、2=1與雙曲線C2的公共焦點,A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點.若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是(  ) 圖1-4 A. B. C. D. 9.D [解析] 設雙曲線實半軸長為a,焦半距為c,|AF1|=m,|AF2|=n,由題意知c=,2mn=(m+n)2-(m2+n2)=4,(m-n)2=m2+n2-2mn=8,2a=m-n=2 ,a=,則雙曲線的離心率e===,選擇D. 21.F2、F3、H3、H5和H8[xx·重慶卷] 如圖1-5所示,橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,離心率e=,過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A,A′兩點,|AA′|=4

37、. (1)求該橢圓的標準方程; (2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P,P′,過P,P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點均在圓Q外.求△PP′Q的面積S的最大值,并寫出對應的圓Q的標準方程. 圖1-5 21.解:(1)由題意知點A(-c,2)在橢圓上,則+=1,從而e2+=1. 由e=得b2==8,從而a2==16. 故該橢圓的標準方程為+=1. (2)由橢圓的對稱性,可設Q(x0,0),又設M(x,y)是橢圓上任意一點,則 |QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x+8 =(x-2x0)2-x+8(x∈[-4,4]). 設P(x1,y1),由題意,

38、P是橢圓上到Q的距離最小的點,因此,上式當x=x1時取最小值,又因為x1∈(-4,4),所以上式當x=2x0時取最小值,所以x1=2x0,且|QP|2=8-x. 由對稱性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以 S=|2y1||x1-x0|=×2 |x0|= =. 當x0=±時,△PP′Q的面積S取到最大值2 . 此時對應的圓Q的圓心坐標為Q(±,0),半徑|QP|==,因此,這樣的圓有兩個,其標準方程分別為(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6. H6 雙曲線及其幾何性質                    22.H6、H8、D3[xx·全國

39、卷] 已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為3,直線y=2與C的兩個交點間的距離為. (1)求a,b; (2)設過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A,B兩點,且|AF1|=|BF1|,證明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列. 22.解:(1)由題設知=3,即=9,故b2=8a2. 所以C的方程為8x2-y2=8a2. 將y=2代入上式,并求得x=±. 由題設知,2 =,解得a2=1. 所以a=1,b=2 . (2)證明:由(1)知,F(xiàn)1(-3,0),F(xiàn)2(3,0),C的方程為8x2-y2=8.① 由題意可設l的方程為y=k(

40、x-3),|k|<2,代入①并化簡得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1≤-1,x2≥1,x1+x2=,x1x2=. 于是 |AF1|===-(3x1+1), |BF1|===3x2+1. 由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=-. 故=-,解得k2=,從而x1x2=-. 由于|AF2|===1-3x1, |BF2|===3x2-1, 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4, |AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16. 因而|AF2|·|BF2

41、|=|AB|2, 所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列. 4.H6[xx·福建卷] 雙曲線x2-y2=1的頂點到其漸近線的距離等于(  ) A. B. C.1 D. 4.B [解析] 取一頂點(1,0),一條漸近線x-y=0,d==,故選B. 2.H6[xx·湖北卷] 已知0<θ<,則雙曲線C1:-=1與C2:-=1的(  ) A.實軸長相等 B.虛軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等 2.D [解析] c1=c2==1,故焦距相等. 14.H6[xx·湖南卷] 設F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的兩個焦點.若在C上存在一點P,使PF1

42、⊥PF2,且∠PF1F2=30°,則C的離心率為________. 14.+1 [解析] 如圖,因PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,故|PF2|=|F1F2|=c,則|PF1|=c,又由雙曲線定義可得|PF1|-|PF2|=2a,即c-c=2a,故==+1. 3.H6[xx·江蘇卷] 雙曲線-=1的兩條漸近線的方程為________. 3.y=±x [解析] 令-=0,得漸近線方程為y=±x. 11.H6,H7[xx·山東卷] 拋物線C1:y=x2(p>0)的焦點與雙曲線C2:-y2=1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=(

