《2022年高考總復習文數（北師大版）講義：第9章 第05節(jié) 橢圓及其性質 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高考總復習文數（北師大版）講義：第9章 第05節(jié) 橢圓及其性質 Word版含答案（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2022年高考總復習文數（北師大版）講義：第9章 第05節(jié) 橢圓及其性質 Word版含答案 考點 高考試題 考查內容 核心素養(yǎng) 橢圓方程 xx·全國卷Ⅱ·T20·12分 求橢圓方程證明定值問題 數學運算　邏輯推理 xx·全國卷Ⅱ·T20·12分 求橢圓方程證明定值問題 數學運算　邏輯推理 xx·全國卷Ⅰ·T12·5分 求橢圓方程 數學運算 橢圓的性質 xx·全國卷Ⅰ·T5·5分 已知橢圓的離心率求橢圓與拋物線綜合問題 數學運算 xx·全國卷Ⅲ·T12·5分 求橢圓的離心率 數學運算 xx·全國卷Ⅲ·T11·5分 求橢圓離心率 數學運算 命題分析

2、 橢圓的定義、標準方程、幾何性質一直是高考的熱點，其中離心率考查比較頻繁．直線與橢圓的位置關系多以解答題的形式出現，解題時要注意數形結合、轉化與化歸思想. 標準方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 圖形 性 質 范圍 __－a__≤x≤__a__，__－b__≤y≤__b__ __－b__≤x≤__b__，__－a__≤y≤__a__ 對稱性 對稱軸：__坐標軸__，對稱中心：__(0,0)__ 頂點 A1__(－a,0)__，A2__(a,0)__， B1__(0，－b)__，B2__(0，b)__ A1__(0，－a)__，A2__(0，

3、a)__， B1__(－b,0)__，B2__(b,0)__ 軸 長軸A1A2的長為__2a__，短軸B1B2的長為__2b__ 焦距 |F1F2|＝__2c__ 離心率 e＝，e∈__(0,1)__ a，b，c 的關系 c2＝__a2－b2__ 提醒： 1．辨明兩個易誤點 (1)橢圓的定義中易忽視2a＞|F1F2|這一條件，當2a＝|F1F2|時，其軌跡為線段F1F2，當2a＜|F1F2|時，不存在軌跡． (2)求橢圓的標準方程時易忽視判斷焦點的位置，而直接設方程為＋＝1(a＞b＞0)． 2．求橢圓標準方程的兩種方法 (1)定義法：根據橢圓的定義，確定a2

4、，b2的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程． (2)待定系數法：若焦點位置明確，則可設出橢圓的標準方程，結合已知條件求出a、b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)． 1．判斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓．(　　) (2)動點P到兩定點A(0，－2)，B(0,2)的距離之和為4，則點P的軌跡是橢圓．(　　) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　) (4)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．(　　)

5、(5)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．(教材習題改編)設P是橢圓＋＝1上的點，若F1，F2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4　　　 B．5　　　 C．8　　　 D．10 解析：選D　依橢圓的定義知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10． 3．(教材習題改編)已知橢圓的一個焦點為F(6,0)，離心率e＝，則橢圓的標準方程為(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：選C　c＝6，e＝＝，所以a＝c＝×6＝10，b2＝a2－c

6、2＝64，又因為焦點在x軸上，故橢圓的標準方程為＋＝1． 4．已知點P是橢圓＋＝1上y軸右側的一點，且以點P及焦點F1，F2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標為__________． 解析：a2＝5，b2＝4，c2＝a2－b2＝1，c＝1.|F1F2|＝2c＝2． 設P(x，y)，S△PF1F2＝|F1F2|·|y|， ×2|y|＝1，|y|＝1，y＝±1． ＋＝1，x＝±， ∵x＞0，x＝， ∴P． 答案： 橢圓的定義及應用 [明技法] (1)橢圓定義的應用范圍 ①確認平面內與兩定點有關的軌跡是否為橢圓． ②解決與焦點有關的距離問題． (2)焦點

7、三角形的應用 橢圓上一點P與橢圓的兩焦點F1，F2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求|PF1||PF2|；通過整體代入可求其面積等． [提能力] 【典例】 (xx·徐州模擬)已知F1，F2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________． 解析：設|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則 所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2， 所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3． 答案：3 [刷好題] 1．設F1，F2是橢圓

8、＋＝1的兩個焦點，P是橢圓上的一點，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，則△PF1F2的面積為(　　) A．4　　　 B．6　　　 C．2　　　 D．4 解析：選A　因為點P在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|＝6， 又因為|PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2， 又易知|F1F2|＝2， 顯然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 故△PF1F2為直角三角形， 所以△PF1F2的面積為×2×4＝4.故選A． 2．已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內部且和圓C1相內切，和圓C2相外切，則動圓圓心

9、M的軌跡方程為__________． 解析：設動圓M的半徑為r， 則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16， 又|C1C2|＝8＜16，所以動圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點的橢圓，且2a＝16,2c＝8，則a＝8，c＝4， 所以b2＝48，又焦點C1、C2在x軸上， 故所求的軌跡方程為＋＝1． 答案：＋＝1 橢圓的標準方程 [明技法] 用待定系數法求橢圓標準方程的四個步驟 → → → → [提能力] 【典例】 (1)(xx·湖南聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點，離心率e＝，且它的一個焦點與拋物線y2＝－4x的焦點重合，則此橢圓方程為(　　) A

