《(新課標)2021版高考數學一輪總復習 第六章 數列 第31講 數列的概念與通項公式導學案 新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《(新課標)2021版高考數學一輪總復習 第六章 數列 第31講 數列的概念與通項公式導學案 新人教A版(9頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、第6章 數 列
[知識體系p85]
第31講 數列的概念與通項公式
【課程要求】
1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).
2.了解數列是自變量為正整數的一類函數.
3.會利用已知數列的通項公式或遞推關系式求數列的某項.
4.會用數列的遞推關系求其通項公式.
對應學生用書p85
【基礎檢測】
1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)相同的一組數按不同順序排列時都表示同一個數列.( )
(2)所有數列的第n項都能使用公式表達.( )
(3)根據數列的前幾項歸納出數
2、列的通項公式可能不止一個.( )
(4)1,1,1,1,…,不能構成一個數列.( )
(5)任何一個數列不是遞增數列,就是遞減數列.( )
(6)如果數列{an}的前n項和為Sn,則對?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√
2.[必修5p33A組T4]在數列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),則a5等于( )
A.B.C.D.
[解析]a2=1+=2,a3=1+=,
a4=1+=3,a5=1+=.
[答案]D
3.[必修5p33A組T5]根據下面的圖形及相應的點數,寫出點數
3、構成的數列的一個通項公式an=________.
[答案]5n-4
4.數列{an}中,an=-n2+11n(n∈N*),則此數列最大項的值是________.
[解析]an=-n2+11n=-+,
∵n∈N*,∴當n=5或n=6時,an取最大值30.
[答案]30
5.已知an=n2-λn,且對于任意的n∈N*,數列{an}是遞增數列,則實數λ的取值范圍是________.
[解析]因為{an}是遞增數列,所以對任意的n∈N*,都有an+1>an,即(n+1)2-λ(n+1)>n2-λn,整理,
得2n+1-λ>0,即λ<(2n+1).(*)
因為n≥1,所以2n+
4、1≥3,要使不等式(*)恒成立,只需λ<3.
[答案] (-∞,3)
6.已知數列{an}的前n項和Sn=n2+1,則an=________.
[解析]當n=1時,a1=S1=2,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,
故an=
[答案]
【知識要點】
1.數列的有關概念
概念
含義
數列
按照一定順序排列的一列數
數列的項
數列中的每一個數
數列的通項
數列{an}的第n項an
通項公式
如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個數列的通項公式
前n項和
數列{an}中,
5、Sn=a1+a2+…+an叫做數列的前n項和
2.數列的表示方法
列表法
列表格表示n與an的對應關系
圖象法
把點(n,an)畫在平面直角坐標系中
公式法
通項
公式
把數列的通項使用公式表示的方法
遞推
公式
使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表示數列的方法
3.an與Sn的關系
若數列{an}的前n項和為Sn,
則an=
4.數列的分類
單調性
遞增數列
?n∈N*,an+1>an
遞減數列
?n∈N*,an+1
6、an+1=an
擺動數列
從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數列
周期性
周期數列
?n∈N*,存在正整數常數k,an+k=an
對應學生用書p86
由數列的前幾項求數列的通項公式
例1 根據數列的前幾項,寫出各數列的一個通項公式:
(1)4,6,8,10,…;
(2)-,,-,,…;
(3)a,b,a,b,a,b,…(其中a,b為實數);
(4)9,99,999,9999,….
[解析] (1)該數列中各數都是偶數,且最小為4,所以它的一個通項公式為an=2(n+1),n∈N*.
(2)這個數列的前4項的絕對值都等于序號與序號
7、加1的積的倒數,且奇數項為負,偶數項為正,所以它的一個通項公式為an=(-1)n×,n∈N*.
(3)這是一個擺動數列,奇數項是a,偶數項是b,所以此數列的一個通項公式為an=
(4)這個數列的前4項可以寫成10-1,100-1,1000-1,10000-1,所以它的一個通項公式為an=10n-1,n∈N*.
[小結]由數列的前幾項求數列通項公式的策略
(1)根據所給數列的前幾項求其通項公式時,需仔細觀察分析,抓住以下幾方面的特征,并對此進行歸納、聯(lián)想,具體如下:
①分式中分子、分母的特征;
②相鄰項的變化特征;
③拆項后的特征;
④各項符號特征等.
(2)根據數列的前幾項寫
8、出數列的一個通項公式是利用不完全歸納法,它蘊含著“從特殊到一般”的思想,由不完全歸納得出的結果是不可靠的,要注意代值檢驗,對于正負符號變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調整.
1.已知數列:2,0,2,0,2,0,…前六項不適合下列哪個通項公式( )
A.an=1+(-1)n+1B.an=2
C.an=1-(-1)nD.an=2sin
[解析]對于選項A,an=1+(-1)n+1取前六項得2,0,2,0,2,0滿足條件;對于選項B,an=2|sin|取前六項得2,0,2,0,2,0滿足條件;對于選項C,an=1-(-1)n取前六項得2,0,2,0,2,0滿足條件;對于選項D,
9、an=2sin取前六項得2,0,-2,0,2,0不滿足條件.