43、  ) A. B. C. D. 11.D [解析] 拋物線C1:y=x2的焦點坐標為,雙曲線-y2=1的右焦點坐標為(2,0),連線的方程為y=-(x-2),聯(lián)立得2x2+p2x-2p2=0.設點M的橫坐標為a ,則在點M處切線的斜率為y′|x=a=′=.又∵雙曲線-y2=1的漸近線方程為±y=0,其與切線平行,∴=,即a=p,代入2x2+p2x-2p2=0得,p=或p=0(舍去). 11.H6[xx·陜西卷] 雙曲線-=1的離心率為________. 11. [解析] 由雙曲線方程中a2=16, b2=9,則c2=a2+b2=25,則e==. 11.H6,H7[xx·天津卷]

44、 已知拋物線y2=8x的準線過雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個焦點,且雙曲線的離心率為2,則該雙曲線的方程為________. 11.x2-=1 [解析] 由拋物線的準線方程為x=-2,得a2+b2=4,又∵雙曲線的離心率為2,得=2,得a=1,b2=3,∴雙曲線的方程為x2-=1. 7.A2,H6[xx·北京卷] 雙曲線x2-=1的離心率大于的充分必要條件是(  ) A.m> B.m≥1 C.m>1 D.m>2 7.C [解析] 雙曲線的離心率e==>,解得m>1.故選C. 4.H6[xx·新課標全國卷Ⅰ] 已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則C的漸近線方

45、程為(  ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 4.C [解析] ==,所以=,故所求的雙曲線漸近線方程是y=±x. 9.H5,H6[xx·浙江卷] 如圖1-4所示,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2的公共焦點,A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點.若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是(  ) 圖1-4 A. B. C. D. 9.D [解析] 設雙曲線實半軸長為a,焦半距為c,|AF1|=m,|AF2|=n,由題意知c=,2mn=(m+n)2-(m2+n2)=4,(m-n)2=m2+n2-2mn=8,2a=m-n

46、=2 ,a=,則雙曲線的離心率e===,選擇D. 10.E1、H6和H8[xx·重慶卷] 設雙曲線C的中心為點O,若有且只有一對相交于點O,所成的角為60°的直線A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分別是這對直線與雙曲線C的交點,則該雙曲線的離心率的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 10.A [解析] 設雙曲線的焦點在x軸上,則由作圖易知雙曲線的漸近線的斜率必須滿足<≤,所以<≤3,<1+≤4,即有 <≤2.又雙曲線的離心率為e==,所以

47、 9.H7[xx·北京卷] 若拋物線y2=2px的焦點坐標為(1,0),則p=________;準線方程為________. 9.2 x=-1 [解析] ∵拋物線y2=2px的焦點坐標為(1,0),∴=1,解得p=2,∴準線方程為x=-1. 20.H7,H8[xx·福建卷] 如圖1-5,拋物線E:y2=4x的焦點為F,準線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上,以C為圓心,|CO|為半徑作圓,設圓C與準線l交于不同的兩點M,N. (1)若點C的縱坐標為2,求|MN|; (2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圓C的半徑. 圖1-5 20.解:(1)拋物線y2=4x的準線l的方

48、程為x=-1. 由點C的縱坐標為2,得點C的坐標為(1,2), 所以點C到準線l的距離d=2,又|CO|=, 所以|MN|=2 =2 =2. (2)設C,則圓C的方程為+(y-y0)2=+y,即x2-x+y2-2y0y=0. 由x=-1,得y2-2y0y+1+=0. 設M(-1,y1),N(-1,y2),則 由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4, 所以+1=4,解得y0=±,此時Δ>0. 所以圓心C的坐標為或, 從而|CO|2=,|CO|=,即圓C的半徑為. 20.H7,H8,H10[xx·廣東卷] 已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0

