(新課標)2021版高考數(shù)學一輪總復(fù)習 第二章 函數(shù) 第13講 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用導學案 新人教A版
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1、第13講 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用 【課程要求】 1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征,知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義. 2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用. 3.會運用函數(shù)的知識和函數(shù)思想解決有關(guān)函數(shù)的綜合性問題,培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力. 對應(yīng)學生用書p33 【基礎(chǔ)檢測】 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)某種商品進價為每件100元,按進價增加10%出售,后因庫存積壓降價,若按九折出售,則每件還能獲利.( ) (2)函數(shù)y=2
2、x的函數(shù)值比y=x2的函數(shù)值大.( )
(3)不存在x0,使ax0
3、份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同 D.前6個月的平均收入為40萬元 [解析]由題圖可知,收入最高值為90萬元,收入最低值為30萬元,其比是3∶1,故A正確;由題圖可知,7月份的結(jié)余最高,為80-20=60(萬元),故B正確;由題圖可知,1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同,故C正確;由題圖可知,前6個月的平均收入為×(40+60+30+30+50+60)=45(萬元),故D錯誤. [答案]D 3.[必修1p104例5]生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本,某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)=x2+2x+20(萬元).一萬件售價為20
4、萬元,為獲取更大利潤,該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為__________萬件.
[解析]利潤L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,
當x=18時,L(x)有最大值.
[答案]18
4.[必修1p107A組T4]用長度為24的材料圍一矩形場地,中間加兩道隔墻,要使矩形的面積最大,則隔墻的長度為________.
[解析]設(shè)隔墻的長度為x(0 5、行比較,下列選項正確的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)
[答案]B
6.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為________.
[解析]設(shè)年平均增長率為x,則(1+x)2=(1+p)(1+q),
∴x=-1.
[答案]-1
【知識要點】
1.幾類函數(shù)模型
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)
反比 6、例函數(shù)模型
f(x)=+b(k,b為常數(shù)且k≠0)
二次函數(shù)模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
指數(shù)函數(shù)模型
f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)
對數(shù)函數(shù)模型
f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)
冪函數(shù)模型
f(x)=axn+b(a,b為常數(shù),a≠0)
2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)
函數(shù)
性質(zhì)
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的增減性
單調(diào)__遞增__
單調(diào)__遞增__
單調(diào)__遞增__
增長 7、速度
越來越快
越來越慢
相對穩(wěn)定
圖象的變化
隨x增大逐漸表現(xiàn)為與____y__軸平行
隨x增大逐漸表現(xiàn)為與__x__軸平行
隨n值變化而不同
值的比較
存在一個x0,當x>x0時,有l(wèi)ogax 8、數(shù)模型應(yīng)用
例1 (1)大學畢業(yè)生小趙想開一家服裝專賣店,經(jīng)過預(yù)算,該門面需要裝修費為20000元,每天需要房租、水電等費用100元,受經(jīng)營信譽度、銷售季節(jié)等因素的影響,專賣店銷售總收益R與門面經(jīng)營天數(shù)x的關(guān)系是R(x)=則總利潤最大時,該門面經(jīng)營的天數(shù)是____________.
[解析]由題意,總利潤
y=
當0≤x≤400時,y=-(x-300)2+25000,
所以當x=300時,ymax=25000;
當x>400時,y=60000-100x<20000,
綜上,當門面經(jīng)營的天數(shù)為300時,總利潤最大為25000元.
[答案 9、]300
(2)將甲桶中的aL水緩慢注入空桶乙中,tmin后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y=aent.假設(shè)過5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再過mmin甲桶中的水只有L,則m的值為( )
A.5B.8C.9D.10
[解析]∵5min后甲桶和乙桶的水量相等,
∴函數(shù)y=f(t)=aent滿足f(5)=ae5n=a,
可得n=ln,∴f(t)=a·,
因此,當kmin后甲桶中的水只有L時,
f(k)=a·=a,即=,
∴k=10,由題可知m=k-5=5.
[答案]A
(3)如圖,矩形ABCD的周長為8,設(shè)AB=x(1≤x≤3),線段MN的兩端點在矩形的邊上滑動 10、,且MN=1,當N沿A→D→C→B→A在矩形的邊上滑動一周時,線段MN的中點P所形成的軌跡為G,記G圍成的區(qū)域的面積為y,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致為( )
[解析]由題意可知點P的軌跡為圖中虛線所示,其中四個角均是半徑為的扇形.
因為矩形ABCD的周長為8,AB=x,則AD==4-x,
所以y=x(4-x)-=-(x-2)2+4-(1≤x≤3),
顯然該函數(shù)的圖象是二次函數(shù)圖象的一部分,
且當x=2時,y=4-∈(3,4),故選D.
