《（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第五章 平面向量、復數(shù) 第27講 平面向量的基本定理及坐標運算導學案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第五章 平面向量、復數(shù) 第27講 平面向量的基本定理及坐標運算導學案 新人教A版（11頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第27講　平面向量的基本定理及坐標運算 【課程要求】 1．了解平面向量的基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及其坐標表示． 2．會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算，理解用坐標表示平面向量共線和垂直的條件． 對應學生用書p76 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底．(　　) (2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內的任何一個向量都可用這組基

2、底唯一表示．(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成＝.(　　) (5)當向量的起點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標．(　　) (6)平面向量不論經過怎樣的平移變換之后其坐標不變．(　　) [答案] (1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ 2．[必修4p97例5]已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點D的坐標為________． [解析]設D(x，y)，則由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)， 即解得 [答案] (1，5) 3．[必修4p119A組T9]已知向量

3、a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb與a－2b共線，則＝________． [解析]由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)， 得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． 由ma＋nb與a－2b共線， 得＝，所以＝－. [答案]－ 4．設e1，e2是平面內一組基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＋λ2＝________． [答案]0 5．已知點A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝________． [解析]根據(jù)題意得＝(3，1)， ∴＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． [答案] (－7，－4) 6

4、．已知向量a＝(－1，2)，點A(－2，1)，若∥a且||＝3，O為坐標原點，則的坐標為(　　) A．(1，－5) B．(－5，7) C．(1，－5)或(5，－7) D．(1，－5)或(－5，7) [解析]由∥a知，存在實數(shù)λ，使＝λa＝(－λ，2λ)， 又||＝3，則λ2＋4λ2＝9×5，即λ＝3或λ＝－3， 所以＝(3，－6)或(－3，6)．又點A(－2，1)， 所以＝＋＝(1，－5)或(－5，7)． [答案]D 【知識要點】 1．平面向量基本定理 如果e1和e2是一個平面內的兩個__不共線__向量，那么對于該平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ

5、1e1＋λ2e2.我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底． 2．平面向量的坐標表示 在平面直角坐標系內，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面上任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj.這樣，平面內的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)，把a＝(x，y)叫做向量的坐標表示，|a|＝叫做向量a的長度(模)． 3．平面向量坐標運算 向量的加減法 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__，a－b＝__

6、(x1－x2，y1－y2)__. 實數(shù)與向量的積 若a＝(x1，y1)，λ∈R，則λa＝__(λx1，λy1)__. 向量的坐標 若起點A(x1，y1)，終點B(x2，y2)，則＝__(x2－x1，y2－y1)__. 4.兩向量平行和垂直的坐標表示 (1)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－y1x2＝0. (2)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. 對應學生用書p76 平面向量基本定理的應用 例1　(多選)在下列向量組中，可以把向量a＝(3，2)表示出來的是(　　) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2

7、) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(1，1)，e2＝(2，1) [解析]法一：設a＝k1e1＋k2e2， A選項，∵(3，2)＝(k2，2k2)，∴無解； B選項，∵(3，2)＝(－k1＋5k2，2k1－2k2)， ∴解得 故B中的e1，e2可以把a表示出來； 同理，C選項同A選項，無解； D選項，易解得k1＝1，k2＝1. 法二：只需判斷e1與e2是否共線即可，不共線的就符合要求． [答案]BD 例2　如圖所示，已知△AOB中，點C是以A為中心的點B的對稱點，＝2，DC和OA交于點E，設＝a，＝b.

8、 (1)用a和b表示向量、； (2)若＝λ，求實數(shù)λ的值． [解析] (1)由題意知，A是BC的中點，且＝， 由平行四邊形法則得，＋＝2. ∴＝2－＝2a－b， ＝－＝(2a－b)－b＝2a－b. (2)由題意知，∥. 又∵＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b， ＝2a－b， ∴＝，∴λ＝. [小結]用平面向量基本定理解決問題的一般思路 (1)先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示為向量的形式，再通過向量的運算來解決． (2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便． 1．如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE＝2EA，

