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(新課標(biāo))2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第32講 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

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1、第32講 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 【課程要求】 1.掌握等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等. 2.掌握等差數(shù)列的判斷方法. 3.掌握等差數(shù)列求和的方法. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p87 【基礎(chǔ)檢測(cè)】                     1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.(  ) (2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.(  ) (3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).(  ) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*,都有

2、2an+1=an+an+2.(  ) (5)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列.(  ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ 2.[必修5p46A組T2]設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若a6=2且S5=30,則S8等于(  ) A.31B.32C.33D.34 [解析]由已知可得解得 ∴S8=8a1+d=32. [答案]B 3.[必修5p39T5]在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,則a1+a9=________. [解析]由等差數(shù)列的性質(zhì),得a3+a

3、4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,∴a1+a9=2a5=180. [答案]180 4.一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,從第10項(xiàng)起開始比1大,則這個(gè)等差數(shù)列的公差d的取值范圍是(  ) A.d>B.d< C.0,a7+a10<0,則當(dāng)n=________時(shí),{an}的前n項(xiàng)和最大. [解析]因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0.故當(dāng)n=8時(shí),其前n項(xiàng)和最大. [答案

4、]8 6.在數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),則該數(shù)列的通項(xiàng)為(  ) A.a(chǎn)n=B.a(chǎn)n= C.a(chǎn)n=D.a(chǎn)n= [解析]由=+可得-=-,知是首項(xiàng)為=1,公差為-=2-1=1的等差數(shù)列,所以=n,即an=. [答案]A 【知識(shí)要點(diǎn)】 1.等差數(shù)列的定義 一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母__d__表示. 2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,那么它的通項(xiàng)公式是an=a1+(n-1)d(n∈N*). 3.等差中項(xiàng)

5、如果A=,那么A叫做a與b的等差中項(xiàng). 4.等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣:an=ak+(n-k)d(n,k∈N*). (2)若{an}為等差數(shù)列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq. (3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則an,an+m,an+2m,…(n,m∈N*)是公差為__md__的等差數(shù)列. (4)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差數(shù)列. 5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,其前n項(xiàng)和Sn=或Sn=na1+d(n∈N*). 6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn=n2+n(n∈N

6、*). 數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn(A、B為常數(shù),n∈N*). 7.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值 在等差數(shù)列{an}中,若a1>0,d<0,則Sn存在最__大__值;若a1<0,d>0,則Sn存在最__小__值. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p88 等差數(shù)列基本量的計(jì)算 例1 (1)(2017·全國(guó)卷Ⅰ理)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為(  )                    A.1B.2C.4D.8 [解析]設(shè){an}的公差為d, 由得 解得d=4.故選C. [答案]C (2)已知等差數(shù)列共有10項(xiàng),

7、其中奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差是(  ) A.5B.4C.3D.2 [解析]寫出數(shù)列的第1、3、5、7、9項(xiàng)的和,寫出數(shù)列的第2、4、6、8、10項(xiàng)的和,都用首項(xiàng)和公差表示,兩式相減,得到結(jié)果.由此得解得d=3. [答案]C [小結(jié)]等差數(shù)列運(yùn)算問題的通性通法 (1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解. (2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a1,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了用方程的思想解決問題. 1.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,a7-a5

8、=4,a11=21,Sk=9,則k=________. [解析]a7-a5=2d=4,d=2,a1=a11-10d=21-20=1, Sk=k+×2=k2=9.又k∈N*,故k=3. [答案]3 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 例2 (1)在等差數(shù)列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S11=(  )                    A.18B.99C.198D.297 [解析]因?yàn)閍3+a9=27-a6,2a6=a3+a9,所以3a6=27,所以a6=9,所以S11=(a1+a11)=11a6=99. [答案]B (2)已知{an}為等差

9、數(shù)列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,則a19+a20+a21=________. [解析]法一:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則a7+a8+a9=a1+6d+a2+6d+a3+6d=5+18d=10,所以18d=5,故a19+a20+a21=a7+12d+a8+12d+a9+12d=10+36d=20. 法二:由等差數(shù)列的性質(zhì),可知S3,S6-S3,S9-S6,…,S21-S18成等差數(shù)列,設(shè)此數(shù)列公差為D.所以5+2D=10,所以D=.所以a19+a20+a21=S21-S18=5+6D=5+15=20. [答案]20 (3)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1

10、=-2017,-=6,則S2021=________. [解析]由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列. 設(shè)其公差為d,則-=6d=6,∴d=1. 故=+2020d=-2017+2020=3, ∴S2021=3×2021=6063. [答案]6063 [小結(jié)]等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)項(xiàng)的性質(zhì):在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq. (2)和的性質(zhì):在等差數(shù)列{an}中,Sn為其前n項(xiàng)和,則 ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1); ②S2n-1=(2n-1)an. 2.已知{an},{bn}都是等差數(shù)列,

