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五年級上冊數(shù)學奧數(shù)專題系列-容斥原理 抽屜原理 滬教版(2015秋)(含答案)

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1、課程主題: 容斥原理+抽屜原理 學習目標 課前熱身: 在一些計數(shù)問題中,經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個數(shù)的計算。求兩個集合并集的元素的個數(shù),不能簡單地把兩個集合的元素個數(shù)相加,而要從兩個集合個數(shù)之和中減去重復計算的元素個數(shù),即減去交集的元素個數(shù),用式子可表示成: (其中符號“”讀作“并”,相當于中文“和”或者“或”的意思;符號“”讀作“交”,相當于中文“且"的意思。),則稱這一公式為包含與排除原理,簡稱容斥原理。 圖示如下: 表示小圓部分,表示大圓部分,表示大圓與小圓的公共部分,記為:,即陰影面積。 1、先包含—— 重疊部分計算了次,多加了次; 2、再排除—— 把

2、多加了次的重疊部分減去。 包含與排除原理告訴我們,要計算兩個集合的并集的元素的個數(shù),可分以下兩步進行: 第一步:分別計算集合的元素個數(shù),然后加起來,即先求(意思是把的一切元素都“包含”進來,加在一起); 第二步:從上面的和中減去交集的元素個數(shù),即減去(意思是“排除”了重復計算的元素個數(shù))。 類、類與類元素個數(shù)的總和類元素的個數(shù)類元素個數(shù)類元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)既是類又是類的元素個數(shù)同時是類、類、類的元素個數(shù)。   用符號表示為: 圖示如下: 圖中小圓表示的元素的個數(shù),中圓表示的元素的個數(shù),大圓表示的元素的個數(shù)。 1. 先包含—— 、、

3、重疊了次,多加了次。 2. 再排除—— 重疊部分重疊了次,但是在進行計算時都被減掉了。 3。再包含—— 最不利原則 所謂“最不利原則”是指完成某一項工作先從最不利的情況下考慮,然后研究任意情況下可能的結(jié)果。由此得到充分可靠的結(jié)論。 抽屜原理 又稱鴿巢原理或Dirichlet原理 抽屜原理有時也被稱為鴿籠原理,它由德國數(shù)學家狄利克雷首先明確提出來并用來證明一些數(shù)論中的問題,因此,也被稱為狄利克雷原則。抽屜原理是組合數(shù)學中一個重要而又基本的數(shù)學原理,利用它可以解決許多有趣的問題,并且常常能夠起到令人驚奇的作用。許多看起來相當復雜,甚至無從下手的問題,在利用抽屜原理后,能很

4、快使問題得到解決。 第一抽屜原理: 一、將多于件的物品任意放到個抽屜中,那么至少有一個抽屜中的物品不少于件; 二、將多于件的物品任意放到個抽屜中,那么至少有一個抽屜中的物品不少于件。 第二抽屜原理: 一、將少于件的物品任意放到個抽屜中,其中必有一個抽屜中沒有物體。 二、把個物體放入個抽屜,其中必有一個抽屜中至多有個物體。 平均值原理:如果個數(shù)的平均值為,那么其中至少有一個數(shù)不大于,也至少有一個不小于。 運用抽屜原理求解的較為復雜的組合計算與證明問題.這里不僅“抽屜”與“蘋果”需要恰當?shù)卦O(shè)計與選取,而且有時還應構(gòu)造出達到最佳狀態(tài)的例子. 抽屜原理的解題方案 (一)、利

5、用公式進行解題 蘋果÷抽屜=商……余數(shù) 余數(shù):(1)余數(shù)=1, 結(jié)論:至少有(商+1)個蘋果在同一個抽屜里 (2)余數(shù)=, 結(jié)論:至少有(商+1)個蘋果在同一個抽屜里 (3)余數(shù)=0, 結(jié)論:至少有“商”個蘋果在同一個抽屜里 (二)、利用最值原理解題 將題目中沒有闡明的量進行極限討論,將復雜的題目變得非常簡單,也就是常說的極限思想“任我意”方法、特殊值方法. 知識精講: 兩者容斥: 【例 1】 兩張長厘米,寬厘米的長方形紙擺放成如圖形狀。把它放在桌面上,覆蓋面積有多少平方厘米?

