6、圓的方程為f(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，或f(x，y)＝(x－a)2＋(y－b)2－R2＝0，圓外有一點(diǎn)P(x0，y0)，由點(diǎn)P向圓引的切線的長(zhǎng)為l＝.
■自測(cè)自評(píng)——————————————
1．設(shè)a，b，c分別是△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊，則直線sinA·x＋ay－c＝0與bx－sinB·y＋sinC＝0的位置關(guān)系是( )
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
解析：由題意可得直線sinA·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率k2＝，故k1k2＝－·＝－1，所以直線sinA·x＋ay－c＝0與直線bx－
7、sinB·y＋sinC＝0垂直，故選C.
答案：C
2．若直線l1：ax＋y－1＝0與l2：3x＋(a＋2)y＋1＝0平行，則a的值為( )
A．1 B．－3
C．0或－ D．1或－3
解析：由題設(shè)可得a(a＋2)＝3，解得a＝1或a＝－3.當(dāng)a＝－3時(shí)兩直線重合，應(yīng)舍去，故選A.
答案：A
3．[2019·合肥調(diào)研]已知直線l：x＋y－5＝0與圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)相交所得的弦長(zhǎng)為2，則圓C的半徑r＝( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：解法一：依題意，圓C的圓心為(2,1)，圓心到直線的距離d＝＝，又弦長(zhǎng)為2，所以2＝2，所以r＝2，
8、故選B.
解法二：聯(lián)立得，整理得2x2－12x＋20－r2＝0，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝6，x1·x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝＝2，解得r＝2.
答案：B
4．[2019·河北九校聯(lián)考]圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為( )
A．x2＋y2－2x－3＝0
B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0
D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：由題意設(shè)所求圓的方程為(x－m)2＋y2＝4(m>0)，則＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圓的方程為(x－2)2＋
9、y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故選C.
答案：C
5．[2019·廣州調(diào)研]若點(diǎn)P(1,1)為圓C：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線的方程為( )
A．2x＋y－3＝0
B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0
D．2x－y－1＝0
解析：由圓的方程易知圓心C的坐標(biāo)為(3,0)，又P(1,1)，所以kPC＝＝－.易知MN⊥PC，所以kMN·kPC＝－1，所以kMN＝2.根據(jù)弦MN所在的直線經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)得所求直線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故選D.
答案：D
6．[2019·湖北重點(diǎn)中學(xué)]已知兩點(diǎn)A(a,0)，B(－a,0)
10、(a>0)，若圓(x－)2＋(y－1)2＝1上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A．(0,3] B．[1,3]
C．[2,3] D．[1,2]
解析：以AB為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，則由題意知圓(x－)2＋(y－1)2＝1與圓x2＋y2＝a2有公共點(diǎn)，則|a－1|≤≤a＋1，解得1≤a≤3，故選B.
答案：B
7．[2019·江蘇卷]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線y＝x＋(x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x＋y＝0的距離的最小值是________．
解析：通解：設(shè)P，x>0，則點(diǎn)P到直線x＋y＝0的距離d＝＝≥＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝，即x
11、＝時(shí)取等號(hào)，故點(diǎn)P到直線x＋y＝0的距離的最小值是4.
優(yōu)解：由y＝x＋(x>0)得y′＝1－，令1－＝－1，得x＝，則當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，3)時(shí)，點(diǎn)P到直線x＋y＝0的距離最小，最小值為＝4.
答案：4
8．[2019·唐山摸底]已知直線l：kx－y－k＋2＝0與圓C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為________．
解析：直線l的方程為y－2＝k(x－1)，經(jīng)過定點(diǎn)P(1,2)，由已知可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝8，可知圓心C(0,1)，半徑r＝2，由圓的性質(zhì)可知當(dāng)直線l與CP垂直時(shí)弦長(zhǎng)最小，因?yàn)閨CP|＝＝，故|AB|min＝2＝2.
