《(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第一章 集合、常用邏輯用語 第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第一章 集合、常用邏輯用語 第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件導(dǎo)學(xué)案 新人教A版(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件
【課程要求】
1.理解命題的概念及命題構(gòu)成,了解“若p,則q”形式命題的逆命題、否命題與逆否命題,會分析四種命題的相互關(guān)系.
2.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.
對應(yīng)學(xué)生用書p4
【基礎(chǔ)檢測】
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)“對頂角相等”是命題.( )
(2)命題“若p,則q”的否命題是“若p,則綈q”.( )
(3)當(dāng)q是p的必要條件時,p是q的充分條件.( )
(4)當(dāng)p是q的充要條件時,也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立.( )
2、
(5)若p是q的充分不必要條件,則綈p是綈q的必要不充分條件.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2.[選修2-1p8T3]下列命題是真命題的是( )
A.矩形的對角線相等
B.若a>b,c>d,則ac>bd
C.若整數(shù)a是素數(shù),則a是奇數(shù)
D.命題“若x2>0,則x>1”的逆否命題
[答案]A
3.[選修2-1p12T2(2)]“x-3=0”是“(x-3)(x-4)=0”的____________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
[答案]充分不必要
4.命題“若x2>y2,則x>y”的否命
3、題是( )
A.若xy2,則xy2,則x>y”的否命題是“若x2≤y2,則x≤y”.
[答案]D
5.若x∈R,則“x>1”是“<1”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
[解析]當(dāng)x>1時,<1成立,而當(dāng)<1時,x>1或x<0,所以“x>1”是“<1”的充分不必要條件,選A.
[答案]A
6.已知命題:“若x≥0,y≥0,則xy≥0”,則原命題、逆命題、否命題、
4、逆否命題這四個命題中,真命題的個數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
[解析]由題得原命題“若x≥0,y≥0,則xy≥0”是真命題,所以其逆否命題也是真命題.
逆命題為:“若xy≥0,則x≥0,y≥0”,是假命題,所以否命題也是假命題,所以四個命題中,真命題的個數(shù)為2.
[答案]B
【知識要點(diǎn)】
1.命題
用語言、符號或式子表達(dá)的,可以__判斷真假__的陳述句叫做命題,其中判斷為真的語句叫做__真命題__,判斷為假的語句叫做__假命題__.
2.四種命題及其關(guān)系
(1)四種命題間的相互關(guān)系
(2)四種命題間的真假關(guān)系
①兩個命題互為逆否命題,它們有__相同__的真假
5、性;
②兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性__沒有關(guān)系__.
3.充要條件
充分條件與必要條件的定義
從集合角度理解
若p?q,則p是q的__充分__條件,q是p的__必要__條件
p成立的對象的集合為A,q成立的對象的集合為B
p是q的__充分不必要__條件
p?q且q?/ p
A是B的__真子集__
p是q的__必要不充分__條件
p?/ q且q?p
B是A的__真子集__
p是q的__充要__條件
p?q
A=B
p是q的__既不充分也不必要__條件
p?/ q且q?/ p
A,B互不__包含__
6、
集合與充要條件的關(guān)系
對應(yīng)學(xué)生用書p4
四種命題及其相互關(guān)系
例1 (1)命題“若x2>y2,則x>y”的逆否命題是( )
A.若xy,則x2>y2D.若x≥y,則x2≥y2
[解析]根據(jù)原命題和其逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系,得命題“若x2>y2,則x>y”的逆否命題是“若x≤y,則x2≤y2”.
[答案]B
(2)(多選)下列命題是真命題的是( )
A.“若a21,則ax2-2a
7、x+a+3>0的解集為R”的逆否命題
D.“若x(x≠0)為有理數(shù),則x為無理數(shù)”的逆否命題
[解析]對于A,否命題為“若a2≥b2,則a≥b”,為假命題;對于B,逆命題為“面積相等的三角形是全等三角形”,為假命題;對于C,當(dāng)a>1時,Δ=-12a<0,原命題為真,從而其逆否命題為真;對于D,原命題為真命題,從而其逆否命題為真命題.
[答案]CD
[小結(jié)](1)寫一個命題的其他三種命題時,需注意:
①對于不是“若p,則q”形式的命題,需先改寫;
②若命題有大前提,寫其他三種命題時需保留大前提.
(2)判斷一個命題為真命題,要給出推理證明;判斷一個命題是假命題,只需舉出反例.
(
8、3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì),當(dāng)一個命題直接判斷不易進(jìn)行時,可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假.
1.命題“已知a>1,若x>0,則ax>1”的否命題為( )
A.已知00,則ax>1
B.已知a>1,若x≤0,則ax>1
C.已知a>1,若x≤0,則ax≤1
D.已知01”是大前提,在四種命題中不能改變;“x>0”是條件,“ax>1”是結(jié)論.由于命題“若p,則q”的否命題為“若綈p,則綈q”,故該命題的否命題為“已知a>1,若x≤0,則ax≤1”.故選C.
[答案]
9、C
2.設(shè)原命題:“若a+b≥2,則a,b中至少有一個不小于1”,則原命題與其逆命題的真假情況是( )
A.原命題真,逆命題假
B.原命題假,逆命題真
C.原命題與逆命題均為真命題
D.原命題與逆命題均為假命題
[解析]可以考慮原命題的逆否命題,即“a,b都小于1,則a+b<2”,顯然為真.其逆命題,即“若a,b中至少有一個不小于1,則a+b≥2”為假,如a=1.2,b=0.2,則a+b<2.