49、)到直線l:x-y-2=0的距離為,設P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點. (1)求拋物線C的方程; (2)當點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程; (3)當點P在直線l上移動時,求|AF|·|BF|的最小值. 20.解: 21.B12[xx·廣東卷] 設函數(shù)f(x)=x3-kx2+x(k∈R). (1)當k=1時,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間; (2)當k<0時,求函數(shù)f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M. 21.解: 9.H7[xx·江西卷] 已知點A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點為F,射線FA與

50、拋物線C相交于點M,與其準線相交于點N,則|FM|∶|MN|=(  ) A.2∶ B.1∶2 C.1∶ D.1∶3 9.C [解析] FA:y=-x+1,與x2=4y聯(lián)立,得xM=-1,F(xiàn)A:y=-x+1,與y=-1聯(lián)立,得N(4,-1),由三角形相似知==,故選C. 10.H7[xx·新課標全國卷Ⅱ] 設拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|,則l的方程為(  ) A.y=x-1或y=-x+1 B.y=(x-1)或y=-(x-1) C.y=(x-1)或y=-(x-1) D.y=(x-1)或y=-(x-1) 10.C 

51、[解析] 拋物線的焦點為F(1,0),若A在第一象限,如圖1-5,設AF=3m,BF=m.過B作AD的垂線交AD于G,則AG=2m,由于AB=4m,故BG=2m,tan∠GAB=.∴直線AB的斜率為.同理,若A在第四象限,直線AB的斜率為-,故答案為C. 圖1-5 11.H6,H7[xx·山東卷] 拋物線C1:y=x2(p>0)的焦點與雙曲線C2:-y2=1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=(  ) A. B. C. D. 11.D [解析] 拋物線C1:y=x2的焦點坐標為,雙曲線-y2=1的右焦點坐標為(2,0),連線

52、的方程為y=-(x-2),聯(lián)立得2x2+p2x-2p2=0.設點M的橫坐標為a ,則在點M處切線的斜率為y′|x=a=′)=.又∵雙曲線-y2=1的漸近線方程為±y=0,其與切線平行,∴=,即a=p,代入2x2+p2x-2p2=0得,p=或p=0(舍去). 11.H6,H7[xx·天津卷] 已知拋物線y2=8x的準線過雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個焦點,且雙曲線的離心率為2,則該雙曲線的方程為________. 11.x2-=1 [解析] 由拋物線的準線方程為x=-2,得a2+b2=4,又∵雙曲線的離心率為2,得=2,得a=1,b2=3,∴雙曲線的方程為x2-=1. 5.H7,H8

53、[xx·四川卷] 拋物線y2=8x的焦點到直線x-y=0的距離是(  ) A.2 B.2 C. D.1 5.D [解析] 拋物線y2=8x的焦點為F(2,0),該點到直線x-y=0的距離為d==1. 8.H7[xx·新課標全國卷Ⅰ] O為坐標原點,F(xiàn)為拋物線C:y2=4 x的焦點,P為C上一點,若|PF|=4 ,則△POF的面積為(  ) A.2 B.2 C.2 D.4 8.C [解析] 設P(x0,y0),根據(jù)拋物線定義得|PF|=x0+,所以x0=3 ,代入拋物線方程得y2=24,解得|y|=2 ,所以△POF的面積等于·|OF|·|y|=××2 =2 .

