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1、九年級數(shù)學(xué)上冊 期中期末串講 第82講 二次函數(shù)(二)課后練習(xí) (新版)蘇科版
題一: 已知關(guān)于x的一元二次方程kx2+(3k+1)x+2k+1=0.
(1)求證:該方程必有兩個實(shí)數(shù)根;
(2)若該方程只有整數(shù)根,求k的整數(shù)值;
(3)在(2)的條件下,在平面直角坐標(biāo)系中,若二次函數(shù)y=(k+1)x2+3x+m與x軸有兩個不同的交點(diǎn)A和B(A在B左側(cè)),并且滿足OA=2OB,求m的非負(fù)整數(shù)值.
題二: 已知:關(guān)于x的一元二次方程mx2-(3m-2)x+2m-2=0.
(1)若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,求證:無論m取何值,拋物線y=mx
2、2-(3m-2)x+2m-2總過x軸上的一個固定點(diǎn);
(3)若m為正整數(shù),且關(guān)于x的一元二次方程mx2-(3m-2)x+2m-2=0有兩個不相等的整數(shù)根,把拋物線y=mx2-(3m-2)x+2m-2向右平移4個單位長度,求平移后的拋物線的解析式.
題三: 我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”,如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點(diǎn),那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.如圖所示,點(diǎn)A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-3),AB為半圓的直徑,半圓圓心M的坐標(biāo)為(1,0),半圓半徑為2.
(1)請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式,并寫出自變量的取
3、值范圍;
(2)你能求出經(jīng)過點(diǎn)C的“蛋圓”切線的解析式嗎?試試看;
(3)開動腦筋想一想,相信你能求出經(jīng)過點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式.
題四: 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A、B為x軸上兩點(diǎn),C、D為y軸上的兩點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線,我們把這條封閉曲線成為“蛋線”.已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,),點(diǎn)M是拋物線C2:y=mx2-2mx-3m(m<0)的頂點(diǎn).
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)“蛋線”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出△PBC面積的最大值;若不存在,請說明理由;
4、
(3)當(dāng)△BDM為直角三角形時,求m的值.
第80講 期中期末串講—二次函數(shù)(二)
題一: 見詳解.
詳解:(1)△=b2-4ac=(3k+1)2-4k(2k+1)=(k+1)2≥0,∴該方程必有兩個實(shí)數(shù)根;
(2)x==,即,,
∵方程只有整數(shù)根,∴應(yīng)為整數(shù),即應(yīng)為整數(shù),
∵k為整數(shù),∴k=±1;
(3)根據(jù)題意,k+1≠0,即k≠-1,
∴k=1,此時,二次函數(shù)為y=2x2+3x+m,
∵二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點(diǎn)A和B(A在B左側(cè)),
∴△=b2-4ac=32-4×2×m=9-8m>0,m<,
∵m為非負(fù)整數(shù),∴m=0,1,
當(dāng)m=0時,二次函
5、數(shù)為y=2x2+3x,此時A(,0),B(0,0),不滿足OA=2OB;
當(dāng)m=1時,二次函數(shù)為y=2x2+3x+1,此時A(-1,0),B(,0),滿足OA=2OB,
∴m=1.
題二: 見詳解.
詳解:(1)∵關(guān)于x的一元二次方程mx2-(3m-2)x+2m-2=0,
有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,
∴△=[-(3m-2)]2-4m(2m-2)=m2-4m+4=(m-2)2>0,
∴m≠0且m≠2,
答:m的取值范圍是m≠0且m≠2.
(2)令y=0得,mx2-(3m-2)x+2m-2=0,∴x1=1,,
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(,0),
∴無論m取何值,拋物
6、線y=mx2-(3m-2)x+2m-2總過x軸上的定點(diǎn)(1,0),
即無論m取何值,拋物線y=mx2-(3m-2)x+2m-2總過x軸上的一個固定點(diǎn);
(3)∵x=1是整數(shù),∴只需是整數(shù),
∵m是正整數(shù),且m≠0,m≠2,∴m=1,
當(dāng)m=1時,拋物線的解析式為y=x2-x,
把它的圖象向右平移4個單位長度,即y=(x-4)2-(x-4),
∴y=x2-9x+20,
答:平移后的拋物線的解析式為y=x2-9x+20.
題三: 見詳解.
詳解:(1)根據(jù)題意,可得A(-1,0),B(3,0),
則設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3)(a≠0),
又∵點(diǎn)D(0,-3)
7、在拋物線上,∴a(0+1)(0-3)=-3,解得a=1,
∴y=x2-2x-3,自變量范圍-1≤x≤3;
(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C“蛋圓”的切線CE交x軸于點(diǎn)E,連接CM,
在Rt△MOC中,OM=1,CM=2,∴∠CMO=60°,OC=,
在Rt△MCE中,MC=2,∠CMO=60°,∴ME= 4,
∴點(diǎn)C、E的坐標(biāo)分別為(0,),(-3,0),
∴切線CE的解析式為;
(3)設(shè)過點(diǎn)D(0,-3),“蛋圓”切線的解析式為y=kx-3(k≠0),
由題意,可知方程組只有一組解,
即kx-3=x2-2x-3有兩個相等實(shí)根,∴k=-2,
∴過點(diǎn)D“蛋圓”切線的解析式y(tǒng)=-2x-3.
8、
題四: 見詳解.
詳解:(1)y=mx2-2mx-3m=m(x-3)(x+1),
∵m≠0,∴當(dāng)y=0時,x1=-1,x2=3,∴A(-1,0),B(3,0);
(2)設(shè)C1:y=ax2+bx+c,將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得:
,解得,故C1的解析式為y=x2-x-.
如圖,過點(diǎn)P作PQ∥y軸,交BC于Q,
由B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式為y=x-,
設(shè)P(x,x2-x-),則Q(x,x-),
∴PQ=x--(x2-x-)=-x2+x,
∴△PBC的面積為=×(-x2+x)×3=-(x-)2+,
當(dāng)x=時,△PBC的面積有最大值,最大值為,
則×()2--=
9、-,∴P(,-);
(3)y=mx2-2mx-3m=m(x-1)2-4m,頂點(diǎn)M坐標(biāo)(1,-4m),
當(dāng)x=0時,y=-3m,∴D(0,-3m),B(3,0),
∴DM2=(0-1)2+(-3m+4m)2=m2+1,
MB2=(3-1)2+(0+4m)2=16m2+4,
BD2=(3-0)2+(0+3m)2=9m2+9,
當(dāng)△BDM為直角三角形時,有DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2,
①DM2+BD2=MB2時有:m2+1+9m2+9=16m2+4,解得m=-1,∵m<0,∴m=1(舍去);
②DM2+MB2=BD2時,有m2+1+16m2+4=9m2+9,解得m=-,m=(舍去).
綜上,m=-1或-時,△BDM為直角三角形.