[答案]A
充分、必要條件的判斷
例2 (1)對于直線m,n和平面α,β,m⊥α成立的一個充分條件是( )
A.m⊥n,n∥αB.m∥β,β⊥α
C.m⊥β,n⊥β,n⊥αD.
10、m⊥n,n⊥β,β⊥α
[解析]對于選項(xiàng)C,因?yàn)閙⊥β,n⊥β,所以m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,故選C.
[答案]C
(2)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
[解析]法一:∵數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,
∴S4=4a1+6d,S5=5a1+10d,S6=6a1+15d,
∴S4+S6=10a1+21d,2S5=10a1+20d.
若d>0,則21d>20d,10a1+21d>10a1+20d,
即S4+S6>2S5.
若S4+S
11、6>2S5,則10a1+21d>10a1+20d,
即21d>20d,
∴d>0.∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要條件.
故選C.
法二:∵S4+S6>2S5?S4+S4+a5+a6>2(S4+a5)?a6>a5?a5+d>a5?d>0,
∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要條件.
故選C.
[答案]C
[小結(jié)]充分條件、必要條件的三種判定方法
(1)定義法:根據(jù)p?q,q?p進(jìn)行判斷,適用于定義、定理判斷性問題.
(2)集合法:根據(jù)p,q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷,多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題.
(3)等價轉(zhuǎn)化法:根據(jù)一個命題與其逆否
12、命題的等價性,進(jìn)行判斷,適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題.
3.已知條件p:x>1或x<-3,條件q:5x-6>x2,則綈p是綈q的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
[解析]由5x-6>x2,得2B”是“sin A>sin B”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
[解析]由正弦定理知==2R(R為△
13、ABC外接圓半徑).若sinA>sinB,則>,即a>b,所以A>B;若A>B,則a>b,所以2RsinA>2RsinB,即sinA>sinB,所以“A>B”是“sin A>sin B”成立的充要條件.
[答案]C
根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍
例3 (1)已知集合A=,B={x|x+m2≥6}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.
[解析]由y=x+在上單調(diào)遞減,在(1,2)上單調(diào)遞增,得2≤y<,∴A=.
由x+m2≥6,得x≥6-m2,∴B={x|x≥6-m2}.
∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件,
∴AB,∴
14、6-m2≤2,解得m≥2或m≤-2,
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪.
[答案]∪
(2)已知集合A=,B={x|-13,即m>2.
[答案]
[小結(jié)]充分條件、必要條件的應(yīng)用,一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時需注意:
(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解;
(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).
15、
5.若“x>2m2-3”是“-12m2-3”是“-12,q:x2-2x+1-a2≥0(a>0),若q是p的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.
[解析]由題可得p:x>3或x<-1,
q:x2-2x+1-a2≥0
16、,[x-(1-a)]·[x-(1+a)]≥0,
∵a>0,∴1-a<1+a,解得x≥1+a或x≤1-a.
因?yàn)閝是p的必要不充分條件,
故解得0<a≤2.
[答案] (0,2]
充要條件的證明
例4 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,已知條件p:對?n,m∈N*,當(dāng)n>m時,總有Sn-Sm=Sn-m+md( 其中d為常數(shù)),條件q:數(shù)列是等差數(shù)列.
求證:條件p是條件q的充要條件.
[解析] (充分性)
∵當(dāng)n>m時,總有Sn-Sm=Sn-m+md,
∴當(dāng)n≥2時,Sn-Sn-1=S1+(n-1)d,即an=a1+(n-1)d,且n=1也成立,
∴當(dāng)n≥2時,an-an-1=a1+
17、(n-1)d-a1-(n-2)d=d,
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(必要性)
∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,
∴當(dāng)n>m時,Sn-Sm-Sn-m=am+1+am+2+…+an-Sn-m
=(n-m)am+1+d-
=(n-m)(am+1-a1)=m(n-m)d,
∴Sn-Sm=Sn-m+m(n-m)d,
∴條件p:“對?n,m∈N*,當(dāng)n>m時,總有Sn-Sm=Sn-m+md( 其中d為常數(shù))”是條件q: “數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件.
[小結(jié)]充分條件、必要條件以其獨(dú)特的表達(dá)形式成為高考命題的熱點(diǎn).高考主要考查充分條件、必要條件的判斷,常以選擇題的形式出現(xiàn),難度不大,屬于基礎(chǔ)
18、題.充分條件、必要條件作為一個重要載體,考查的數(shù)學(xué)知識面較廣,幾乎涉及數(shù)學(xué)知識各個方面.
對應(yīng)學(xué)生用書p6
(2019·全國卷Ⅱ理)設(shè)α,β為兩個平面,則α∥β的充要條件是( )
A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行
B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行
C.α,β平行于同一條直線
D.α,β垂直于同一平面
[解析]由面面平行的判定定理知:α內(nèi)有兩條相交直線都與β平行是α∥β的充分條件;
由面面平行的性質(zhì)定理知,若α∥β,則α內(nèi)任意一條直線都與β平行,所以α內(nèi)有兩條相交直線都與β平行是α∥β的必要條件.
故α∥β的充要條件是α內(nèi)有兩條相交直線與β平行.
故選B.
[答案]B
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