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1、2022年高考總復習文數(shù)（北師大版）講義：第7章 第04節(jié) 合情推理與演繹推理 Word版含答案 考點 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 合情推理與演繹推理 xx·全國卷Ⅱ·T9·5分　 依據(jù)給出的說法進行推理 邏輯推理 xx·全國卷Ⅱ·T16·5分 依據(jù)給出的說法進行推理 邏輯推理 xx·全國卷Ⅰ·T14·5分 依據(jù)給出的說法進行推理 邏輯推理 命題分析 本節(jié)對本節(jié)內(nèi)容的考查主要是合情推理和演繹推理的理解及應(yīng)用，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中高檔，分值5分. 類型 定義 特點 歸納 推理 根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一

2、個事物都有這種屬性的推理方式 由部分到整體、由個別到一般 類比 推理 由于兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對象的其他特征，推斷另一類對象也具有類似的其他特征的推理過程 由特殊到特殊 4．觀察下列不等式： 1＋<， 1＋＋<， 1＋＋＋<， …… 照此規(guī)律，第五個不等式為________． 解析：觀察每行不等式的特點，每行不等式左端最后一個分數(shù)的分母的開方與右端值的分母相等，且每行右端分數(shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列． ∴第五個不等式為1＋＋＋＋＋<. 答案：1＋＋＋＋＋< 5．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在

3、空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________． 解析：由類比可知面積與邊長是平方關(guān)系，則體積與棱長是立方關(guān)系，兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為1∶8. 答案：1∶8 歸納推理 [析考情] 歸納推理問題的常見類型及解題策略 (1)與“數(shù)字”相關(guān)問題：主要是觀察數(shù)字特點，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律． (2)與不等式有關(guān)的推理：觀察所給幾個不等式兩邊式子的特點，注意縱向看，找出隱含規(guī)律． (3)與圖形有關(guān)推理：合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論． [提能力] 【典例】 (1)(xx·鄭州模擬)從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)

4、有一個三角形框架在圖中上下或左右移動，使每次恰有九個數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個數(shù)的和可以為(　　) A．2 011　　　 B．2 012 C．2 013　　　 D．2 014 解析：選B　根據(jù)題干圖所示的規(guī)則排列，設(shè)最上層的一個數(shù)為a, 則第二層的三個數(shù)為a＋7, a＋8, a＋9, 第三層的五個數(shù)為a＋14, a＋15, a＋16, a＋17, a＋18, 這9個數(shù)之和為a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.由9a＋104＝xx, 得a＝212, 是自然數(shù)．故選B． (2)(xx·陜西質(zhì)檢)觀察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上

5、可推測出一個一般性結(jié)論：對于n∈N＋，1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________. 解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴歸納可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2. 答案：n2 [刷好題] 1．某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5，則預計第10年樹的分枝數(shù)為(　　) A．21　　　 B．34 C．52　　　 D．55 解析：選D　因為2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即從第三項起每一項都等于前兩項的和，所以第10年樹的分枝數(shù)為21＋34＝55. 2．已知x∈(0，＋∞

6、)，觀察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，類比得x＋≥n＋1(n∈N＋)，則a＝________. 解析：第一個式子是n＝1的情況，此時a＝11＝1；第二個式子是n＝2的情況，此時a＝22＝4；第三個式子是n＝3的情況，此時a＝33＝27，歸納可知a＝nn. 答案：nn 類比推理 [明技法] 類比推理的分類 [提能力] 【典例】 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)a，b，c分別表示三條邊的長度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2. 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想． 解：如題圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90

7、°. 設(shè)a，b，c分別表示3條邊的長度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2. 類似地，在四面體P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.設(shè)S1，S2，S3和S分別表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面積，相應(yīng)于直角三角形的2條直角邊a，b和1條斜邊c，圖中的四面體有3個“直角面”S1，S2，S3和1個“斜面”S.于是，類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們猜想S2＝S＋S＋S成立． [母題變式] 若本例條件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”換成“cos2 A＋cos2 B＝1”，則在空間中，給出四面體性質(zhì)的猜想． 解：如圖，在Rt△ABC中， cos2 A＋cos2 B＝2＋

8、2＝＝1. 于是把結(jié)論類比到四面體P－A′B′C′中，我們猜想，四面體P－A′B′C′中，若三個側(cè)面PA′B′，PB′C′，PC′A′兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為α，β，γ，則cos2α＋cos2 β＋cos2 γ＝1. [刷好題] (xx·杭州模擬)已知命題：“若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an＞0，bn＝(n∈N＋)，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論． 解：類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列， bn＝(n∈N＋)， 則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列． 證明如下：設(shè)等差數(shù)列{a

9、n}的公差為d， 則bn＝＝＝a1＋(n－1)， 所以數(shù)列{bn}是以a1為首項，為公差的等差數(shù)列． 演繹推理 [析考情] 演繹推理的推證規(guī)則 (1)演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略； (2)在推理論證過程中，一些稍復雜一點的證明題常常要由幾個三段論才能完成． [提能力] 【典例】 數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N＋)．證明： (1)數(shù)列是等比數(shù)列； (2)Sn＋1＝4an. 證明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn

10、， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， 即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. 故＝2·，又＝＝1≠0 ∴＝2(小前提) 故是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列．(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義) (2)由(1)可知＝4·(n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)．(小前提) 又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結(jié)論) [刷好題] 已知函數(shù)y＝f(x)滿足：對任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)． 證明：設(shè)x1，x2∈R，取x1x1f(x2)＋x2f(x1)， ∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0， ∵x10，f(x2)>f(x1)． ∴y＝f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)．