《2020版高考數學一輪復習 第三章 三角函數、解三角形 第二節(jié) 同角三角函數的基本關系與誘導公式學案 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數學一輪復習 第三章 三角函數、解三角形 第二節(jié) 同角三角函數的基本關系與誘導公式學案 理（含解析）新人教A版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第二節(jié)　同角三角函數的基本關系與誘導公式 2019考綱考題考情 考綱要求 考題舉例 考向標簽 1.理解同角三角函數的基本關系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx 2．能利用單位圓中的三角函數線推導出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式 2017·北京高考·T12(誘導公式、兩角和差公式) 2016·全國卷Ⅱ·T9(同角三角函數的關系、二倍角公式) 2016·全國卷Ⅲ·T5(同角三角函數的關系、二倍角公式) 命題角度： 1．同角三角函數的基本關系 2．誘導公式及應用 核心素養(yǎng)：數學運算 1．同角三角函數的基本關系 (1)平方關系：sin2α＋c

2、os2α＝1。 (2)商數關系：tanα＝。 2．三角函數的誘導公式 公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z。 公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα。 公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα。 公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα。 公式五：sin＝cosα，cos＝sinα。 公式六：sin＝cosα，cos＝－sinα。 1．同角

3、三角函數關系式的常用變形 (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα； sinα＝tanα·cosα。 2．誘導公式的記憶口訣 “奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化。 一、走進教材 1．(必修4P19例6改編)已知sinα＝，≤α≤π，則tanα＝(　　) A．－2 B．2 C． D．－ 解析　因為cosα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－。 答案　D 2．(必修4P20練習T4改編)化簡＝________。 解析?。剑絪in2θ。 答案　sin2θ 二、走近高考 3．(2016·全國卷Ⅲ)若tanα＝，則

4、cos2α＋2sin2α＝(　　) A． B． C．1 D． 解析　cos2α＋2sin2α＝＝＝＝。 答案　A 4．(2017·北京高考)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱。若sinα＝，則sinβ＝________。 解析　由題意可知角α在第一或第二象限，若角α與角β的終邊關于y軸對稱，則β＝2kπ＋π－α(k∈Z)，所以sinβ＝sin(π－α)＝sinα＝。 答案　 三、走出誤區(qū) 微提醒：①不會運用消元思想轉化為關于tanx的齊次式；②不會對式子變形，且不注意角的范圍出錯；③誘導公式記憶不熟出錯。 5．已知tanx＝2，則si

5、n2x＋1的值為(　　) A．0 B． C． D． 解析　sin2x＋1＝＝＝，故選B。 答案　B 6．化簡cosα＋sinα得(　　) A．sinα＋cosα－2 B．2－sinα－cosα C．sinα－cosα D．cosα－sinα 解析　原式＝cosα＋sinα＝cosα·＋sinα·，因為π<α<π，所以cosα<0，sinα<0。所以原式＝－(1－sinα)－(1－cosα)＝sinα＋cosα－2。故選A。 答案　A 7．若sin(π＋α)＝－，則sin(7π－α)＝__________，cos＝________。 解析　由sin(π＋α)＝－，得sinα

6、＝，則sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝，cos＝cos＝cos＝cos＝sinα＝。 答案　　 考點一同角三角函數的基本關系 方向1：“知一求二”問題 【例1】　(1)已知cosα＝k，k∈R，α∈，則sin(π＋α)＝(　　) A．－ B． C．± D．－k (2)(2019·廈門質檢)若α∈，sin(π－α)＝，則tanα＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　(1)由cosα＝k，α∈得sinα＝，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－。故選A。 (2)因為α∈，sinα＝，所以cosα＝－，所以tanα＝－。 答案　(1)A　(2)C

7、 利用同角三角函數的基本關系求解問題的關鍵是熟練掌握同角三角函數的基本關系的正用、逆用、變形。同角三角函數的基本關系本身是恒等式，也可以看作是方程，對于一些題，可利用已知條件，結合同角三角函數的基本關系列方程組，通過解方程組達到解決問題的目的。 方向2：弦切互化 【例2】　(1)(2019·河南平頂山、許昌兩市聯考)已知＝5，則cos2α＋sin2α的值是(　　) A．　　　B．－ C．－3　　　D．3 (2)已知θ為第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，則tanθ＝________。 解析　(1)由＝5得＝5，可得tanα＝2，則cos2α＋sin2α＝cos2α＋sinαco

