《(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 第19講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 第19講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式導(dǎo)學(xué)案 新人教A版(9頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第19講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式
【課程要求】
1.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式.
2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p53
【基礎(chǔ)檢測(cè)】
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)若α,β為銳角,則sin2α+cos2β=1.( )
(2)若α∈R,則tanα=恒成立.( )
(3)sin(π+α)=-sinα成立的條件是α為銳角.( )
(4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),則sinα=.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.[必修4p19例6]若sinα=,<α<
2、π,則tanα=________.
[解析]∵<α<π,
∴cosα=-=-,
∴tanα==-.
[答案]-
3.[必修4p22B組T3]已知tanα=2,則的值為________.
[解析]原式==5.
[答案]5
4.[必修4p28T7]化簡(jiǎn)·sin(α-π)·cos(2π-α)的結(jié)果為______________.
[解析]原式=·(-sinα)·cosα=-sin2α.
[答案]-sin2α
5.已知sinαcosα=,且<α<,則cosα-sinα的值為( )
A.-B.C.-D.
[解析]∵<α<,
∴
3、cosα<0,sinα<0且|cosα|<|sinα|,
∴cosα-sinα>0.
又(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×=,
∴cosα-sinα=.
[答案]B
6.已知cosα=,-<α<0,則的值為______________.
[解析]∵-<α<0,
∴sinα=-=-,
∴tanα=-2.
則==-==.
[答案]
7.已知sinα=,則tan(α+π)+=________.
[解析]∵sinα=>0,
∴α為第一或第二象限角.
tan(α+π)+=tanα+=+=.
①當(dāng)α是第一象限角時(shí),cosα==,
原式==;
②當(dāng)α
4、是第二象限角時(shí),cosα=-=-,
原式==-.
綜合①②知,原式=或-.
[答案]或-
【知識(shí)要點(diǎn)】
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
(1)平方關(guān)系
sin2α+cos2α=__1__;
(2)商數(shù)關(guān)系
tanα=.
2.誘導(dǎo)公式
組數(shù)
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α
(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sinα
-sin__α
-sinα
sinα
cosα
cos__α
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cos__α
sin__α
-sinα
正切
tan
5、α
tanα
-tan__α
-tan__α
口訣
函數(shù)名不變
符號(hào)看象限
函數(shù)名改變
符號(hào)看象限
記憶
規(guī)律
奇變偶不變,符號(hào)看象限
3.sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα三者之間的聯(lián)系
=1+2sinαcosα,
=__1-2sin__αcos__α__,
+=2,
-=__2sin__2α__.
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p54
例1 (1)已知α∈R,sinα+2cosα=,則tanα=________.
[解析]已知
6、等式兩邊平方得:
(sinα+2cosα)2=sin2α+4sinαcosα+4cos2α=,
變形得:==,
整理得:3tan2α-8tanα-3=0,
即(3tanα+1)(tanα-3)=0,
解得:tanα=-或tanα=3.
[答案]-或3
(2)已知tanα=-,則sinα·(sinα-cosα)等于( )
A.B.C.D.
[解析]sinα·(sinα-cosα)=sin2α-sinα·cosα
==,
將tanα=-代入,
得原式==.
[答案]A
[小結(jié)]主要利用公式tanθ=化成正弦、余弦,或者當(dāng)表達(dá)式中含有sinθ,cosθ的分式時(shí)利用公式=
7、tanθ化成正切.
例2 已知sinθ,cosθ是方程4x2-4mx+2m-1=0的兩個(gè)根,且<θ<2π,求θ的大?。?
[解析]因?yàn)閟inθ,cosθ是方程4x2-4mx+2m-1=0的兩個(gè)根,所以
由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,得m2=1+2×,解得m=.
又因?yàn)?θ<2π,所以sinθcosθ=<0,所以m=,
所以所以
又因?yàn)?θ<2π,所以θ=.
[小結(jié)]當(dāng)表達(dá)式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ時(shí),利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.
1.已知α是三角形的內(nèi)角,且sinα+cosα=,則tanα=
8、________.
[解析]由消去cosα,整理得
25sin2α-5sinα-12=0,
解得sinα=或sinα=-.
因?yàn)棣潦侨切蔚膬?nèi)角,所以sinα=,
又由sinα+cosα=,得cosα=-,
所以tanα=-.
[答案]-
誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
例3 已知α是第三象限角,且
f(α)=.
(1)化簡(jiǎn)f(α);
(2)若cos=,求f(α)的值;
(3)若α=-1920°,求f(α)的值.
[解析] (1)f(α)=
==cosα.
(2)∵cos=,∴sinα=-.
又α是第三象限角,∴cosα=-,∴f(α)=cosα=-.
(3)∵α=-192
9、0°=-360°×5-120°,
∴cosα=cos(-1920°)=cos(-120°)=cos120°=-,
∴f(α)=-.
[小結(jié)]應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí),注意符號(hào)的確定原則是視α為銳角,符號(hào)是變形前的原三角函數(shù)值的符號(hào).
2.已知角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸正半軸重合,終邊在直線3x-y=0上,則=______________.
[解析]由已知得tanθ=3,
∴===3.
[答案]3
例4 在△ABC中,sinA+cosA=.
(1)求sin·cos的值;
(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形;
(3)求tanA的值.
[解析] (1)∵sinA
10、+cosA=, ①
∴(sinA+cosA)2=,
即1+2sinAcosA=,∴sinAcosA=-.
則sin·cos=(-cosA)·(-sinA)
=sinAcosA=-.
(2)∵sinAcosA=-<0且00,cosA<0,∴sinA-cosA>0,
∴sinA-cosA=,?、?
∴由①、②可得sinA=,cosA=-,
∴tanA===-.
[小結(jié)]對(duì)于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα這三個(gè)式子,若已知其
11、中某一個(gè)式子的值,便可利用平方關(guān)系“sin2α+cos2α=1”,并靈活地運(yùn)用方程思想,求出另兩個(gè)式子的值,即(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2.因此,我們把“sinα+cosα”,“sinαcosα”,“sinα-cosα”稱為三角函數(shù)中的“三劍客”,若出現(xiàn)某一個(gè),則必須挖掘出另兩個(gè),方能順利地解題.
3.已知-π
12、平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=,
整理得2sinxcosx=-.
∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=,
由-π0,∴sinx-cosx<0,
故sinx-cosx=-.
(2)=
=
==-.
對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p55
1.(2016·全國(guó)卷Ⅲ理)若tanα=,則cos2α+2sin2α=( )
A.B.C.1D.
[解析]由tanα=,得sinα=,cosα=或sinα=-,cosα=-,所以cos2α+2sin2α=+4×=.
[答案]A
2.(2018·浙江)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過點(diǎn)P.
求sin(α+π)的值.
[解析]由角α的終邊過點(diǎn)P得sinα=-,
所以sin(α+π)=-sinα=.
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