6、【分析】被覆蓋面積=長方形面積之和重疊部分。 被覆蓋面積(平方厘米)。 【例 2】 一個長方形長厘米,寬厘米,另一個長方形長厘米,寬厘米,它們中間重疊的部分是一個邊長厘米的正方形,求這個組合圖形的面積。 【分析】組合圖形的面積=長方形面積之和重疊部分。 組合圖形的面積(平方厘米)。 【例 3】 某班組織象棋和軍棋比賽,參加象棋比賽的有人,參加軍棋比賽的有人,有人兩項比賽都參加了,這個班參加棋類比賽的共有多少人? 【分析】根據(jù)包含排除法直接得:(人)。 【例 4】 (第二屆小學迎春杯數(shù)學競賽)有位旅客,其中有人既不懂英語又不懂俄語,有 人懂英語,人懂俄語。問既懂英語又懂俄語

7、的有多少人? 【分析】(法)在人中懂英語或俄語的有:(人)。 又因為有人懂英語,所以只懂俄語的有:(人)。 從位懂俄語的旅客中除去只懂俄語的人,剩下的人就是既懂英語又懂俄語的旅客。 (法)在人中懂英語或俄語的有:(人) 學會把公式進行適當?shù)米儞Q,由包含與排除原理,得:(人) 【例 5】 五一小學一共六個年級,舉行各年級學生畫展,其中幅不是六年級的,幅不是五年級的?,F(xiàn)在知道五、六年級共展出幅畫,問:其它年級共展出多少幅畫? 【分析】(方法一)其中幅不是六年級的,則年級共展出幅, 幅不是五年級的,則年級與年級共展出幅, 五、六年級共展出幅畫, 令年級展出的共有幅,則,解得

8、,其它年級共展出幅畫。 (方法二)人。 【例 6】 在前個非零自然數(shù)中,能被或整除的數(shù)有多少個? 【分析】如圖所示,圓內(nèi)是前個自然數(shù)中所有能被整除的數(shù), 圓內(nèi)是前個自然數(shù)中所有能被整除的數(shù), 為前個自然數(shù)中既能被整除也能被整除的數(shù)。 前個自然數(shù)中能被整除的數(shù)有:(個)。 由知,前個自然數(shù)中能被整除的數(shù)有:個。 由知,前個自然數(shù)中既能被整除也能被整除的數(shù)有個。 所以中有個數(shù),中有個數(shù),中有個數(shù)。 因為,都包含,根據(jù)包含排除法得到,能被或整除的數(shù)有:(個)。 【例 7】 求這個自然數(shù)既不能被整除又不能被整除的自然數(shù)有多少個? 【分析】容斥原理。 因為,

9、所以在自然數(shù)中,能被整除的自然數(shù)有個; 因為,所以在自然數(shù)中,能被整除的自然數(shù)有個; 因為,所以在自然數(shù)中,既能被整除又能被整除的自然數(shù)有個; 由容斥原理,在自然數(shù)中,能被整除或能被整除的自然數(shù)有個; 在自然數(shù)中,既不能被整除又不能被整除的自然數(shù)有個。 三者容斥: 【例 8】 學而思組織棋類比賽,分成圍棋、中國象棋和國際象棋三個組進行,參加圍棋比賽的有人,參加中國象棋比賽的有人,參加國際象棋比賽的有人,同時參加了圍棋和中國象棋比賽的有人,同時參加了圍棋和國際象棋比賽的有人,同時參加了中國象棋和國際象棋比賽的有人,其中三種棋賽都參加的有人,問參加棋類比賽的共有多少人? 【分析】

10、根據(jù)公式:, 參加棋類比賽的總?cè)藬?shù)為:(人)。 【例 9】 有三個面積各為平方厘米的圓,兩兩重疊的面積分別為平方厘米、平方厘米、平方厘米,三個圓共同重疊的面積為平方厘米 (如圖)。三個圓共蓋住多大面積? 【分析】三個圓共蓋住面積:平方厘米 【例 10】 如圖,已知甲乙丙三個圓的面積都是,甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為,,,三個圓覆蓋的總面積為,求空白部分的面積. 【分析】由圖中關(guān)系可得:三個圓的公共部分面積應該為, 所以陰影部分面積為, 空白部分面積為。 【例 11】 在至的自然數(shù)中,不能被整除,又不能被整除,還不能被整除的數(shù)有多少個?,

11、 【分析】在至的自然數(shù)中,或能被整除,或能被整除,或能被整除的自然數(shù)的個數(shù)是 。 所以,在至的自然數(shù)中,不能被整除,又不能被整除,還不能被整除的數(shù)有 (個)。 【例 12】 有三個面積各為平方厘米的圓紙片放在桌面上。三個紙片共同重疊的面積是平方厘米,三個紙片蓋住桌面的總面積是平方厘米。問:圖中陰影部分的面積之和是多少? 【分析】設(shè)陰影部分為,則,解得。 或者平方厘米 至多與至少: 【例 13】 (第六屆“中環(huán)杯”五年級初賽)甲、乙、丙三人澆花,甲澆了盆,乙澆了盆,丙澆了盆。已知共有花盆,則三人都澆了的花至少有多少盆? 【分析】甲乙丙一共澆花次