12、答案：2
9．[2019·廣東六校聯(lián)考]已知點(diǎn)P(－1,2)及圓(x－3)2＋(y－4)2＝4，一光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)x軸上一點(diǎn)Q反射后與圓相切于點(diǎn)T，則|PQ|＋|QT|的值為________．
解析：點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－1，－2)，如圖，連接PP′，P′Q，由對(duì)稱性可知，P′Q與圓相切于點(diǎn)T，則|PQ|＋|QT|＝|P′T|.圓(x－3)2＋(y－4)2＝4的圓心為A(3,4)，半徑r＝2，連接AP′，AT，則|AP′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT|＝r＝2，所以|PQ|＋|QT|＝|P′T|＝＝4.
答案：4
10．[2019·浙江卷]已知圓C的圓
13、心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長(zhǎng)是r.若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點(diǎn)A(－2，－1)，則m＝________，r＝________.
解析：解法一：設(shè)過點(diǎn)A(－2，－1)且與直線2x－y＋3＝0垂直的直線方程為l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，則r＝＝.
解法二：因?yàn)橹本€2x－y＋3＝0與以點(diǎn)(0，m)為圓心的圓相切，且切點(diǎn)為A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.
答案：－2
調(diào)研二 橢圓、雙曲線
■備考工具——————————————
一、定義
1．橢圓的定義
(1)定義：在平面內(nèi)到兩定
14、點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫橢圓．這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．
(2)集合語(yǔ)言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c為常數(shù)．
(3)當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，軌跡為線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，軌跡不存在．
2．雙曲線的定義及理解
(1)定義：平面上到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值為非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距．
(2)符號(hào)語(yǔ)言：|
15、|MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)當(dāng)|MF1|－|MF2|＝2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支；當(dāng)|MF1|－|MF2|＝－2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，軌跡為分別以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在．
二、方程和性質(zhì)
1．橢圓的方程與性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
16、；B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系
a2＝b2＋c2
2.雙曲線的方程與性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≥a或y≤－a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
實(shí)軸：線段A1A
17、2，虛軸：B1B2
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2
漸近線
y＝±x
y＝±x
三、離心率e的作用
(1)橢圓：e越大，圖形越扁．
(2)雙曲線：e越大，開口越?。?
四、常見結(jié)論
1．橢圓
(1)橢圓的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)長(zhǎng)為，通徑是最短的焦點(diǎn)弦．
(2)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的焦點(diǎn)，則|PF|∈[a－c，a＋c]，即橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為a＋c，最小值為a－c.
(3)橢圓的焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點(diǎn)三角形．
如圖所示，設(shè)∠F1P
18、F2＝θ.
①當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大．
②＝|PF1|·|PF2|·sinθ＝b2·＝b2tan＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，取最大值，最大值為bc.
③焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c)．
(4)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，AB是過F1的弦，則|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a.
(5)AB為橢圓＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則
①弦長(zhǎng)l＝|x1－x2|＝|y1－y2|(其中k為直線AB的斜率)；
②直線AB的斜率kAB＝－.
2．雙曲線
(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距
19、離為b.
(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)，其長(zhǎng)為；異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為2a.
(4)若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則S△PF1F2＝，其中θ＝∠F1PF2.
(5)若P是雙曲線－＝1(a>0，b>0)右支上不同于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I為△PF1F2內(nèi)切圓的圓心，則圓心I的橫坐標(biāo)為定值a.
(6)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)
20、，AB是過F1的弦，則|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a.
(7)AB為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)．則
①弦長(zhǎng)l＝|x1－x2|＝|y1－y2|(其中k為直線AB的斜率)；
②直線AB的斜率kAB＝.
五、特殊曲線
1．等軸雙曲線
(1)定義：中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫作等軸雙曲線．
(2)性質(zhì)：①a＝b；②e＝；③漸近線互相垂直；④等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng)．
2．共軛雙曲線
(1)定義：如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛
21、軸和實(shí)軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線．
(2)性質(zhì)：①它們有共同的漸近線；②它們的四個(gè)焦點(diǎn)共圓；③它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.