11、若a1+b10=9,a3+b8=15,則a5+b6=________. [解析]因?yàn)閧an},{bn}都是等差數(shù)列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即2×15=9+(a5+b6),解得a5+b6=21. [答案]21 3.等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,若=,則等于(  ) A.B.C.D. [解析]======. [答案]A 等差數(shù)列的判定與證明 例3 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=. (1)求證:是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}

12、的通項(xiàng)公式. [解析] (1)當(dāng)n≥2時(shí),由an+2SnSn-1=0, 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,∴-=2, 又==2, 故是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列. (2)由(1)可得=2n,∴Sn=. 當(dāng)n≥2時(shí), an=Sn-Sn-1=-= =-. 當(dāng)n=1時(shí),a1=不適合上式. 故an= [小結(jié)]等差數(shù)列的判定與證明方法 (1)定義法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an+1-an等于同一個(gè)常數(shù). (2)等差中項(xiàng)法:證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2. (3)通項(xiàng)公式法:得出an=pn+q后,再根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式法

13、:得出Sn=An2+Bn后,再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列. 4.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n. (1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. [解析] (1)由已知nan+1-(n+1)an=2n2+2n, 得=2,即-=2, 所以數(shù)列是首項(xiàng)=1,公差d=2的等差數(shù)列. (2)由(1)知=1+2(n-1)=2n-1, 所以an=2n2-n. 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題 例4 設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意n∈N*,Sn是a和an的等差中項(xiàng). (1)求證:數(shù)列{an}為等

14、差數(shù)列; (2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=(-1)n+1anan+1,且數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn,若Tn≥tn2,對(duì)n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)t取值范圍. [解析] (1)由已知可得2Sn=a+an,且an>0, 當(dāng)n=1時(shí),2a1=a+a1,解得a1=1. 當(dāng)n≥2時(shí),有2Sn-1=a+an-1, 所以2an=2Sn-2Sn-1=a-a+an-an-1, 所以a-a=an+an-1, 即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1, 因?yàn)閍n+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2). 故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列. (2)由(1)可知bn=n.

15、 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), Tn=b1+b2+b3+b4+…+bn-1+bn =×=-n(n+2)≥tn2, 即t≤-對(duì)任意偶數(shù)都成立, ∴t≤-1; 同理當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), Sn=-+=(n+1)2>0, 對(duì)t≤-1時(shí),Sn≥tn2恒成立, 綜上:t≤-1. [小結(jié)]等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn,可以從二次函數(shù)的角度求最值,對(duì)于含有(-1)n結(jié)構(gòu)的數(shù)列問題一般要進(jìn)行奇偶性討論. 5.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,前n項(xiàng)和為Sn,且S10=S15,求當(dāng)n取何值時(shí),Sn取得最大值,并求出它的最大值. [解析]∵a1=20,S10=S15, ∴10×20+d=15×2

16、0+d, ∴d=-. 法一:由an=20+(n-1)×=-n+, 得a13=0. 即當(dāng)n≤12時(shí),an>0,當(dāng)n≥14時(shí),an<0. ∴當(dāng)n=12或n=13時(shí),Sn取得最大值, 且最大值為S12=S13=12×20+×=130. 法二:Sn=20n+· =-n2+n =-+. ∵n∈N*,∴當(dāng)n=12或n=13時(shí),Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130. 法三:由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即a13=0. ∴當(dāng)n=12或n=13時(shí),Sn有最大值,且最大值為S12=S13==130. 對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p89

17、 1.(2019·全國(guó)卷Ⅰ理)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S4=0,a5=5,則(  )                    A.a(chǎn)n=2n-5B.a(chǎn)n=3n-10 C.Sn=2n2-8nD.Sn=n2-2n [解析]由題知,解得 ∴an=2n-5,Sn=n2-4n,故選A. [答案]A 2.(2019·全國(guó)卷Ⅲ理)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1≠0,a2=3a1,則=__________. [解析]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 因?yàn)閍2=3a1,所以a1+d=3a1,即2a1=d, 所以===4. [答案]4 3.(2018·全國(guó)卷Ⅰ理)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=(  ) A.-12B.-10C.10D.12 [解析]法一:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵3S3=S2+S4, ∴3=2a1+d+4a1+d,解得d=-a1, ∵a1=2,∴d=-3,∴a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10. 法二:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵3S3=S2+S4,∴3S3=S3-a3+S3+a4,∴S3=a4-a3,∴3a1+d=d,∵a1=2,∴d=-3,∴a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10. [答案]B 10

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