12、若要三人都澆的花盡可能的少,那么每盆花澆次 三人都澆的花至少有盆 【例 14】 一個班有若干個學生,其中會游泳的有人,會打乒乓的有人,會下象棋的有人,三樣都會的有人,那么只會兩樣的至多有幾人? 【分析】一共人次 只會兩樣的至多人 【例 15】 某班有人,其中人會騎自行車,人打乒乓,人會打羽毛球,人會游泳,這個班上以上四項運動都會至少有多少人? 【分析】一共次 若要四項運動盡可能的少,那么每人會項運動 四項運動都會的至少有人 抽屜原理: 【例1】 數(shù)學興趣小組共人,有一個同學在某一天對大家宣布一個猜想:“我們

13、中間必定有兩個人生日處在同一個月份”,你知道他是怎么知道的嗎? 【分析】 因為數(shù)學興趣小組的人數(shù)超過了個人,而一年中只有個月份,根據(jù)抽屜原理一,他就可以得出以上結(jié)論了。 【例2】 某小學有名學生,證明其中必定有兩名學生是同一天的生日。 【分析】 一年至多是天,把這些不同日期看作是抽屜,將名同學看作是物體,把個物體放在不超過個抽屜里面,至少有一個抽屜的物品不少于個,也就是說這兩個物體所代表的同學就是同一天的生日。 【例3】 有個小朋友特別勤奮,在暑假里每天都會做奧數(shù)題,已知他一共做了道,媽媽說假期中他過生日那天不止做了一道數(shù)學題。問他這個假期最多有多少天? 【分析】 根據(jù)抽屜原理,如果

14、假期里面的每天看作是抽屜,把道題看作是物品,因為知道每個抽屜都有物品并且某個抽屜中放的物品不少于件,所以抽屜數(shù)一定小于,所以抽屜數(shù)至多是,也就是說假期最多有天。 【例4】 (第九屆“中環(huán)杯”小學生思維能力訓練活動五年級初賽動手動腦題第3題)能否在行列的方格表的每個空格中分別填入這三個數(shù)中的任何一個,使得每行、每列及對角線上的各個數(shù)的和互不相同?為什么? 【分析】 不可能。因為每行每列每對角線上的和最小為,和最大為,共有個互不相同的數(shù),而行、列和兩條對角線上共有個和,根據(jù)抽屜原理,必定有兩個和是相等的。 【例5】 一副撲克牌,共張,問至少從中摸出多少張牌才能保證有張牌的花色相同? 【分

15、析】 從最壞的情況考慮:先摸出兩張牌,分別是大王和小王,然后再把四種花色各摸出四張,此時一共摸出張牌,如果再摸一張就會出現(xiàn)至少有張牌的花色相同,即至少需要摸出張牌才可以保證至少有張牌的花色相同。 【例6】 一副張的撲克牌,至少需要摸出多少張,才可以保證所有花色的牌都有? 【分析】 從最壞的情況考慮:先摸出兩張王牌,然后挑選三種花色摸光,此時一共摸了張牌,再摸一張就可以保證所有花色的牌都有。 【例7】 一副張的撲克牌,至少需要摸出多少張,才可以保證有張梅花和張紅桃? 【分析】 從最壞的情況考慮:先摸出兩張王牌,然后摸出所有的方塊和黑桃,共計張牌,接著就是最關(guān)鍵也是

16、最容易出錯的地方,那就是什么是最壞的情況。因為要保證有張梅花和張紅桃,所以我們只需要不符合其中一個即可,比如摸到了張梅花和張紅桃就是不符合要求的(想想看為什么張紅桃和張梅花為什么不是最壞的情況?),但是如果再摸一張就必定符合要求了,所以至少需要摸出張。 復雜的抽屜原理: 【例1】 幼兒園買來許多牛、馬、羊、狗塑料玩具,每個小朋友任意選擇兩件,但不能是同樣的,問:至少有多少個小朋友去拿,才能保證有兩人所拿玩具相同? 【分析】 從四種玩具中挑選不同的兩件,所有的搭配有以下組:牛、馬;牛、羊;牛、狗;馬、羊;馬、狗;羊、狗.個。把每一組搭配看作一個“抽屜”,共個抽屜.根據(jù)抽屜原理,至少要有

