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1、高中數(shù)學(xué) 綜合檢測(cè)試題 新人教A版選修2-3
一、選擇題(每小題5分,共60分)
1.現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張.不同取法的種數(shù)為( ).
A.232 B.252 C.472 D.484
答案:C
解析:完成這件事可分為兩類,第一類3張卡片顏色各不相同共有=256種;第二類3張卡片有兩張同色且不是紅色卡片共有=216種,由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有472種,故選C.
2.(xx重慶高考)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演
2、出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( ).
A.72 B.120 C.144 D.168
答案:B
解析:解決該問題分為兩類:第一類分兩步,先排歌舞類,然后利用插空法將剩余3個(gè)節(jié)目排入左邊或右邊3個(gè)空,故不同排法有·2=72.第二類也分兩步,先排歌舞類,然后將剩余3個(gè)節(jié)目放入中間兩空排法有,故不同的排法有=48,故共有120種不同的排法,故選B.
3.(x2+2)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是( ).
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案:D
解析:的通項(xiàng)為Tr+1=(-1)r=(-1)rx2r-10.要使(x2+2)的展開式中存在常數(shù)項(xiàng),須令2r-10=-2或0,此時(shí)r=4或5
3、.故(x2+2)·的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(-1)4×+2×(-1)5×=3.
4.小明同學(xué)在網(wǎng)易上申請(qǐng)了一個(gè)電子信箱,密碼由4位數(shù)字組成,現(xiàn)在小明只記得密碼是由2個(gè)6,1個(gè)3,1個(gè)9組成,但忘記了它們的順序.那么小明試著輸入由這樣4個(gè)數(shù)組成的一個(gè)密碼,則他恰好能輸入正確進(jìn)入郵箱的概率是( ).
A. B. C. D.
答案:C
解析:由2個(gè)6,1個(gè)3,1個(gè)9這4個(gè)數(shù)字一共可以組成=12種不同的密碼順序,因此小明試著輸入由這樣4個(gè)數(shù)組成的一個(gè)密碼,他恰好能輸入正確進(jìn)入郵箱的概率是P=.
5.將三顆骰子各擲一次,設(shè)事件A=“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”,B=“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”,則概率P(A|B)
4、等于( ).
A. B. C. D.
答案:A
解析:P(B)=1-P()=1-,
P(AB)=,
故P(A|B)=.
6.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,X~B,則P(X=2)等于( ).
A. B. C. D.
答案:D
解析:P(X=2)=··.
7.6個(gè)電子產(chǎn)品中有2個(gè)次品,4個(gè)合格品,每次從中任取一個(gè)測(cè)試,測(cè)試完后不放回,直到兩個(gè)次品都找到為止,那么測(cè)試次數(shù)X的均值為( ).
A. B. C. D.
答案:D
解析:測(cè)試次數(shù)X為隨機(jī)變量,其可能的取值為2,3,4,5,6,其分布列如下:
X
2
3
4
5
6
P
∴
5、E(X)=2×+3×+4×+5×+6×.
8.某次語文考試中考生的分?jǐn)?shù)X~N(80,100),則分?jǐn)?shù)在60~100分的考生占總考生數(shù)的百分比是( ).
A.68.26% B.95.44%
C.99.74% D.31.74%
答案:B
解析:由題意得μ=80,σ=10,μ-2σ=60,μ+2σ=100,
故60~100分之間的考生占總考生數(shù)的百分比是95.44%.
9.已知x,y之間的一組數(shù)據(jù)
x
1.08
1.12
1.19
1.28
y
2.25
2.37
2.40
2.55
x與y之間的線性回歸方程x必過( ).
A.(0,0) B.(1.16
6、7 5,0)
C.(0,2.392 5) D.(1.167 5,2.392 5)
答案:D
解析:回歸直線過樣本中心點(diǎn)().
∵=1.167 5,=2.392 5,
∴x必過點(diǎn)(1.167 5,2.392 5).
10.已知(x+)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2的值為
( ).
A.0 B.1 C.-1 D.2
答案:B
解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(1+)10.
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a9+a10=(-1)10.
∴(a0+a2+
7、a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2
=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a8-a9+a10)
=(1+)10·(1-)10=1.
11.通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表:
男
女
總計(jì)
愛好
40
20
60
不愛好
20
30
50
總計(jì)
60
50
110
由K2=算得,K2=≈7.8.