54、 H8 直線與圓錐曲線(AB課時作業(yè))                    22.H6、H8、D3[xx·全國卷] 已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為3,直線y=2與C的兩個交點間的距離為. (1)求a,b; (2)設過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A,B兩點,且|AF1|=|BF1|,證明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列. 22.解:(1)由題設知=3,即=9,故b2=8a2. 所以C的方程為8x2-y2=8a2. 將y=2代入上式,并求得x=±. 由題設知,2 =,解得a2=1. 所以a=1,b=2

55、. (2)證明:由(1)知,F(xiàn)1(-3,0),F(xiàn)2(3,0),C的方程為8x2-y2=8.① 由題意可設l的方程為y=k(x-3),|k|<2,代入①并化簡得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1≤-1,x2≥1,x1+x2=,x1x2=. 于是 |AF1|===-(3x1+1), |BF1|===3x2+1. 由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=-. 故=-,解得k2=,從而x1x2=-. 由于|AF2|===1-3x1, |BF2|===3x2-1, 故|AB|=|AF2|-|BF2

56、|=2-3(x1+x2)=4, |AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16. 因而|AF2|·|BF2|=|AB|2, 所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列. 12.F3、H8[xx·全國卷] 已知拋物線C:y2=8x與點M(-2,2),過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若·=0,則k=(  ) A. B. C. D.2 12.D [解析] 拋物線的焦點坐標為(2,0),設直線l的方程為x=ty+2,與拋物線方程聯(lián)立得y2-8ty-16=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2=-16,y1+y2=8t,x1+x2=t(y

57、1+y2)+4=8t2+4,x1x2=t2y1y2+2t(y1+y2)+4=-16t2+16t2+4=4. ·=(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4 =4+16t2+8+4-16-16t+4=16t2-16t+4=4(2t-1)2=0,解得t=,所以k==2. 20.H7,H8[xx·福建卷] 如圖1-5,拋物線E:y2=4x的焦點為F,準線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上,以C為圓心,|CO|為半徑作圓,設圓C與準線l交于不同的兩點M,N. (1)若點C的縱坐標為2,求|MN|; (2)若|AF|2=|A

58、M|·|AN|,求圓C的半徑. 圖1-5 20.解:(1)拋物線y2=4x的準線l的方程為x=-1. 由點C的縱坐標為2,得點C的坐標為(1,2), 所以點C到準線l的距離d=2,又|CO|=, 所以|MN|=2 =2 =2. (2)設C,則圓C的方程為+(y-y0)2=+y,即x2-x+y2-2y0y=0. 由x=-1,得y2-2y0y+1+=0. 設M(-1,y1),N(-1,y2),則 由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4, 所以+1=4,解得y0=±,此時Δ>0. 所以圓心C的坐標為或, 從而|CO|2=,|CO|=,即圓C的半徑為.

59、15.H5,H8[xx·福建卷] 橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y=(x+c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于________. 15.-1 [解析] 如圖,△MF1F2中,∠MF1F2=60°,所以∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°.又|F1F2|=2c,所以|MF1|=c,|MF2|=c.根據(jù)橢圓定義得2a=|MF1|+|MF2|=c+c,得e===-1. 20.H7,H8,H10[xx·廣東卷] 已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為,設

60、P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點. (1)求拋物線C的方程; (2)當點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程; (3)當點P在直線l上移動時,求|AF|·|BF|的最小值. 20.解: 21.B12[xx·廣東卷] 設函數(shù)f(x)=x3-kx2+x(k∈R). (1)當k=1時,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間; (2)當k<0時,求函數(shù)f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M. 21.解: 22.H8,H10[xx·湖北卷] 如圖1-5所示,已知橢圓C1與C2的中心在坐標原點O,長軸均為MN且在x軸上,短軸長分別為

61、2m,2n(m>n),過原點且不與x軸重合的直線l與C1,C2的四個交點按縱坐標從大到小依次為A,B,C,D.記λ=,△BDM和△ABN的面積分別為S1和S2. (1)當直線l與y軸重合時,若S1=λS2,求λ的值; (2)當λ變化時,是否存在與坐標軸不重合的直線l,使得S1=λS2?并說明理由. 圖1-5 22.解:依題意可設橢圓C1和C2的方程分別為 C1:+=1,C2:+=1,其中a>m>n>0,λ=>1. (1)方法一:如圖①,若直線l與y軸重合,即直線l的方程為x=0.則S1=|BD|·|OM|=a|BD|,S2=|AB|·|ON|=a|AB|,所以=. 在C1和C