17、個小朋友去拿,才能保證有兩人所拿玩具相同。 【例2】 體育用品的倉庫里有許多的足球、籃球和排球,有個同學來倉庫拿球,要求每個人至少拿一個,最多拿兩個球,問至少有多少名同學所拿球的種類完全一樣? 【分析】 以拿球配組的方式為抽屜,每人拿一個或者兩個球,所以抽屜有:足,籃,排,足足,籃籃,排排,足籃,足排,籃排共種情況,即有個抽屜,則:,于是至少有個同學所拿球的種類是一樣的。 【例3】 在邊長為米的正方形中,任意放個點,求證:必定有四個點,以它們?yōu)轫旤c的四邊形的面積不超過平方米。 【分析】 將大正方形分成個邊長為的小正方形,則把個小正方形看作是抽屜,有 ,從而必定有個點處于同一個抽屜

18、,也就是這四個點在同一個小正方形里面,由于每個小正方形面積都不超過平方米,所以這四個點組成的四邊形的面積也必定不超過平方米。 【例4】 從1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12中最多能選出幾個數(shù),使得在選出的數(shù)中,每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的2倍? 【分析】 (方法一)直接從1開始選1,3,4,5,7,9,11,12,這樣可以選出8個數(shù); 而從2開始選2,3,5,7,8,9,11,12,這樣也是可以選出8個數(shù). 3包含在組內(nèi),因此只用考慮這兩種情況即可. 所以,在滿足題意情況下,最多可以選出8個數(shù). ( 方法二)我們知道選多少個奇數(shù)均滿足,有1,3,5,7,9,11均為奇數(shù),并

19、且有偶數(shù)中4的倍數(shù),但不是8的倍數(shù)的也滿足,有4,12是這樣的數(shù).所以,在滿足題意情況下最多可以選出8個數(shù). 【例5】 甲、乙二人分別為一個正方形的條棱涂紅、綠種顏色。首先,甲任選條棱并把它們涂上紅色;然后,乙任選另外條棱并涂上綠色;接著甲將剩下的條棱都涂上紅色。問:甲是否一定能將某一面的條棱全部涂上紅色? 【分析】 如圖將條棱按照兩兩互相異面垂直的條棱分為一組,共分成組:第一組:(、、);第二組:(、、);第三組:(、、);第四組:(、、)。無論甲第一次將哪條棱涂紅,由抽屜原理知組中必有一組的條棱全未涂紅,而乙只要將這組中的條棱涂綠,甲就無法將某一面的條棱全部涂紅了。

20、 作業(yè)1、 【練習1】 在人參加的采摘活動中,只采了櫻桃的有人,既采了櫻桃又采了杏的有人,既沒采櫻桃又沒采杏的有人,問:只采了杏的有多少人? 【分析】如圖,用長方形表示全體采摘人員人,圓表示采了櫻桃的人數(shù),圓表示采了杏的人數(shù)。 長方形中陰影部分表示既沒采櫻桃又沒采杏的人數(shù)。 由圖中可以看出,全體人員的人數(shù)是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒采的人數(shù)之和, 至少采了一種的人數(shù)為:(人), 而至少采了一種的人數(shù)只采了櫻桃的人數(shù)+兩種都采了的人數(shù)+只采了杏的人數(shù), 所以,只采了杏的人數(shù)為:(人)。

21、 【練習2】 (年月日第五屆小學“希望杯”全國數(shù)學邀請賽四年級第試第題)養(yǎng)牛場有頭黃牛和水牛,其中母牛頭,黃牛頭,公水牛頭,那么母黃牛有頭。 【分析】容斥原理。 (方法一)因為養(yǎng)牛場有頭黃牛和水牛,母牛有頭; 所以公牛有頭; 因為公水牛有頭; 所以公黃牛有頭; 因為黃牛有頭; 所以母黃牛有頭。 (方法二)因為養(yǎng)牛場有頭黃牛和水牛,黃牛有頭; 所以水牛有頭; 因為公水牛有頭; 所以母水牛有頭; 因為母牛有頭; 所以母黃牛有頭。 【練習3】 (年月號第九屆中環(huán)杯四年級決賽第題)某次考試,通過語文考試的有人,通過數(shù)學考試的有人,通過語文考試但沒有通過數(shù)學考