六、求橢圓、雙曲線離心率的方法
(1)定義法：直接求出a，c的值來解e，通過已知條件列方程，解出a，c的值．
(2)解方程法：由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解．
(3)通過特殊值或特殊位置求離心率．此方法多用于選擇題和填空題．
(4)求離心率的最值(或范圍)，往往借助圖形的性質(zhì)、曲線的范圍、正余弦函數(shù)的有界性、基本不等式等來構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式，從而達(dá)到求解的目的．
■自測(cè)自評(píng)———————
22、———————
1．[2019·北京卷]已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，則( )
A．a(chǎn)2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a(chǎn)＝2b D．3a＝4b
解析：由題意得，＝，∴＝，又a2＝b2＋c2，
∴＝，＝，∴4b2＝3a2.故選B.
答案：B
2．[2019·全國(guó)卷Ⅲ]雙曲線C：－＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為( )
A. B.
C．2 D．3
解析：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，根據(jù)題意可知c2＝6，所以|OF|＝.又tan∠POF＝＝，所以等腰三角形POF的高h(yuǎn)＝×＝，所以S△PFO＝××＝
23、.
答案：A
3．[2018·全國(guó)卷Ⅰ]已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝( )
A. B．3
C．2 D．4
解析：因?yàn)殡p曲線－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨設(shè)過點(diǎn)F的直線與直線y＝x交于點(diǎn)M，由△OMN為直角三角形，不妨設(shè)∠OMN＝90°，則∠MFO＝60°，又直線MN過點(diǎn)F(2,0)，所以直線MN的方程為
y＝－(x－2)，
由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3.
答案：B
4．[2019·洛陽(yáng)統(tǒng)考]已知雙曲線－＝1(
24、a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(2，)在雙曲線上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則該雙曲線的方程為( )
A．x2－y2＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
解析：通解：∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，
∴|PF1|＋|PF2|＝4c，∵點(diǎn)P位于第一象限，
∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a，∴cos∠PF2F1＝＝，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，)，∴sin∠PF2F1＝，∴2＋＝1，化簡(jiǎn)得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，c2－a2＝b2＝1，又－＝1，∴a2＝1，∴雙曲線的方程
25、為x2－y2＝1，故選A.
優(yōu)解：|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，∴|PF1|＋|PF2|＝4c，∵點(diǎn)P位于第一象限，∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a，
∴cos∠PF2F1＝＝，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，)，∴sin∠PF2F1＝，∴2＋＝1，化簡(jiǎn)得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，c2－a2＝b2＝1，此時(shí)可以排除選項(xiàng)B，C，D，故選A.
答案：A
5．[2019·石家莊一模]已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，點(diǎn)F為左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為下頂點(diǎn)，平行于FP的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M，則橢圓的離心率為( )
A. B.
26、
C. D.
解析：∵FP的斜率為－，F(xiàn)P∥l，∴直線l的斜率為－.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得－＝－，即＝－.∵AB的中點(diǎn)為M，∴－＝－，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc，
∴b＝c，∴a＝c，∴橢圓的離心率為，故選B.
答案：B
6．[2019·鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)二]已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線上存在點(diǎn)P使＝，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是( )
A.
B．(1,2)∪
C.
D．(1,2)∪
解析：通解：因?yàn)椋?，所以點(diǎn)P不可能在雙曲線的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)處，
(1)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的右支上(不包括雙曲線的右頂點(diǎn))
27、時(shí)，
根據(jù)雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝2a，
因?yàn)椋剑?
所以由正弦定理得＝，
解得|PF1|＝，|PF2|＝，
所以c－2a＞0，所以e＞2.
在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，即＋＞2c，整理得2a2＋3ac－c2＞0，所以e2－3e－2＜0，解得＜e＜.綜上，2＜e＜.