9、AD與CE交于點O.若·＝3·，則＝________． [解析]由題得＝(＋)， ＝－＝－＋， 因為·＝3·， 所以·＝·， ∴2＝2， ∴＝，∴＝. [答案] 平面向量的坐標運算 例3　已知點A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n的值； (3)求點M，N的坐標及向量的坐標． [解析]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(6，－42)． (2)因為m

10、b＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， 所以解得 (3)設O為坐標原點． 因為＝－＝3c， 所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， 所以點M的坐標為(0，20)． 又因為＝－＝－2b， 所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以點N的坐標為(9，2)， 所以＝(9，－18)． [小結](1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解． 2．已知O為坐標原點，向量＝(2，3)，＝

11、(4，－1)，且＝3，則||＝________． [解析]設P(x，y)，由題意可得A，B兩點的坐標分別為(2，3)，(4，－1)，由＝3，可得 解得故||＝. [答案] 平面向量共線的坐標表示 例4　已知a＝(1，0)，b＝(2，1)． (1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三點共線，求m的值． [解析] (1)∵a＝(1，0)，b＝(2，1)， ∴ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)， ∵ka－b與a＋2b共線， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0，

12、 ∴k＝－. (2)＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， ＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，C三點共線， ∴∥， ∴8m－3(2m＋1)＝0， ∴m＝. [小結]向量共線充要條件的2種形式： (1)a∥b?a＝λb(b≠0)； (2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．當涉及向量或點的坐標問題時一般利用(2)比較方便． 3．已知向量a＝(1，3)，b＝，若c∥(a－2b)，則單位向量c＝(　　) A.或 B.或 C.或 D.或 [解析]因為a＝(1，3)，b＝，所以a－2b＝(－3，4)

13、，又c∥(a－2b)，所以存在實數(shù)λ，使c＝λ(a－2b)，所以＝·|a－2b|，所以＝，所以c＝或.故選B. [答案]B 向量問題坐標化 例5　如圖，平面內有三個向量、、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為________． [解析]由條件可知，∠COB＝90°，以O為原點，OC所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，建立平面直角坐標系． 則＝(2，0)，＝(0，1)，＝， 因為＝λ＋μ， 所以(2，0)＝λ＋μ(0，1)， 所以所以所以λ＋μ＝6. [答案]6 例6　在直角梯形ABCD中，A

14、B⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，點P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DE上變動(如圖所示)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則2λ－μ的取值范圍是________． [解析]以A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標系，依題意得D，E，C(1，1)，B，F(xiàn)，＝，＝，設P，θ∈，依題意＝λ＋μ，即＝，兩式相減得2λ－μ＝sinθ－cosθ＝sin，θ－∈，sin∈. [答案] [－1，1] [小結](1)向量相等就是兩向量的坐標對應相等． (2)利用向量的坐標運算可將向量問題代數(shù)化． (3)注意如下結論的運用： ①當向

15、量的起點在原點時，P點的坐標就是向量的坐標； ②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則向量＝(x2－x1，y2－y1)． 4．向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1B．2C．3D．4 [解析]以向量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設每個小正方形邊長為1)， 則A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)， ∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)． ∵c＝λa＋μb， ∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)， 即

16、 解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4. [答案]D 對應學生用書p78 1．(2018·全國卷Ⅲ理)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，則λ＝________． [解析]2a＋b＝2(1，2)＋(2，－2)＝(4，2)，又∵c∥(2a＋b)，故有4×λ－2×1＝0，∴λ＝. [答案] 2．(2017·全國卷Ⅲ理)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．3B．2C.D．2 [解析]如圖所示，建立平面直角坐標系． 設A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，P(x，y)，根據(jù)等面積公式可得圓的半徑r＝，即圓C的方程是(x－2)2＋y2＝，＝(x，y－1)，＝(0，－1)，＝(2，0)， 若滿足＝λ＋μ， 即μ＝，λ＝1－y，所以λ＋μ＝－y＋1， 設z＝－y＋1，即－y＋1－z＝0，點P(x，y)在圓(x－2)2＋y2＝上， 所以圓心到直線的距離d≤r，即≤，解得1≤z≤3， 所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3，故選A. [答案]A 11