《2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題2 數(shù)列 第3講 等差數(shù)列、等比數(shù)列學(xué)案 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題2 數(shù)列 第3講 等差數(shù)列、等比數(shù)列學(xué)案 文（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題2 數(shù)列 第3講 等差數(shù)列、等比數(shù)列學(xué)案 文 熱點(diǎn)題型 真題統(tǒng)計(jì) 命題規(guī)律 題型1：等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算 2018全國(guó)卷ⅡT17；2018全國(guó)卷ⅢT17；2017全國(guó)卷ⅡT17 2016全國(guó)卷ⅠT17；2016全國(guó)卷ⅡT17；2016全國(guó)卷ⅢT17 2015全國(guó)卷ⅠT7；2014全國(guó)卷ⅡT5 1.高考以“一大”或“兩小”的命題形式出現(xiàn)，近三年以“一大”的形式出現(xiàn). 題型2：等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì) 2015全國(guó)卷ⅡT5；2015全國(guó)卷ⅡT9 2.重點(diǎn)考查等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算以及等差(比)數(shù)列的判定. 題型3：等

2、差(比)數(shù)列的判定與證明 2018全國(guó)卷ⅠT17；2017全國(guó)卷ⅠT17；2015全國(guó)卷ⅠT13 1．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 an＝a1＋(n－1)d； Sn＝＝na1＋d. 2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 an＝a1qn－1(q≠0)； Sn＝ ■高考考法示例· 【例1】　(1)(2018·哈爾濱模擬)等比數(shù)列{an}中各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，則S4＝(　　) A．9　　　　B．15　　　　C．18　　　　D．30 (2)(2018·北京模擬)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a2＝2，S9＝9

3、，則a8＝________. (1)D　(2)0　[(1)由2S3＝8a1＋3a2得6a1＋a2－2a3＝0， 則有，解得 因此S4＝＝30. (2)由題意知 解得d＝－，a1＝. 所以a8＝a1＋7d＝0.] (3)(2018·全國(guó)卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. ①求{an}的通項(xiàng)公式； ②記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm＝63，求m. [解]?、僭O(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. ②若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由S

4、m＝63得(－2)m＝－188，此方程沒(méi)有正整數(shù)解． 若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m＝6. [方法歸納]　等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路 (1)設(shè)基本量a1和公差d(公比q). (2)列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組)，求出a1和d(q)后代入相應(yīng)的公式計(jì)算. (3)注意整體思想，如在與等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算中，兩式相除就是常用的計(jì)算方法，整體運(yùn)算可以有效簡(jiǎn)化運(yùn)算. ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練· 1．(2018·合肥模擬)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，則a4＋

5、S7的值是(　　) A．20　　　B．36　　　C．24　　　D．72 C　[由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12得解得∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.故選C.] 2．(2018·邵陽(yáng)模擬)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5＝(　　) A．29 B．31 C．33 D．36 B　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 因?yàn)閍2a3＝2a1，所以aq3＝2a1， ① 因?yàn)閍4與2a7的等差中項(xiàng)為， 所以a4＋2a7＝，即a1q3＋2a1q6＝，② 聯(lián)立①②可解得a1＝16，q＝， 所以S5＝＝31.] 題型2　

6、等差(比)數(shù)列的基本性質(zhì) ■核心知識(shí)儲(chǔ)備· 1．若m，n，p，q，k∈N*，且m＋n＝p＋q＝2k，則在等差數(shù)列中am＋an＝ap＋aq＝2ak，在等比數(shù)列中am·an＝ap·aq＝a. 2．若{an}，{bn}均是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則{man＋kbn}，仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)． 3．若{an}，{bn}均是等比數(shù)列，則{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m為常數(shù)，m≠0)，{a}，仍為等比數(shù)列． 4．(1)等比數(shù)列(q≠－1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成等比數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數(shù)列，其公比為qk. (2

7、)等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列，公差為k2d. 5．若A2n－1，B2n－1分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前2n－1項(xiàng)的和，則＝. ■高考考法示例· 【例2】　(1)(2018·長(zhǎng)春模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n＞3)，Sn＝100，則n等于(　　) A．7　　　　B．8　　　　C．9　　　　D．10 (2)(2018·福州五校聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2－7x＋12＝0的兩根，則的值為(　　) A．2 B．4 C．±2 D．±4 (3)(2018·昆