22、試的有人,那么通過數(shù)學考試但沒有通過語文考試的有多少人? 【分析】通過語文考試且通過數(shù)學考試的有(人), 所以通過數(shù)學考試但沒有通過語文考試的有(人)。 【練習4】 甲乙丙三個小組學雷鋒,為學校擦玻璃,其中塊玻璃不是甲組擦的,塊玻璃不是乙組擦的,且甲組和乙組一共擦了塊玻璃,那么,甲乙丙三個小組各擦了多少塊玻璃? 【分析】塊玻璃不是甲組擦的,說明這塊玻璃是乙丙兩組擦的; 塊玻璃不是乙組擦的,說明這 塊玻璃是甲丙兩組擦的, 如下圖所示,用圓表示乙丙兩組擦的塊玻璃,圓表示甲丙兩組擦的塊玻璃, 因為甲乙兩組共擦了塊玻璃,塊,這是兩個兩組擦的玻璃數(shù), 因此丙組擦了塊玻璃。乙組擦了塊玻

23、璃,甲組擦了塊玻璃。 【練習5】 某大學某班學生總數(shù)為人,在第一次考試中有人及格,在第二次考試中有人及格,若兩次考試中,都沒有及格的有人,那么兩次考試都及格的人數(shù)是多少? 【分析】設(shè)第一次考試中及格的人(),第二次考試中及格的人() 顯然,;, 則根據(jù)公式 那么兩次考試都及格的人數(shù)是人。 【練習6】 在到所有自然數(shù)中,既不是的倍數(shù)又不是和的倍數(shù)的數(shù)有多少個? 【分析】此題為容斥原理和數(shù)論相結(jié)合的一類典型的題目。 ,的倍數(shù)的個數(shù)為;,的倍數(shù)的個數(shù)為; ,的倍數(shù)的個數(shù)為;再計算各重復部分的個數(shù) ,同時是和的倍數(shù),即是的倍數(shù)的個數(shù)為; ,同時是和的倍數(shù),即是的倍

24、數(shù)的個數(shù)為; ,同時是和的倍數(shù),即是的倍數(shù)的個數(shù)為 ,同時是、、的倍數(shù),即是的倍數(shù)的個數(shù)為 不是、、的倍數(shù)的個數(shù)為 作業(yè)2、 【練習1】 (希望杯真題)一個口袋里分別有紅、黃、黑球、、個,為使取出的球中有個同色,則至少要取小球多少個? 【分析】 如果要保證取到個同色的球,至少要取(個)。 【練習2】 有一個布袋中有個相同的小球,其上編上號碼的各有個,問:一次至少要取出多少個小球,才能保證其中至少有個小球的號碼相同? 【分析】 考慮最壞的情況:每種編號的小球剛好取了個,那么最多可以取個小球,如

25、果再取一個,必定就有個小球號碼相同了,因此至少需要取出個球才可以保證其中至少有個小球的號碼相同。 【練習3】 某班名同學是在月份出生,能否找到兩個生日是在同一天的小朋友? 【分析】 五月份共有天,如果把天看作是個抽屜,把個小朋友看作是個蘋果,把個蘋果放在個抽屜,那么根據(jù)抽屜原理一,至少有一個抽屜里至少放了兩個蘋果,因此至少有名同學是同一天出生的。 【練習4】 學校買來歷史、文藝、科普三種圖書若干本,每個學生從中任意借兩本,那么至少多少個學生中一定會有兩個學生所借的圖書屬于同一種? 【分析】 從三種圖書里面任意借兩本圖書的種類數(shù)是,所以至少個學生借書,可以保證至少有兩個學生所

26、借的圖書屬于同一種。 【練習5】 某次選拔考試,共有名同學參加,小明說:“至少有名同學來自同一個學?!保绻恼f法是正確的,那么最多有多少個學校參加這次選拔考試? 【分析】 這道題目的難點在于不知道抽屜有多少個,如果我們采用順向思維,就需要設(shè)有個抽屜,并且,其中是余數(shù),并且大于,因為,所以當有個學校參加考試的時候,小明的說法就是正確的。同時如果學校數(shù)目超過個,那么是可以使每個學校有不超過名同學參加考試的,因此是參加學校的最大數(shù)目。 【練習6】 老師在黑板上出了兩道題,規(guī)定每道題做對得分,不做得分,做錯得分.老師說:“可以肯定全班同學中至少有名同學各題的得分都相同.”那么,這個班至少有多少名同學? 【分析】 以同學做兩道題的得分情況為“抽屜”,由于兩道題各有三種得分情況,所以共有種得分情況,那么共有個抽屜,學生數(shù)量即“蘋果”數(shù)為:(人)。

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