10、．＋＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1 D．＋y2＝1 (2)設F1，F2分別是橢圓E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的標準方程為____________________________． 解析：(1)依題意，可設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，由已知可得拋物線的焦點為(－1,0)，所以c＝1， 又離心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3， 所以橢圓方程為＋＝1． (2)不妨設點A在第一象限，如圖所示．因為AF2⊥x軸，所以|AF2|＝b2． 因為|AF1|＝3|BF1

11、|，所以B． 將B點代入橢圓方程， 得2＋＝1， 所以c2＋＝1． 又因為b2＋c2＝1，所以 故所求的方程為x2＋＝1． 答案：(1)A　(2)x2＋＝1 [刷好題] 求滿足下列各條件的橢圓的標準方程： (1)長軸是短軸的3倍且經過點A(3,0)； (2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側頂點的距離為； (3)經過點P(－2，1)，Q(，－2)兩點； (4)與橢圓＋＝1有相同離心率且經過點(2，－)． 解：(1)若焦點在x軸上，設方程為＋＝1(a>b>0)． ∵橢圓過點A(3,0)． ∴＝1，∴a＝3，∵2a＝3×2b， ∴b＝1，∴方程為＋y

12、2＝1． 若焦點在y軸上，設方程為＋＝1(a>b>0)． ∵橢圓過點A(3,0)，∴＝1，∴b＝3． 又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程為＋＝1． 綜上所述，橢圓方程為＋y2＝1或＋＝1． (2)由已知，有解得 從而b2＝a2－c2＝9． ∴所求橢圓方程為＋＝1或＋＝1． (3)設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． ∵點P(－2，1)，Q(，－2)在橢圓上， ∴解得m＝，n＝． 故＋＝1為所求橢圓的方程． (4)方法一　∵e＝＝＝＝＝，若焦點在x軸上，設所求橢圓方程為＋＝1(m>n>0)，則1－2＝． 從而2＝，＝. 又＋＝1，∴m2＝8，n2＝

13、6． ∴方程為＋＝1． 若焦點在y軸上，設方程為＋＝1(m>n>0)， 則＋＝1，且＝，解得m2＝，n2＝． 故所求方程為＋＝1． 方法二　若焦點在x軸上，設所求橢圓方程為 ＋＝t(t>0)，將點(2，－)代入， 得t＝＋＝2． 故所求方程為＋＝1． 若焦點在y軸上，設方程為＋＝λ(λ>0)代入點(2，－)，得λ＝，∴＋＝1． 橢圓的幾何性質 [析考情] 橢圓幾何性質的內容很豐富，因此在高考中對橢圓幾何性質的考查也非常廣泛，但離心率及其范圍卻是每年高考的熱點. 應用平面幾何知識往往是解決這類問題的關鍵． [提能力] 命題點1：由橢圓的方程研究其性質 【典例1】

14、 已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個焦點是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為(　　) A．(－3,0)　　　　　　 B．(－4,0) C．(－10,0) D．(－5,0) 解析：選D　因為圓的標準方程為(x－3)2＋y2＝1， 所以圓心坐標為(3,0)，所以c＝3，又b＝4， 所以a＝＝5． 因為橢圓的焦點在x軸上，所以橢圓的左頂點為(－5,0)． 命題點2：由橢圓的性質求參數的值或范圍 【典例2】 已知橢圓mx2＋4y2＝1的離心率為，則實數m等于(　　) A．2 B．2或 C．2或6 D．2或8 解析：選D　顯然m＞0且m≠4，

15、當0＜m＜4時，橢圓長軸在x軸上， 則＝，解得m＝2； 當m＞4時，橢圓長軸在y軸上， 則＝，解得m＝8． 命題點3：求離心率的值或范圍 【典例3】 (xx·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A． B． C． D． 解析：選A　由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a． 又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， ∴圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b， ∴＝， ∴e＝＝＝＝＝.故選A． [悟技法] 應用橢圓幾何性質的2個技巧與1

16、種方法 2個技巧 (1)與橢圓幾何性質有關的問題要結合圖形進行分析，即使畫不出圖形，思考時也要聯(lián)想到一個圖形． (2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求橢圓的相關量的范圍時，要注意應用這些不等關系． 1種方法 求橢圓離心率的方法： (1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解． (2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉化為含有e的方程(或不等式)求解． [刷好題] 1．(xx·全國卷Ⅰ)直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　

17、) A． B． C． D． 解析：選B　如圖，由題意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b． 在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·b，代入解得a2＝4c2，故橢圓離心率e＝＝，故選B． 2．(xx·東北三省三校聯(lián)考)若橢圓＋y2＝1的兩個焦點分別是F1，F2，點P是橢圓上任意一點，則·的取值范圍是(　　) A．[1,4] B．[1,3] C．[－2,1] D．[－1,1] 解析：選C　橢圓＋y2＝1兩個焦點分別是F1(－，0)，F2(，0)，設P(x，y)，則＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)，·＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3.因為y2＝1－，代入可得·＝x2－2，而－2≤x≤2，所以·的取值范圍是[－2,1]，故選C． 3．設F1，F2分別是橢圓C：x2＋2y2＝2的左、右焦點，P是該橢圓上的一個動點．則|＋| 的最小值是________． 解析：將方程變形為＋y2＝1，則F1(－1,0)，F2(1,0)． 設P(x0，y0)，則＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0) ∴＋＝(－2x0，－2y0)， ∴|＋|＝＝2＝2． ∵點P在橢圓上，∴0≤y≤1． ∴當y＝1時，|＋|的最小值為2． 答案：2