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1、2022年高考數學第二輪復習 專題升級訓練5 函數與方程及函數的應用 理 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分) 1．函數f(x)＝＋a的零點為1，則實數a的值為(　　)． A．－2 B．－ C． D．2 2．已知a是函數f(x)＝的零點，若0＜x0＜a，則f(x0)的值滿足(　　)． A．f(x0)＝0 B．f(x0)＜0 C．f(x0)＞0 D．f(x0)的符號不確定 3．函數f(x)＝2x－x－的一個零點所在的區(qū)間是(　　)． A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 4

2、．已知A，B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/時的速度從A地到達B地，在B地停留1時后再以50千米/時的速度返回A地，汽車離開A地的距離x(千米)與時間t(時)之間的函數表達式是(　　)． A．x＝60t B．x＝60t＋50t C．x＝ D．x＝ 5．若關于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是(　　)． A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 6．已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數，且當0≤x＜2時，f(x)＝x3－x，則函數y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上

3、與x軸的交點的個數為(　　)． A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空題(本大題共3小題，每小題6分，共18分) 7．若函數f(x)＝log2(x＋1)－1的零點是拋物線x＝ay2的焦點的橫坐標，則a＝__________. 8．已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零點個數不為0，則a的最小值為__________． 9．已知y與x(x≤100)之間的部分對應關系如下表： x 11 12 13 14 15 … y … 則x和y可能滿足的一個關系式是__________． 三、解答題(本大題共3

4、小題，共46分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 10．(本小題滿分15分)已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c. (1)若f(－1)＝0，試判斷函數f(x)零點的個數； (2)若?x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，試證明?x0∈(x1，x2)，使f(x0)＝[f(x1)＋f(x2)]成立． 11．(本小題滿分15分)某食品廠進行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本為20元，并且每公斤蘑菇的加工費為t元(t為常數，且2≤t≤5)，設該食品廠每公斤蘑菇的出廠價為x元(25≤x≤40)，根據市場調查，銷售量q與ex成反比，當每公斤蘑菇的出廠價為30元時，日銷售

5、量為100公斤． (1)求該工廠的每日利潤y元與每公斤蘑菇的出廠價x元的函數關系式； (2)若t＝5，當每公斤蘑菇的出廠價x為多少元時，該工廠每日的利潤最大？并求最大值． 12．(本小題滿分16分)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數． (1)當0≤x≤200時，求函數v(x)的表達式； (2)當車

6、流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時) 參考答案 一、選擇題 1．B　解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.故選B. 2．B　解析：分別作出y＝2x與的圖象如圖，當0＜x0＜a時，y＝2x的圖象在圖象的下方，所以f(x0)＜0.故選B. 3．B　解析：由f(0)＝20－0－＜0，f(1)＝2－1－＜0，f(2)＝22－2－＞0，根據函數零點性質知函數的一個零點在區(qū)間(1,2)內，故選B. 4．D　解析：到達B地需要＝2.5小時，所以當0≤t≤2.5時，x＝

7、60t； 當2.5＜t≤3.5時，x＝150； 當3.5＜t≤6.5時，x＝150－50(t－3.5)．故選D. 5．C　解析：∵方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實根， ∴Δ＝m2－4＞0.∴m2＞4，即m＞2或m＜－2. 6．B　解析：當0≤x＜2時，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1. 根據周期函數的性質，由f(x)的最小正周期為2， 可知y＝f(x)在[0,6)上有6個零點， 又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0， 所以y＝f(x)的圖象在[0,6]上與x軸的交點個數為7. 二、填空題 7．　解析：令f(x)＝log2(x＋1)－1＝0，得函數f(x)

8、的零點為x＝1，于是拋物線x＝ay2的焦點的坐標是(1,0)，因為x＝ay2可化為y2＝x，所以解得a＝. 8．1　解析：g(x)的零點個數不為零，即f(x)圖象與直線y＝a的交點個數不為零，畫出f(x)的圖象可知，a的最小值為1. 9．y(108－x)＝2 三、解答題 10．(1)解：∵f(－1)＝0，∴a－b＋c＝0，b＝a＋c. ∵Δ＝b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2， 當a＝c時Δ＝0，函數f(x)有一個零點； 當a≠c時，Δ＞0，函數f(x)有兩個零點． (2)證明：令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，則 g(x1)＝f(x1)－[f(

9、x1)＋f(x2)]＝， g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝， ∴g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2＜0.(f(x1)≠f(x2)) ∴g(x)＝0在(x1，x2)內必有一個實根，即?x0∈(x1，x2)， 使f(x0)＝[f(x1)＋f(x2)]成立． 11．解：(1)設日銷量q＝，則＝100，∴k＝100e30， ∴日銷量q＝， ∴y＝(25≤x≤40)． (2)當t＝5時，y＝，y′＝， 由y′＞0，得x＜26，由y′＜0，得x＞26， ∴y在[25,26)上單調遞增，在(26,40]上單調遞減， ∴當x＝26時，ymax＝10

10、0e4. 當每公斤蘑菇的出廠價為26元時，該工廠每日的利潤最大，最大值為100e4元． 12．解：(1)由題意：當0≤x≤20時，v(x)＝60；當20≤x≤200時，設v(x)＝ax＋b. 再由已知得解得 故函數v(x)的表達式為v(x)＝ (2)依題意并由(1)可得f(x)＝ 當0≤x≤20時，f(x)為增函數，故當x＝20時，其最大值為60×20＝1 200； 當20≤x≤200時，f(x)＝x(200－x)≤2＝， 當且僅當x＝200－x，即x＝100時，等號成立． 所以，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值. 綜上，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333， 即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/時．