(2)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上(不包括雙曲線的左頂點(diǎn))時(shí)，
根據(jù)雙曲線的定義，得|PF1|－|PF2|＝－2a，
因?yàn)椋剑?
所以由正弦定理得＝，
解得|PF1|＝，|PF2|＝，
所以2a－c＞0，所以e＜2.
在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|
28、，即＋＞2c，整理得2a2－ac＋c2＞0，所以e2－e＋2＞0，又2＋＞0恒成立，由e＞1，所以1＜e＜2.
綜上所述，該雙曲線的離心率e的取值范圍為(1,2)∪.
優(yōu)解：因?yàn)椋?，所以點(diǎn)P不可能在雙曲線的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)處，
(1)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的右支上(不包括雙曲線的右頂點(diǎn))時(shí)，
e＝＝2×＝2×＝2×＝2＞2，
因?yàn)閨PF2|＞c－a，所以e＜2＝2，所以e2－3e－2＜0，解得＜e＜，所以2＜e＜.
(2)當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上(不包括雙曲線的左頂點(diǎn))時(shí)，
e＝＝2×＝2×＝2×＝2＜2，因?yàn)閨PF2|＞a＋c，所以e＞2＝2，所以e2－e＋2＞0，又2＋＞0恒成立，e＞1
29、，所以1＜e＜2.
綜上所述，該雙曲線的離心率e的取值范圍為(1,2)∪.
答案：D
7．[2019·江蘇卷]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x2－＝1(b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，則該雙曲線的漸近線方程是________．
解析：因?yàn)殡p曲線x2－＝1(b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，所以9－＝1，得b＝，所以該雙曲線的漸近線方程是y＝±bx＝±x.
答案：y＝±x
8．[2019·全國(guó)卷Ⅲ]設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為________．
解析：不妨令F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，根據(jù)題意可知c＝＝4.
30、因?yàn)椤鱉F1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.設(shè)M(x，y)，
則得
所以M的坐標(biāo)為(3，)．
答案：(3，)
9．[2019·全國(guó)卷Ⅰ]已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若＝，·＝0，則C的離心率為__________．
解析：通解：因?yàn)椤ぃ?，所以F1B⊥F2B，如圖.
所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，
所以∠BOF2＝2∠BF1O.
因?yàn)椋?，所以點(diǎn)A為F1B的中點(diǎn)，又點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥BF2，所以F1B⊥OA
31、，因?yàn)橹本€OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan∠BF1O＝，tan∠BOF2＝.因?yàn)閠an∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以雙曲線的離心率e＝＝2.
優(yōu)解：因?yàn)椤ぃ?，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，所以A為F1B的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2為等邊三角形．由F2(c,0)可得B，因?yàn)辄c(diǎn)B在直線y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2.
答案：2
10．[2019·浙江卷]已知橢圓＋＝1的
32、左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是________．
解析：通解：依題意，設(shè)點(diǎn)P(m，n)(n>0)，由題意知F(－2,0)，所以線段FP的中點(diǎn)M在圓x2＋y2＝4上，所以2＋2＝4，又點(diǎn)P(m，n)在橢圓＋＝1上，所以＋＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－或m＝(舍去)，n＝，所以kPF＝＝.
優(yōu)解：如圖，取PF的中點(diǎn)M，連接OM，由題意知|OM|＝|OF|＝2，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，連接PF1，在△PFF1中，OM為中位線，所以|PF1|＝4，由橢圓的定義知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝
33、2.因?yàn)镸為PF的中點(diǎn)，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，過O作OH⊥MF于點(diǎn)H，所以|OH|＝＝，所以kPF＝tan∠HFO＝＝.
