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(新課標)2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第28講 平面向量的數(shù)量積導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

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1、第28講 平面向量的數(shù)量積 【課程要求】 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系. 3.掌握數(shù)量積的坐標表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算. 4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角及判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系. 5.會用向量方法解決一些簡單的平面幾何問題及力學(xué)問題. 對應(yīng)學(xué)生用書p78 【基礎(chǔ)檢測】 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量,而不是向量.(  ) (2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運算的運算結(jié)果是向量.(  ) (3)由a·b=0可

2、得a=0或b=0.(  ) (4)(a·b)c=a(b·c).(  ) (5)兩個向量的夾角的范圍是.(  ) (6)若a·b>0,則a和b的夾角為銳角;若a·b<0,則a和b的夾角為鈍角.(  ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)× 2.[必修4p105例4]已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,則k=________. [解析]∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k), 由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0, ∴10+2-k=0,解得k=12. [答案]12 3.[必修4p1

3、06T3]已知|a|=5,|b|=4,a·b=-10,則向量b在向量a方向上的投影為________. [解析]由數(shù)量積的定義知,b在a方向上的投影為 |b|cosθ==-2. [答案]-2 4.已知點A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量在方向上的投影為(  )                    A.B.C.-D.- [解析]由題意知=(2,1),=(5,5),則在方向上的投影為||·cos〈,〉==. [答案]A 5.已知△ABC的三邊長均為1,且=c,=a,=b,則a·b+b·c+a·c=________. [解析]∵〈a,b

4、〉=〈b,c〉=〈a,c〉=120°,|a|=|b|=|c|=1, ∴a·b=b·c=a·c=1×1×cos120°=-, ∴a·b+b·c+a·c=-. [答案]- 6.設(shè)向量a=(-1,2),b=(m,4),如果向量a與b的夾角為銳角,則m的取值范圍是________. [解析]a·b=-m+2×4=8-m>0,且a≠λb(λ>0), 解得m<8且m≠-2. [答案] (-∞,-2)∪(-2,8) 【知識要點】 1.兩向量的夾角 已知非零向量a,b,作=a,=b,則∠AOB叫做a與b的夾角. a與b的夾角的取值范圍是__[0,π]__. 當a與b同向時,它們的夾角為

5、__0__;當a與b反向時,它們的夾角為__π__;當夾角為90°時,我們說a與b垂直,記作a⊥b. 2.向量數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a與b,我們把__|a||b|cos__θ__叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ. 規(guī)定:零向量與任何向量的數(shù)量積為0,即0·a=0. 3.向量數(shù)量積的幾何意義 向量的投影:|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影,當θ為銳角時,它是正值;當θ為鈍角時,__它是負值__;當θ為直角時,它是零. a·b的幾何意義:數(shù)量積a·b等于__a的長度|a|__與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積. 4.平面向量

6、數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為向量a,b的夾角. 結(jié)論 幾何表示 坐標表示 模 |a|= |a|=____ 數(shù)量積 a·b=|a|·|b|cosθ a·b=x1x2+y1y2 夾角 cosθ= cosθ= a⊥b的 充要條件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a·b|與 |a||b|的 關(guān)系 |a·b|≤|a|·|b|(當且僅當a∥b時等號成立) |x1x2+y1y2|≤ · 5.平面向量數(shù)量積的運算律 (1)a·b=b·a. (2)(λa)·b=λ(a·

7、b)=a·(λb)(λ∈R). (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 對應(yīng)學(xué)生用書p79 平面向量的數(shù)量積的運算 例1 (1)已知e1,e2是夾角為的兩個單位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若a·b=0,則實數(shù)k的值為________. [解析]因為a·b=(e1-2e2)·(ke1+e2)=ke+(1-2k)(e1·e2)-2e,且|e1|=|e2|=1,e1·e2=-, 所以k+(1-2k)·-2=0,解得k=. [答案] (2)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,||=6,||=4,若點M,N滿足=3,=2,則·等于(  ) A.20B.15C.9D.6

8、 [解析]?。剑?, =-=-+, ∴·=(4+3)·(4-3) =(162-92)=(16×62-9×42)=9, 故選C. [答案]C (3)正方形ABCD邊長為2,中心為O,直線l經(jīng)過中心O,交AB于M,交CD于N, P為平面上一點,且2=λ+(1-λ),則·的最小值是(  ) A.-B.-1C.-D.-2 [解析]由題意可得: ·= =(42-42)=2-2, 設(shè)2=,則=λ+(1-λ), ∵λ+(1-λ)=1,∴Q,B,C三點共線. 當MN與BD重合時,最大,且max=2, 據(jù)此:(·)min=-2=-. [答案]C [小結(jié)]向量數(shù)量積的2種運算方法

9、 方法 運用提示 適用題型 定義法 當已知向量的模和夾角θ時,可利用定義法求解,即a·b=|a|·|b|cosθ 適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題 坐標法 當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2 適用于已知相應(yīng)向量的坐標求解數(shù)量積的有關(guān)計算問題 1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,則x=(  ) A.-1B.-C.D.1 [解析]a·b=1×2+(-1)×x=2-x=1,∴x=1. [答案]D 2.已知向量與的夾角為120°,且||=3,||=2,若=λ