8、明模擬)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12＝(　　) A．40 B．60 C．32 D．50 (1)D　(2)A　(3)B　[(1)由Sn－Sn－3＝54得an－2＋an－1＋an＝54. 即3an－1＝54，所以an－1＝18. 所以Sn＝＝＝10n＝100. 因此n＝10. (2)∵a3，a15是方程x2－7x＋12＝0的兩根，∴a3a15＝12，a3＋a15＝7，∵{an}為等比數(shù)列，又a3，a9，a15同號(hào)，∴a9＞0，∴a9＝＝2，∴＝＝a9＝2.故選A. (3)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3

9、，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，所以S9－S6＝16，S12－S9＝32，所以S12＝(S12－S9)＋(S9－S6)＋(S6－S3)＋S3＝32＋16＋8＋4＝60，故選B.] [方法歸納]　等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用策略 (1)項(xiàng)數(shù)是關(guān)鍵：解題時(shí)特別關(guān)注條件中項(xiàng)的下標(biāo)即項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，尋找項(xiàng)與項(xiàng)之間、多項(xiàng)之間的關(guān)系選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題. (2)整體代入：計(jì)算時(shí)要注意整體思想，如求Sn可以將與a1＋an相等的式子整體代入，不一定非要求出具體的項(xiàng)。 ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練· 1．(2018·武漢模擬)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，

10、且a5a6＋a4a7＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　) A．12　　　B．10　　　C．8　　　D．2＋log35 B　[由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6＝a4a7＝9， 所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10) ＝log3(a5a6)5＝log395＝10，故選B.] 2．(2018·煙臺(tái)模擬)若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，則使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是(　　) A．2 016 B．2 017 C．4 032

11、 D．4 033 C　[因?yàn)閍1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 032＝＝＞0，S4 033＝＝4 033a2 017＜0，所以使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是4 032，故選C.] 題型3　等差(比)數(shù)列的判定與證明 ■核心知識(shí)儲(chǔ)備· 1．證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法 (1)利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為同一常數(shù)； (2)利用等差中項(xiàng)性質(zhì)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． 2．證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法 (1)利用定義，證明(n

12、∈N*)為同一常數(shù)； (2)利用等比中項(xiàng)性質(zhì)，即證明a＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)． ■高考考法示例· 【例3】　(2018·日照模擬)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*. (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (2)設(shè)cn＝，求數(shù)列{cncn＋2}的前n項(xiàng)和Tn. [思路點(diǎn)撥]　(1)―→ (2)―→―→ [解]　(1)證明：∵bn＋1－bn ＝－ ＝－ ＝－＝2， ∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列． 又b1＝＝2， ∴bn＝2＋(n－1)×2＝2n， ∴2n＝，解得an＝.

13、 (2)由(1)可得cn＝＝， ∴cncn＋2＝×＝2， ∴數(shù)列{cncn＋2}的前n項(xiàng)和為 Tn＝21－＋－＋－＋…＋－＋－ ＝2 ＝3－. [方法歸納]　判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，有通項(xiàng)公式法及前n項(xiàng)和公式法，但不作為證明方法. (2)若要判斷一個(gè)數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，只需判斷存在連續(xù)三項(xiàng)不成等差(等比)數(shù)列即可. (3)a\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0. (4)證明a，b，c成等差數(shù)列，只

14、需證明2b＝a＋c；證明a，b，c成等比數(shù)列，只需證明b2＝ac(abc≠0). ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練· (2016·全國(guó)卷Ⅲ)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項(xiàng)公式． [解]　(1)由題意可得a2＝，a3＝. (2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． 因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以＝. 故{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝. 1．(2014·全國(guó)卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等

15、比數(shù)列，則{an}的前n項(xiàng)和Sn＝(　　) A．n(n＋1)　　　　　　 B．n(n－1) C. D. A　[由a2，a4，a8成等比數(shù)列，得a＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．] 2．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(　　) A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 B　[設(shè)塔的頂層的燈

16、數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2， ∴S7＝＝＝381，解得a1＝3. 故選B.] 3．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝126，則n＝________. 6　[∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， 又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.] 4．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． [解]　(1)設(shè){an}

17、的公差為d，由題意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以當(dāng)n＝4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為－16. 5．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列． [解]　(1)設(shè){an}的公比為q.由題設(shè)可得 解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－2)n. (2)由(1)可得 Sn＝＝－＋(－1)n. 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n ＝2＝2Sn， 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列．