[答案]D
[小結(jié)]1.構(gòu)建數(shù)學模型解決實際問題,要正確理解題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言,建立適當?shù)暮?/p>
11、數(shù)模型,求解過程中不要忽略實際問題對變量的限制.
2.謹記解決這類問題的2個關(guān)鍵
(1)準確理解題意(有時為了敘述背景的需要,這類問題的題干有點長,因而認真審題,準確理解題意顯得尤為重要).
(2)根據(jù)具體情境確定相關(guān)解題策略(如給出函數(shù)圖象的實際應(yīng)用問題,關(guān)鍵在于準確識圖;而指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的實際應(yīng)用問題,關(guān)鍵在于充分利用冪與對數(shù)的運算,以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析來解決問題).
3.掌握2種函數(shù)模型的應(yīng)用技巧
(1)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)函數(shù)模型有關(guān)的實際問題,在求解時,要先學會合理選擇模型,在三類模型中,指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型, 12、與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型.
(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時,一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,再借助函數(shù)的圖象求解最值問題,必要時可借助導數(shù).
1.pH值是水溶液的重要理化參數(shù).若溶液中氫離子的濃度為[H+](單位:mol/L),則其pH值為-lg[H+].在標準溫度和氣壓下,若水溶液pH=7,則溶液為中性,pH<7時為酸性,pH>7時為堿性.例如,甲溶液中氫離子濃度為0.0001mol/L,其pH值為-lg0.0001,即pH=4.已知乙溶液的pH=2,則乙溶液中氫離子濃度為______mol/L.若乙溶液中氫離子濃度是丙溶液的兩千萬倍,則丙溶液 13、的酸堿性為______(填中性、酸性或堿性).
[解析]由pH=2可得:-lg=2,即乙溶液中氫離子濃度為0.01mol/L;由乙溶液中氫離子濃度是丙溶液的兩千萬倍可得:丙溶液中氫離子濃度為=5×10-10,顯然-lg>7,故丙溶液的酸堿性為堿性.
[答案]0.01;堿性
2.某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊夾角為60°(如圖),考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素,設(shè)計其橫斷面要求面積為9平方米,且高度不低于米.記防洪堤橫斷面的腰長為x米,外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米.要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長最小),則防洪堤的腰長x 14、=____________米.
[解析]設(shè)橫段面的高為h,根據(jù)題意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2·=BC+x,h=x,
所以9=(2BC+x)·x,得BC=-,
由得2≤x<6.
所以y=BC+2x=+(2≤x<6),
y=+≥2=6,
當且僅當=,即x=2時取等號.故所求防洪堤的腰長為2米.
[答案]2
3.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是( )
A.消耗1L汽油,乙車最多可行駛5km
B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多
C.甲車以80 15、km/h的速度行駛1h,消耗10L汽油
D.某城市機動車最高限速80km/h.相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油
[解析]根據(jù)圖象知消耗1L汽油,乙車最多行駛里程大于5km,故選項A錯;以相同速度行駛時,甲車燃油效率最高,因此以相同速度行駛相同路程時,甲車消耗汽油最少,故選項B錯;甲車以80km/h的速度行駛時燃油效率為10km/L,行駛1h,里程為80km,消耗8L汽油,故選項C錯;最高限速80km/h,丙車的燃油效率比乙車高,因此相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油,故選項D對.
[答案]D
函數(shù)性質(zhì)與圖象的綜合應(yīng)用
例2 (1)對于函數(shù)f(x)和g(x),設(shè)α∈{x|f( 16、x)=0},β∈{x|g(x)=0},若存在α,β,使得|α-β|≤1,則稱f(x)與g(x)互為“零點相鄰函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=ex-1+x-2與g(x)=x2-ax-a+3互為“零點相鄰函數(shù)”,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[2,4] B.
C.D.[2,3]
[解析]f(1)=e1-1+1-2=0,則f(x)=ex-1+x-2的零點為1,
因為f(x)=ex-1+x-2與g(x)=x2-ax-a+3互為“零點相鄰函數(shù)”,
設(shè)g(x)=x2-ax-a+3的零點為t,所以|1-t|≤1,則0≤t≤2,
如圖所示,
由于g(x)=x2-ax-a+3必過點A(-1,4) 17、,所以要使g(x)=x2-ax-a+3的零點在[0,2]上,
則g(0)g(2)≤0或解得2≤a≤3.故選D.
[答案]D
(2)已知函數(shù)f(x)=2x-1+2x+3與g(x)=x-x-1的零點分別為x1,x2,h(x)=且h(x3)=,則x1,x2,x3的大小關(guān)系為( )
A.x1
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