62、2的方程中分別令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m, 于是===. 若=λ,則=λ,化簡得λ2-2λ-1=0. 由λ>1,可解得λ=+1. 故當直線l與y軸重合時,若S1=λS2,則λ=+1. 方法二:如圖①,若直線l與y軸重合,則 |BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n. S1=|BD|·|OM|=a|BD|,S2=|AB|·|ON|=a|AB|. 所以===. 若=λ,則=λ,化簡得λ2-2λ-1=0,由λ>1,可解得λ=+1. 故當直線l與y軸重合時,若S1=λS2,則λ=+1. (2)方法一:如圖②,若存在與坐標軸不

63、重合的直線l,使得S1=λS2,根據(jù)對稱性,不妨設直線l:y=kx(k>0), 點M(-a,0),N(a,0)到直線l的距離分別為d1,d2,則因為d1==,d2==, 所以d1=d2. 又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以==λ,即|BD|=λ|AB|. 由對稱性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是=,① 將l的方程分別與C1,C2的方程聯(lián)立,可求得 xA=,xB=. 根據(jù)對稱性可知xC=-xB,xD=-xA,于是 ===.② 從而由①和②式可得=.③ 令t=,則

64、由m>n,可得t≠1,于是由③可解得k2=. 因為k≠0,所以k2>0,于是③式關于k有解,當且僅當>0, 等價于(t2-1)t2-<0.由λ>1,可解得1,解得λ>1+,所以當1<λ≤1+時,不存在與坐標軸不重合的直線l,使得S1=λS2; 當λ>1+時,存在與坐標軸不重合的直線l,使得S1=λS2. 方法二:如圖②,若存在與坐標軸不重合的直線l,使得S1=λS2.根據(jù)對稱性,不妨設直線l:y=kx(k>0), 點M(-a,0),N(a,0)到直線l的距離分別為d1,d2,則 因為d1==,d2==,所以d1=d2. 又S1=|BD|d1,S2=|

65、AB|d2, 所以==λ. 因為===λ, 所以=. 由點A(xA,kxA),B(xB,kxB)分別在C1,C2上, 可得+=1,+=1, 兩式相減可得+=0, 依題意xA>xB>0,所以x>x,所以由上式解得k2=. 因為k2>0,所以由>0,可解得1<<λ. 從而1<<λ,解得λ>1+,所以當1<λ≤1+時,不存在與坐標軸不重合的直線l,使得S1=λS2; 當λ>1+時,存在與坐標軸不重合的直線l,使得S1=λS2. 20.H5,H8[xx·江西卷] 橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,a+b=3. (1)求橢圓C的方程; (2)如圖1-8所示,A,B,D是

66、橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M,設BP的斜率為k,MN的斜率為m. 證明:2m-k為定值. 圖1-8 20.解:(1)因為e==, 所以a=c,b=c,代入a+b=3得,c=,a=2,b=1, 故橢圓C的方程為+y2=1. (2)方法一:因為B(2,0),P不為橢圓頂點,則直線BP的方程為y=k(x-2),① ①代入+y2=1,解得P. 直線AD的方程為y=x+1.② ①與②聯(lián)立解得M. 由D(0,1),P,N(x,0)三點共線知 =,解得N. 所以MN的斜率為m===, 則2m-k=-k=(定值). 方法二: 設P(x0,y0)(x0≠0,±2),則k=. 直線AD的方程為:y=(x+2), 直線BP的方程為:y=(x-2), 直線DP的方程為:y-1=x,令y=0,由于y0≠1可得N, 聯(lián)立 解得M, 因此MN的斜率為 m== ==. 所以2m-k=- = = = =(定值). 圖1-5 20.H8[xx·遼寧卷] 如圖1-5,拋物線C1:x2=4y,C2:

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