10、+,且⊥,則實數(shù)λ的值為________. [解析]∵向量與的夾角為120°,且||=3,||=2, ∴·=||·||cos120°=2×3×=-3. ∵=λ+,且⊥, ∴·=·=·=0, 即λ·-·+||2-λ||2=0, ∴-3λ+3+4-9λ=0,解得λ=. [答案] 平面向量的夾角與垂直問題 例2 已知a=(1,2),b=(-3,4),c=a+λb(λ∈R). (1)λ為何值時,|c|最???此時c與b的位置關(guān)系如何? (2)λ為何值時,c與a的夾角最???此時c與a的位置關(guān)系如何? [解析] (1)c=(1-3λ,2+4λ), |c|2=(1-3λ)2+(2+4

11、λ)2=5+10λ+25λ2=25+4, 當λ=-時,|c|最小,此時c=, b·c=(-3,4)·=0,∴b⊥c, ∴當λ=-時,|c|最小,此時b⊥c. (2)設(shè)c與a的夾角為θ,則cosθ===, 要c與a的夾角最小,則cosθ最大, ∵0≤θ≤π,故cosθ的最大值為1,此時θ=0, cosθ=1,=1,解之得λ=0,c=(1,2). ∴λ=0時,c與a的夾角最小,此時c與a平行. [小結(jié)]求平面向量的夾角的方法 ①定義法:cosθ=,注意θ的取值范圍為[0,π]. ②坐標法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則cosθ=. ③解三角形法:可以把所求兩向

12、量的夾角放到三角形中進行求解. 3.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m等于(  ) A.-2B.-1C.1D.2 [解析]因為a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m,2m)+(4,2)=(m+4,2m+2).根據(jù)題意可得=,所以=,解得m=2. [答案]D 平面向量的模及其應(yīng)用 例3 (1)已知a,b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0,則|c|的最大值是(  ) A.1B.2C.D. [解析]由(a-c)·(b-c)=0,得a·b-(a+b)·c+c2=0,

13、因為a與b垂直,所以a·b=0,進而可得c2=(a+b)·c,即|c|2=|a+b||c|cosθ,又由a、b為互相垂直的兩個單位向量可知|a+b|=.所以|c|=cosθ,|c|∈,即|c|的最大值為. [答案]C (2)已知|a|=4,e為單位向量,當a,e的夾角為時,a+e在a-e上的投影為(  ) A.5B. C.D. [解析]由題設(shè)==,(a+e)·(a-e)=42-12=15,所以==. [答案]D [小結(jié)]解答本題的關(guān)鍵是準確理解向量在另一個向量上的投影的概念.求解時先求兩個向量a+e和a-e的模及數(shù)量積的值,然后再運用向量的射影的概念,運用公式進行計算,從而使得問

14、題獲解. 例4 在平面直角坐標系中,O為原點,A(-1,0),B(0,),C(3,0). (1)求向量,夾角的大小; (2)若動點D滿足||=1,求|++|的最大值. [解析] (1)因為A(-1,0),B(0,),C(3,0), 所以=(4,0),=(3,-), 所以cos〈,〉==, 所以向量,的夾角為30°. (2)因為C的坐標為(3,0)且|CD|=1,所以動點D的軌跡為以C為圓心的單位圓,則D的坐標滿足參數(shù)方程(θ為參數(shù)且θ∈[0,2π)),所以設(shè)D的坐標為(3+cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π)),則|++|==. 因為2cosθ+sinθ的最大值為=,所以|

15、++|的最大值為==1+. [小結(jié)]求解平面向量模的方法 ①寫出有關(guān)向量的坐標,利用公式|a|=即可. ②當利用向量的線性運算和向量的數(shù)量積公式進行求解,|a|=. 4.(2017·全國卷Ⅰ理)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2, |b|=1,則|a+2b|=________. [解析]法一: |a+2b|= = = ==2. 法二:(數(shù)形結(jié)合法) 由|a|=|2b|=2知,以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB,如圖,則|a+2b|=||. 又∠AOB=60°,所以|a+2b|=2. [答案]2 對應(yīng)學(xué)生用書p80 1.(2019·

16、全國卷Ⅰ理)已知非零向量a,b滿足=2,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為(  )                    A.B.C.D. [解析]由(a-b)⊥b知a·b-b2=0,又|a|=2|b|, 所以2|b|2cosθ-|b|2=0,cosθ=,所以θ=,故選B. [答案]B 2.(2019·全國卷Ⅱ理)已知=(2,3),=(3,t),||=1,則·=(  ) A.-3B.-2C.2D.3 [解析]由=-=(1,t-3),==1,得t=3,則=(1,0),·=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故選C. [答案]C 3.(2017·北京卷理)已知點P在

17、圓x2+y2=1上,點A的坐標為(-2,0),O為原點,則·的最大值為________. [解析]法一:由題意知,=(2,0),令P(cosα,sinα),則=(cosα+2,sinα),·=(2,0)·(cosα+2,sinα)=2cosα+4≤6,當且僅當cosα=1,即α=0,P(1,0)時“=”成立,故·的最大值為6. 法二:由題意知,=(2,0),令P(x,y),-1≤x≤1,則·=(2,0)·(x+2,y)=2x+4≤6,當且僅當x=1,P(1,0)時“=”成立,故·的最大值為6. 法三:·表示在方向上的投影與||的乘積.當點P在點B(1,0)處時,·有最大值,此時·=2×3=6. [答案]6 10

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