[答案]D
由遞推公式求通項公式
例2 數列{an}分別滿足下列條件,求數列{an}的通項公式:
(1)a1=1,an=an-1(n≥2,n∈N*);
(2)a1=1,an+1-an=n+1(n∈N*);
(3)a1=1,an+1=3an+2(n∈N*);
(4)a1=1,an+1=(n∈N*).
[解析] (1)∵an=an-1(n≥2),
∴an-1=an-2,…,a2=a1.
以上(n-1)個式子相乘得
an=a1···…·==.
當n=1時,a1=1,上式也成立.∴an=(n∈N*).
(2)由題意
10、有a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2).
以上各式相加,得an-a1=2+3+…+n==.
又∵a1=1,∴an=(n≥2).
∵當n=1時也滿足此式,∴an=(n∈N*).
(3)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),
∴=3,∴數列{an+1}為等比數列,公比q=3.
又a1+1=2,∴an+1=2·3n-1,∵當n=1時也滿足此式.
∴an=2·3n-1-1(n∈N*).
(4)∵an+1=,a1=1,∴an≠0,
∴=+,即-=,又a1=1,則=1,
∴是以1為首項,為公差的等差數列.
∴=+(n-1)×=+,
∴a
11、n=(n∈N*).
[小結]已知數列的遞推關系,求數列的通項時,通常用累加、累乘、構造法求解.當出現(xiàn)an=an-1+f(n)時,用累加法求解;當出現(xiàn)=f(n)時,用累乘法求解;當出現(xiàn)an=xan-1+y時,構造等比數列求解;當出現(xiàn)an+1=時,構造等差數列求解.
2.若數列分別滿足下列條件,求數列的通項公式:
(1)a1=1,an=an-1(n≥2,n∈N*);
(2)a1=2019,an+1=3an+2;
(3)a1=2,an+1=.
[解析] (1)因為an=an-1(n≥2),
所以an-1=an-2,an-2=an-3,…,a2=a1.
以上(n-1)個式子相乘得
12、
an=a1···…·=na1=n,
當n=1時,a1=1,上式也成立.
所以an=n.
(2)由an+1=3an+2得:an+1+1=3,
∴數列是以a1+1=2020為首項,3為公比的等比數列.
∴an+1=2020×3n-1,∴an=2020×3n-1-1.
(3)∵an+1=,∴=,即-=2,
數列是首項為,公差為2的等差數列,
∴=+×2=,即an=.
an與Sn關系的應用
例3 (1)設數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2(an-1)(n∈N*),則an=( )
A.2nB.2n-1C.2nD.2n-1
[解析]當n=1時,a1=S1=2(a1-1
13、),可得a1=2,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴an=2an-1,∴數列{an}是首項為2,公比為2的等比數列,所以an=2n.
[答案]C
(2)設Sn是數列{an}的前n項和,且Sn≠0,a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=________.
[解析]∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,
∴Sn+1-Sn=SnSn+1.
∵Sn≠0,∴-=1,即-=-1.
又==-1,∴是首項為-1,公差為-1的等差數列.
∴=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-.
[答案]-
[小結](1)Sn與an關系問題的求解思路
根據所
14、求結果的不同要求,將問題向不同的兩個方向轉化.
①利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉化為只含an,an-1的關系式,再求解.
②利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉化為只含Sn,Sn-1的關系式,再求解.
(2)應用公式an=求數列通項公式時應注意驗證a1是否符合一般規(guī)律.
3.在數列{an}中,an>0,且前n項和Sn滿足4Sn=(an+1)2(n∈N*),則數列{an}的通項公式為________.
[解析]當n=1時,4S1=(a1+1)2,解得a1=1;
當n≥2時,由4Sn=(an+1)2=a+2an+1,
得4Sn-1=a+2an-1+1,
兩式相減得4Sn-
15、4Sn-1=a-a+2an-2an-1=4an,
整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
因為an>0,所以an-an-1-2=0,即an-an-1=2,
又a1=1,故數列{an}是首項為1,公差為2的等差數列,
所以an=1+2(n-1)=2n-1.
[答案]an=2n-1
對應學生用書p87
(2018·全國卷Ⅰ理)記Sn為數列{an}的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=__________.
[解析]法一:因為Sn=2an+1,所以當n=1時,a1=2a1+1,解得a1=-1;
當n=2時,a1+a2=2a2+1,解得a2=-2;
當n=3
16、時,a1+a2+a3=2a3+1,解得a3=-4;
當n=4時,a1+a2+a3+a4=2a4+1,解得a4=-8;
當n=5時,a1+a2+a3+a4+a5=2a5+1,解得a5=-16;
當n=6時,a1+a2+a3+a4+a5+a6=2a6+1,解得a6=-32.
所以S6=-1-2-4-8-16-32=-63.
法二:因為Sn=2an+1,所以當n=1時,a1=2a1+1,解得a1=-1,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),所以an=2an-1,所以數列{an}是以-1為首項,2為公比的等比數列,所以an=-2n-1,所以S6==-63.
[答案]-63
9