8、sα＝＝＝。故選A。 (2)由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因為θ為第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ，所以tanθ＝－。 答案　(1)A　(2)－ 若已知正切值，求一個關于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉化為一個關于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，這是同角三角函數關系中的一類基本題型。 方向3：sinα±cosα與sinαcosα關系的應用 【例3】　(1)(2019·山西晉城一模)若|sinθ|＋|cosθ|＝，則sin4θ＋co

9、s4θ＝(　　) A． B． C． D． (2)已知θ為第二象限角，sinθ，cosθ是關于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，則sinθ－cosθ＝(　　) A． B． C． D．－ 解析　(1)因為|sinθ|＋|cosθ|＝，兩邊平方，得1＋|sin2θ|＝。所以|sin2θ|＝。所以sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝。故選B。 (2)因為sinθ，cosθ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的兩根，所以sinθ＋cosθ＝，sinθ·cosθ＝，可得(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋m＝，解得

10、m＝－。因為θ為第二象限角，所以sinθ>0，cosθ<0，即sinθ－cosθ>0，因為(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1－m＝1＋，所以sinθ－cosθ＝＝。故選B。 答案　(1)B　(2)B 對于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t，則sinαcosα＝，sinα－cosα＝±(注意根據α的范圍選取正、負號)，體現了方程思想的應用。 【題點對應練】　 1．(方向1)已知sin(π＋α)＝－，則tan值為(　　) A．2 B．－2 C． D．±2 解析　因為sin(π＋α)＝－，所

11、以sinα＝，cosα＝±，tan＝＝±2。故選D。 答案　D 2．(方向2)已知tanθ＝2，則＋sin2θ的值為(　　) A．　　　B. C．　　　D. 解析　原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，將tanθ＝2代入，得原式＝。故選C。 答案　C 3.(方向2)若角α滿足sinα＋2cosα＝0，則tan2α＝(　　) A．－　　 B. C．－　　 D. 解析　由題意知，tanα＝－2，tan2α＝＝。故選D。 解析：由題意知，sinα＝－2cosα，tan2α＝＝＝。故選D。 答案　D 4．(方向3)已知sinα＋cosα＝，α∈[0，π]，則tanα＝(　　

12、) A．－　　 B．－ C．　　　D. 解析　將sinα＋cosα＝①，左右兩邊平方，得1＋2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝－<0。又α∈[0，π]，所以sinα>0，cosα<0，即sinα－cosα>0，因為(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，所以sinα－cosα＝②，聯立①②解得sinα＝，cosα＝－，則tanα＝＝－。 答案　A 考點二誘導公式及應用 【例4】　(1)已知f(α)＝，則f＝(　　) A． B． C． D．－ (2)已知cos(75°＋α)＝，則sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是(　　) A． B． C

13、．－ D．－ 解析　(1)f(α)＝＝＝＝cosα，則f＝cos＝。 (2)因為cos(75°＋α)＝，所以sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(α＋75°)－90°]＋cos[180°－(α＋75°)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－。 答案　(1)A　(2)D 1．已知角求值問題，關鍵是利用誘導公式把任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值求解。轉化過程中注意口訣“奇變偶不變，符號看象限”的應用。 2．對給定的式子進行化簡或求值時，要注意給定的角之間存在的特定關系，充分利用給定的關系結合誘導公式將角進行轉化。特別要注意每一個角所在的象限，防

14、止符號及三角函數名出錯。 【變式訓練】　(1)sin300°＋tan600°的值是(　　) A．－ B． C．－＋ D．＋ (2)若sin＝，則cos＝________。 解析　(1)sin300°＋tan600°＝sin(－60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－＋＝。故選B。 (2)因為sin＝，所以cos＝cos＝sin＝。 答案　(1)B　(2) 1．(配合例2使用)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，則tanα＝________。 解析　由題意結合同角三角函數基本關系有解方程可得或則tanα＝＝3或－。 答案　3或－ 2．(配合例2使用)若角

15、α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊在直線y＝x上，則cos2α＝(　　) A． B． C． D．－ 解析　由題意易得tanα＝，cos2α＝＝＝＝。故選B。 答案　B 3．(配合例3使用)已知sinα＋cosα＝，則tanα＋的值為(　　) A．－1 B．－2 C． D．2 解析　因為sinα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝2，所以sinαcosα＝。所以tanα＋＝＋＝＝2。故選D。 答案　D 4．(配合例4使用)已知α∈，sin＝，則cos＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　因為sin＝cos＝，所以cos＝。故選B。 答案　B 9