答案：
調(diào)研三 拋物線
■備考工具——————————————
1．拋物線的定義
平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線．點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
2．拋物線定義的理解
拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．
3．拋物線
34、的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
圖形
頂點(diǎn)
(0,0)
對(duì)稱軸
x軸
y軸
焦點(diǎn)
F
F
F
F
準(zhǔn)線
x＝－
x＝
y＝－
y＝
4.拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)
焦點(diǎn)弦：線段AB為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)x1x2＝；
(2)y1y2＝－p2；
(3)焦半徑|AF|＝x1＋；
(4)弦長(zhǎng)l＝x1＋x2＋p.當(dāng)弦AB⊥x軸時(shí)，弦長(zhǎng)最短為2p，此時(shí)的弦又叫通徑；
(5)弦長(zhǎng)l＝
35、(θ為AB的傾斜角)．
5．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程．
即消去y得ax2＋bx＋c＝0.
(1)當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則Δ>0?直線與圓錐曲線C相交；
Δ＝0?直線與圓錐曲線C相切；
Δ<0?直線與圓錐曲線C相離．
(2)當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，得到一個(gè)一元一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是
36、平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行或重合．
6．重要結(jié)論
(1)以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；以焦半徑為直徑的圓與y軸相切(開口向右或向左)．
(2)過拋物線焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)作拋物線的兩條切線，則切線互相垂直，且交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上．
■自測(cè)自評(píng)——————————————
1．[2019·安徽五校質(zhì)檢二]已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，且|PF|＝，則p＝( )
A. B.
C. D．1
解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－，因?yàn)镻在拋物線上，所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d＝＋＝|PF|＝，則p＝，故選B.
答案：B
37、
2．[2019·全國(guó)卷Ⅱ]若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)是橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，所以＝，解得p＝8，故選D.
答案：D
3．[2019·天津卷]已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|＝4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為( )
A. B.
C．2 D.
解析：由題意，可得F(1,0)，直線l的方程為x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±x.將x＝－1代入y＝±x，得y＝±
38、，所以點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均為.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故雙曲線的離心率e＝＝＝.
答案：D
4．[2019·江西五校聯(lián)考]過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)M，若|MN|＝|AB|，則直線l的傾斜角為( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析：分別過A，B，N作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，B′，N′，由拋物線的定義知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因?yàn)閨MN
39、|＝|AB|，所以|NN′|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°，故選B.
答案：B
5．[2019·廣東六校聯(lián)考]拋物線y＝2x2上有一動(dòng)弦AB，中點(diǎn)為M，且弦AB的長(zhǎng)為3，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最小值為( )
A. B.
C. D．1
解析：通解：由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直線AB的方程為y＝kx＋b.由題意知y0≥b>0.聯(lián)立得整理得2x2－kx－b＝0，Δ＝k2＋8b>0，x1＋x2＝，x1x2＝－，則|AB|＝，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y0＝＝x＋x＝＋
40、b.因?yàn)橄褹B的長(zhǎng)為3，所以＝3，即(1＋k2)＝9，故(1＋4y0－4b)(y0＋b)＝9，即(1＋4y0－4b)(4y0＋4b)＝36.由基本不等式得，(1＋4y0－4b)＋(4y0＋4b)≥2＝12，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即1＋8y0≥12，y0≥，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最小值為.故選A.
優(yōu)解：由題意得，焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線y＝－.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則y0＝(y1＋y2)＝＝(|AF|＋|BF|)－≥|AB|－＝.(當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào))．
答案：A
6．[2019·安徽示范高中聯(lián)考]設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|M
41、F|＝5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( )
A．4或8 B．2或4
C．2或8 D．4或16
解析：拋物線C的方程為y2＝2px(p>0)，
∴F，準(zhǔn)線方程為x＝－.如圖，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，則|KF|＝p.過M作MP平行于x軸交準(zhǔn)線于P，則|MP|＝|MF|＝5.取MF的中點(diǎn)為N，過N作NQ平行于x軸交準(zhǔn)線于Q，交y軸于A，則|NQ|＝＝＋，|AN|＝|NQ|－＝＝，∴以MF為直徑的圓與y軸相切，A為切點(diǎn)，即A(0,2)，
∴N，故M，∴16＝2p，p2－10p＋16＝0，∴p＝2或p＝8，故選C.
