3、＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有2條．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2．將圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直線是( )
A． x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
解析：選C 因為圓心是(1,2)，所以將圓心坐標代入各選項驗證知選C．
3．(教材習(xí)題改編)直線x－y＋1＝0與圓(x＋1)2＋y2＝1的位置關(guān)系是( )
A．相切 B．直線過圓心
C．直線不過圓心，但與圓相交 D．相離
解析：選B d＝＝0＜1＝r.直線過圓心．
4．圓(x＋2)2
4、＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為( )
A．內(nèi)切 B．相交
C．外切 D．相離
解析：選B 兩圓的圓心距離為，兩圓的半徑之差為1，之和為5，而1<<5，所以兩圓相交．
直線與圓的位置關(guān)系
[明技法]
判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的方法
―→
―→
―→
注意：上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題．
[提能力]
【典例】 (1)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．相切
C．相離 D．不確定
解析：選A 方法一 由消去y，整理得(1＋m2
5、)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因為Δ＝16m2＋20>0，所以直線l與圓相交．
方法二 由題意知，圓心(0,1)到直線l的距離d＝<1<，故直線l與圓相交．
方法三 直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(1,1)，因為點(1,1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，所以直線l與圓相交．
(2)圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒有公共點的充要條件是________．
解析：方法一 將直線方程代入圓方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直線與圓沒有公共點的充要條件是
Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－，)．
方法二 圓心(0,0)到直線y＝kx＋2的距離d＝，直線
6、與圓沒有公共點的充要條件是d＞1，即 >1，
解得k∈(－，)．
答案：k∈(－，)
[刷好題]
1．(xx·永州模擬)“m＝0”是“直線x＋y－m＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的( )
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B 若m＝0，則圓(x－1)2＋(y－1)2＝2的圓心(1,1)到直線x＋y＝0的距離為，等于半徑，此時圓與直線相切，充分性成立；若直線x＋y－m＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝2相切，則圓心到直線的距離為＝，解得m＝0或4，故必要性不成立．
2．(xx·黃山月考)若曲線x2＋y2－6x
7、＝0(y＞0)與直線y＝k(x＋2)有公共點，則k的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
解析：選C ∵x2＋y2－6x＝0(y＞0)可化為(x－3)2＋y2＝9(y＞0)，∴曲線表示圓心為(3,0)，半徑為3的上半圓，它與直線y＝k(x＋2)有公共點的充要條件是：圓心(3,0)到直線y＝k(x＋2)的距離d≤3，且k＞0，∴≤3，且k＞0，解得0＜k≤.故選C．
圓與圓位置關(guān)系
[析考情]
圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用主要題型有給出兩圓的方程判定位置關(guān)系、公切線的條數(shù)，求參數(shù)的范圍、公共弦長等，以選擇題、填空題為主，屬中檔題．
[提能力]
【典例】 已知圓C1：(x－a
8、)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，則ab的最大值為( )
A． B．
C． D．2
解析：選C 由圓C1與圓C2相外切，可得
＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，
根據(jù)基本(均值)不等式可知ab≤2＝，
當且僅當a＝b時等號成立．故選C．
[母題變式1] 把本例中的“外切”變?yōu)椤皟?nèi)切”，求ab的最大值．
解析：由C1與C2內(nèi)切得 ＝1．
即(a＋b)2＝1，又ab≤2＝，當且僅當a＝b時等號成立，故ab的最大值為．
[母題變式2] 把本例條件“外切”變?yōu)椤跋嘟弧?，求公共弦所在的直線方程．
解：由題意得，把圓C1，圓C2
9、的方程都化為一般方程．
圓C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0， ①
圓C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0， ②
由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，
即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0為所求公共弦所在直線方程．
[母題變式3] 將本例條件“外切”變?yōu)椤叭魞蓤A有四條公切線”，試判斷直線x＋y－1＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置關(guān)系．
解：由兩圓存在四條切線，故兩圓外離，
故>3．
∴(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3．
又圓心(a，b)到直線x＋y－1＝0的距離d＝>1，
∴直線x＋y－1＝0與圓(x－a)2＋(y－b
10、)2＝1相離．
[悟技法]
1．判斷兩圓位置關(guān)系的方法
→
2．兩圓公共弦長的求法
→
[刷好題]
1．(xx·太原一模)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：選C 圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，
因為圓C2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，
所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝(m＜25)．
從而|C1C2|＝＝5，
由兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2，
即1＋＝5，m＝9.故選C．
2．(xx·湖南聯(lián)考)已知圓C1：x2
11、＋y2－4x＋2y＋5－a2＝0與圓C2：x2＋y2－(2b－10)x－2by－10b＋16＝0相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，且滿足x＋y＝x＋y，則b＝( )
A． B．
C． D．
解析：選A 兩圓公共弦AB所在的直線方程為(2b－14)x＋(2＋2b)y＋5－a2＋10b－16＝0，圓C1的圓心C1(2，－1)，因為x＋y＝x＋y，所以|OA|＝|OB|(O為坐標原點)，故OC1⊥AB，kOC1·kAB＝－1，得×＝－1，得b＝.選A．
直線與圓位置關(guān)系的綜合
[析考情]
直線與圓的綜合問題，特別是直線與圓相交的有關(guān)問題，是高考中的一個命題熱點，以
12、選擇、填空題的形式出現(xiàn)，有時也以解答題的形式考查，難度中低．
[提能力]
命題點1：直線與圓相切問題
【典例1】 (xx·山東卷)一條光線從點(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
解析：選D
圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圓心為(－3,2)，半徑r＝1.(－2，－3)關(guān)于y軸的對稱點為(2，－3). 如圖所示，反射光線一定過點(2，－3)且斜率k存在，∴反射光線所在直線方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0．
∵反射光線與已知圓相切，
13、∴＝1，
整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－．
命題點2：直線與圓相交問題
【典例2】 (xx·全國卷Ⅰ)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點．
(1)求k的取值范圍；
(2)若·＝12，其中O為坐標原點，求|MN|．
解：(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1，
因為l與C交于兩點，所以<1．
解得
14、x2＝，x1x2＝．
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8．
由題設(shè)可得＋8＝12，解得k＝1，
所以l的方程為y＝x＋1．
故圓心C在l上，所以|MN|＝2．
命題點3：求弦長問題
【典例3】 (xx·全國卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別做l的垂線與x軸交于C，D兩點，若|AB|＝2，則|CD|＝________．
解析：設(shè)AB的中點為M，由題意知，圓的半徑R＝2，|AB|＝2，所以|OM|＝3，解得m＝－，
由解得A(－3，)，B(0,2)，
則AC的直線方程為y－＝－(x＋3)
15、，
BD的直線方程為y－2＝－x，
令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4．
答案：4
[悟技法]
處理切線、弦長問題的策略
(1)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑建立關(guān)系解決問題．
(2)處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形．
[刷好題]
1．(xx·全國卷Ⅱ) 過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點，則|MN|＝( )
A．2 B．8
C．4 D．10
解析：選C 由已知得kAB＝－，kBC＝3，kAB·kBC＝－1，所以AB⊥BC，即AC為圓的直徑，圓心坐標為(1，－2)，半徑為5，因此圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝25，所以|MN|＝2＝4，故選C．
2．過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長為________．
解析：直線方程y＝x，x－y＝0，圓心(0,2)，半徑為2，
圓心到直線距離d＝＝1，
弦長：2＝2．
答案：2
2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第9章 第04節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 Word版含答案