附表:
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
參照附表,得到的正確結(jié)論是( ).
8、
A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”
C.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”
答案:C
解析:∵K2≈7.8>6.635,∴有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”,即犯錯(cuò)誤的概率不超過1%.
12.拋一枚均勻硬幣,正反面出現(xiàn)的概率都是,反復(fù)這樣投擲,數(shù)列{an}定義如下:an=若Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),則事件“S8=2”的概率,事件“S2≠0,S8=2”的概率分別是( ).
9、A. B.
C. D.
答案:B
解析:根據(jù)定義事件“S8=2”是指8次投擲中5次正面3次反面,其概率為P=;事件“S2≠0,S8=2”是指:(1)前2次都是正面,后6次中3正3反;(2)前2次都是反面,后6次中5正1反,故其概率為P=.
二、填空題(每小題4分,共16分)
13.5名男性驢友到某旅游風(fēng)景區(qū)游玩,晚上入住一家賓館,賓館有3間客房可選,一間客房為3人間,其余為2人間,則5人入住兩間客房的不同方法有 種(用數(shù)字作答).?
答案:20
解析:依題可知這5人只能入住一間3人間及一間2人間,第一步先確定在2個(gè)2人間中選擇哪一間有種;第二步確定哪三個(gè)人入住3人間有種,剩下
10、的2人住2人間,故這5人入住兩間空房的不同方法有=20種.
14.(xx大綱全國高考)的展開式中x2y2的系數(shù)為 .(用數(shù)字作答)?
答案:70
解析:設(shè)的第r+1項(xiàng)中含有x2y2,則Tr+1=·(-1)r·,
因此8-r-=2,r-=2,即r=4.
故x2y2的系數(shù)為×(-1)4==70.
15.某一部件由三個(gè)電子元件按下圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作.設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位:h)均服從正態(tài)分布N(1 000,502),且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率為 .?
答案:
11、
解析:設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時(shí)的事件分別記為A,B,C,顯然P(A)=P(B)=P(C)=,
∴該部件的使用壽命超過1 000的事件為(AB+AB)C.
∴該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率為P=.
16.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽,已知在一局比賽中甲隊(duì)獲勝的概率是,沒有平局,若采用三局兩勝制比賽,即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束,則甲隊(duì)獲勝的概率等于 .?
答案:
解析:甲隊(duì)2∶0獲勝的概率為,甲隊(duì)2∶1獲勝的概率為···,故甲隊(duì)獲勝的概率為.
三、解答題(共6小題,共74分)
17.(12分)在研究某種新藥對(duì)小白兔的治療效果時(shí),得到如下數(shù)據(jù):
12、存活數(shù)
死亡數(shù)
合計(jì)
未用新藥
101
38
139
用新藥
129
20
149
合計(jì)
230
58
288
試分析新藥對(duì)治療小白兔是否有效?
解:由公式計(jì)算得,隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值
k=≈8.658,由于8.658>6.635,故有99%的把握可以判斷新藥對(duì)治療小白兔是有效的.
18.(12分)已知在的展開式中,第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是56∶3.
(1)求展開式中的所有有理項(xiàng);
(2)求展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng);
(3)求n+9+81+…+9n-1的值.
解:(1)由(-2)4∶(-2)2=56∶3,解得n=10.
因?yàn)橥?xiàng)T
13、r+1=)10-r=(-2)r,
當(dāng)5-為整數(shù)時(shí),r可取0,6,
于是有理項(xiàng)為T1=x5和T7=13 440.
(2)設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值最大,則
解得于是r=7.
所以系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為T8=-15 360.
(3)10+9+81+…+910-1
=
=
=.
19.(12分)在一個(gè)盒子中,放有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的三張卡片,現(xiàn)從這個(gè)盒子中,有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x,y,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x-2,x-y),記ξ=|x-2|+|y-x|.
(1)求隨機(jī)變量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率;
(2)求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
14、
解:(1)∵x,y可能的取值為1,2,3,
∴|x-2|≤1,|y-x|≤2.
∴ξ≤3,且當(dāng)x=1,y=3或x=3,y=1時(shí),ξ=3.
因此,隨機(jī)變量ξ的最大值為3.
∵有放回抽兩張卡片的所有情況有3×3=9種,
故P(ξ=3)=,即事件“ξ取最大值”的概率是.