答案：C
7．[2019·湖南四校調(diào)
42、研]已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝( )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：通解：如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線l：x＝－2與x軸交于點(diǎn)F′，作MB⊥l于點(diǎn)B，NA⊥l于點(diǎn)A，則|AN|＝2，|FF′|＝4.在直角梯形ANFF′中，由中位線定理，知|BM|＝＝3.由拋物線的定義，知|MF|＝|MB|＝3，結(jié)合題意，有|MN|＝|MF|＝3，所以|FN|＝|FM|＋|MN|＝6，故選B.
優(yōu)解：設(shè)N(0，a)，由題意知F(2,0)，則M，因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以＝8，解得a＝±4，所以N
43、(0，±4)，所以|FN|＝＝6，故選B.
答案：B
8．[2019·山西第一次聯(lián)考]已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與該拋物線交于P，Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，P，Q兩點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為M，N，若|MN|＝4，|NF|＝4，則p＝( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：通解：易得拋物線的準(zhǔn)線l：x＝－.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由題意可得F，M，N，故|MF|2＝2＋(y1－0)2＝p2＋y，即(4)2＝p2＋y，即y＝48－p2.|NF|2＝2＋(y2－0)2＝p2＋y，即42＝p2＋y，即y＝16－p2.又直線PQ過焦點(diǎn)F，所以y1y
44、2＝－p2，所以(y1y2)2＝(－p2)2，即yp＝(48－p2)(16－p2)＝p4，整理得p2＝12，所以p＝2.
優(yōu)解：根據(jù)題意，得拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，F(xiàn)，設(shè)直線PQ的方程為x＝ty＋，與拋物線方程y2＝2px聯(lián)立，得y2－2pty－p2＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y2＝－p2，設(shè)MN與x軸的交點(diǎn)為H，則由題意可得M，N，＝(p，－y1)，＝(p，－y2)，·＝p2＋y1y2＝0，故MF⊥NF，所以|MN|＝＝8，所以由等面積法可得p＝|FH|＝＝＝2.
答案：C
9．[2019·惠州調(diào)研]設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(2,0)的直線與拋物線交于
45、A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)C，若＝，則|AF|＝( )
A. B．4
C．3 D．2
解析：設(shè)過點(diǎn)(2,0)的直線的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程代入拋物線方程得，k2x2－4(1＋k2)x＋4k2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1·x2＝4?、?分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線AA1，BB1，垂足分別為點(diǎn)A1，B1，則＝＝＝＝，即5x1－2x2＋3＝0?、?，由①②得x1＝1或x1＝－(舍去)，∴|AF|＝x1＋1＝2，故選D.
答案：D
10．[2019·山西八校聯(lián)考]已知A是拋物線y2＝－4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上的射影是點(diǎn)C，B是圓
46、D：(x－3)2＋(y－2)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則|AB|＋|AC|的最小值是________．
解析：圓D：(x－3)2＋(y－2)2＝1的圓心為D(3,2)，半徑r＝1.拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(－1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝1.如圖，設(shè)點(diǎn)A在拋物線準(zhǔn)線上的射影為點(diǎn)H，則|AB|＋|AC|＝|AB|＋|AH|－1.連接AF，由拋物線的定義可知|AH|＝|AF|，∴|AB|＋|AC|＝|AB|＋|AF|－1.易知D，B，A，F(xiàn)四點(diǎn)共線時(shí)，|AB|＋|AF|取得最小值，連接DF，則(|AB|＋|AF|)min＝|DF|－r＝－1＝2－1，∴(|AB|＋|AC|)min＝2－2.
答案：2－2
21
（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 講重點(diǎn) 選填題專練 第9講 解析幾何教學(xué)案 理