(2)隨機(jī)變量ξ可能取值為0,1,2,3,
∵當(dāng)ξ=0時(shí),x=2,y=2,
∴P(ξ=0)=;
∵當(dāng)ξ=1時(shí),x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3,
∴P(ξ=1)=;
∵當(dāng)ξ=2時(shí),x=1,y=2或x=3,y=2,
∴P(ξ=2)=;
由(2)知P(ξ=3)=,
∴隨機(jī)變量ξ
15、的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×.
20.(12分)假設(shè)關(guān)于某設(shè)備使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下統(tǒng)計(jì)資料:
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由資料知,y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系,試求:
(1)回歸直線方程;
(2)估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用約是多少?
解:(1)依題列表如下:
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.
16、0
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
=4,=5,
=90,xiyi=112.3
=1.23.
=5-1.23×4=0.08.
∴回歸直線方程為
=1.23x+0.08.
(2)當(dāng)x=10時(shí),=1.23×10+0.08=12.38(萬元).
即估計(jì)用10年時(shí),維修費(fèi)約為12.38萬元.
21.(12分)現(xiàn)在要對(duì)某個(gè)學(xué)校今年將要畢業(yè)的900名高三畢業(yè)生進(jìn)行乙型肝炎病毒檢驗(yàn),可以利用兩種方法.①對(duì)每個(gè)人的血樣分別化驗(yàn),這時(shí)共需要化驗(yàn)900次;②把每個(gè)人的血樣分成兩份,取其中m個(gè)人的血樣各一份混合在一起作為一組進(jìn)行化驗(yàn),結(jié)果為陰性,那么對(duì)
17、這m個(gè)人只需這一次檢驗(yàn)就夠了;結(jié)果為陽性,那么再對(duì)這m個(gè)人的另一份血樣逐個(gè)化驗(yàn),這時(shí)對(duì)這m個(gè)人一共需要m+1次檢驗(yàn).據(jù)統(tǒng)計(jì)報(bào)道,對(duì)所有人來說,化驗(yàn)結(jié)果為陽性的概率為0.1.
(1)求當(dāng)m=3時(shí),一個(gè)小組經(jīng)過一次檢驗(yàn)就能確定化驗(yàn)結(jié)果的概率是多少?
(2)試比較在第二種方法中,m=4和m=6哪種分組方法所需要的化驗(yàn)次數(shù)更少一些?
解:(1)當(dāng)m=3時(shí),一個(gè)小組有3個(gè)人,經(jīng)過一次檢驗(yàn)就能確定化驗(yàn)結(jié)果是指經(jīng)過一次檢驗(yàn),結(jié)果為陰性,所以概率為P=(1-0.1)3=0.729.
(2)當(dāng)m=4時(shí),一個(gè)小組有4個(gè)人,這時(shí)每個(gè)人需要檢驗(yàn)的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量η1,其分布列為
η1
P
0.
18、94
1-0.94
所以E(η1)=×0.94+×(1-0.94)≈0.59;
當(dāng)m=6時(shí),一個(gè)小組有6個(gè)人,這時(shí)需要檢驗(yàn)的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量η2,其分布列為
η2
P
0.96
1-0.96
所以E(η2)=×0.96+×(1-0.96)≈0.64,
由于E(η2)>E(η1),因此當(dāng)每4個(gè)人一組時(shí)所需要的化驗(yàn)次數(shù)更少一些.
22.(14分)一次小測(cè)驗(yàn)共有3道選擇題和2道填空題,每答對(duì)一道題得20分,答錯(cuò)或不答得0分.某同學(xué)答對(duì)每道選擇題的概率均為0.8,答對(duì)每道填空題的概率均為0.5,各道題答對(duì)與否互不影響.
(1)求該同學(xué)恰好答對(duì)2道選擇題和1道填空題的概率;
(2)求該同學(xué)至多答對(duì)4道題的概率;
(3)若該同學(xué)已經(jīng)答對(duì)了兩道填空題,把他這次測(cè)驗(yàn)的得分記為X,求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.
解:(1)P=.
(2)該同學(xué)至多答對(duì)4道題的概率為1-·.
(3)X的可能取值為40,60,80,100.
P(X=40)=,
P(X=60)=,
P(X=80)=,
P(X=100)=.
∴X的概率分布列為
X
40
60
80
100
P
E(X)=40×+60×+80×+100×
=88.