《2020版高考數(shù)學一輪復習 坐標系與參數(shù)方程 第二節(jié) 參數(shù)方程學案 文（含解析）新人教A版選修4-4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學一輪復習 坐標系與參數(shù)方程 第二節(jié) 參數(shù)方程學案 文（含解析）新人教A版選修4-4（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)　參數(shù)方程 2019考綱考題考情 1．參數(shù)方程的概念 一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)：①并且對于t的每一個允許值，由方程組①所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組①就叫做這條曲線的參數(shù)方程，t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程。 2．直線的參數(shù)方程 過定點P0(x0，y0)且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則參數(shù)t的幾何意義是有向線段的數(shù)量。 3．圓的參數(shù)方程 圓心為(a，b)，半徑為r，以圓心為頂點且與x軸同向的射線，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圓

2、上一點所在半徑形成的角α為參數(shù)的圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù))α∈[0,2π)。 4．橢圓的參數(shù)方程 以橢圓的離心角θ為參數(shù)，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))θ∈[0,2π)。 1．將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍。 2．直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離。 一、走進教材 1．(選修4－4P26T4改編)在平面直角坐標系中，曲線C：(t為參數(shù))的普通方程為

3、________。 解析　消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0。 答案　x－y－1＝0 2．(選修4－4P37例2改編)在平面直角坐標系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點，求常數(shù)a的值。 解　直線l的普通方程為x－y－a＝0， 橢圓C的普通方程為＋＝1， 所以橢圓C的右頂點坐標為(3,0)， 若直線l過(3,0)，則3－a＝0，所以a＝3。 二、走出誤區(qū) 微提醒：①不注意互化的等價性致誤；②直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義不清致誤；③交點坐標計算出錯致誤。 3．若曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則曲線C上的點的軌跡是(　　) A．直線x＋2y－

4、2＝0 B．以(2,0)為端點的射線 C．圓(x－1)2＋y2＝1 D．以(2,0)和(0,1)為端點的線段 解析　將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2,0≤y≤1)。故選D。 答案　D 4．已知直線(t為參數(shù))上兩點A，B對應的參數(shù)值是t1，t2，則|AB|＝(　　) A．|t1＋t2| B．|t1－t2| C．|t1－t2| D． 解析　依題意，A(x0＋at1，y0＋bt1)， B(x0＋at2，y0＋bt2)，則|AB|＝ ＝|t1－t2|。故選C。 答案　C 5．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系

5、。曲線C1的極坐標方程為ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則C1與C2交點的直角坐標為________。 解析　由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，得x＋y＝－2①。 又消去t，得y2＝8x②。 聯(lián)立①②得即交點坐標為(2，－4)。 答案　(2，－4) 考點一參數(shù)方程與普通方程的互化 【例1】　把下列參數(shù)方程化為普通方程。 (1)(t為參數(shù))。 (2)(θ為參數(shù)，θ∈[0,2π))。 解　(1)由已知得t＝2x－2，代入y＝5＋t中得y＝5＋(2x－2)。 即它的普通方程為x－y＋5－＝0。 (2)因為sin2θ＋cos2θ＝1，所以

6、x2＋y＝1， 即y＝1－x2。又因為|sinθ|≤1， 所以其普通方程為y＝1－x2(|x|≤1)。 將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時要注意其中的x，y(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普 通方程與參數(shù)方程的等價性。參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧有：代入消元、加減消元、平方后相加減消元、整體消元等。 【變式訓練】　在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝m。 (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)若曲線

7、C1與曲線C2有公共點，求實數(shù)m的取值范圍。 解　(1)由曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))，可得其普通方程為y＝x2(－2≤x≤2)， 由曲線C2的極坐標方程為ρsin＝m，可得其直角坐標方程為x－y＋m＝0。 (2)聯(lián)立曲線C1與曲線C2的方程， 可得x2－x－m＝0， 所以m＝x2－x＝2－， 因為－2≤x≤2，曲線C1與曲線C2有公共點， 所以－≤m≤6。 考點二直線參數(shù)方程的應用 【例2】　(2018·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。 (1)求C和l的直角坐標方程； (2)若曲線C截直線l所得線段

8、的中點坐標為(1,2)，求l的斜率。 解　(1)曲線C的直角坐標方程為＋＝1。 當cosα≠0時，l的直角坐標方程為y＝tanα·x＋2－tanα，當cosα＝0時，l的直角坐標方程為x＝1。 (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0①。 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，所以①有兩個解，設為t1，t2，則t1＋t2＝0。 又由①得t1＋t2＝－， 故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2。 1．直線的參數(shù)方程有多種形式，只有標準形式中的參數(shù)才具有幾何意義，

9、即參數(shù)t的絕對值表示對應的點到定點的距離。 2．根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準形式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論： (1)若直線與圓錐曲線相交，交點對應的參數(shù)分別為t1，t2，則弦長l＝|t1－t2|。 (2)若定點M0(標準形式中的定點)是線段M1M2(點M1，M2對應的參數(shù)分別為t1，t2，下同)的中點，則t1＋t2＝0。 (3)設線段M1M2的中點為M，則點M對應的參數(shù)為tM＝。 【變式訓練】　(2019·西安八校聯(lián)考)以平面直角坐標系的坐標原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系。已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝4cosθ。 (1)求

10、曲線C的直角坐標方程； (2)設直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|AB|。 解　(1)由ρsin2θ＝4cosθ，可得ρ2sin2θ＝4ρcosθ， 所以曲線C的直角坐標方程為y2＝4x。 (2)將直線l的參數(shù)方程代入y2＝4x， 整理得4t2＋8t－7＝0， 所以t1＋t2＝－2，t1t2＝－， 所以|AB|＝|t1－t2|＝×＝×＝。 考點三圓與橢圓參數(shù)方程的應用 【例3】　(2017·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。 (1)若a＝－1，求C與l的交點坐標； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a。

11、 解　(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1。 當a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0。 由解得或 從而C與l的交點坐標為(3,0)，。 (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0， 故C上的點(3cosθ，sinθ)到l的距離為 d＝＝， 其中sinφ＝，cosφ＝。 當a≥－4時，d的最大值為。 由題設得＝，所以a＝8； 當a<－4時，d的最大值為。 由題設得＝，所以a＝－16。 綜上，a＝8或a＝－16。 橢圓的參數(shù)方程實質(zhì)是三角代換，有關(guān)橢圓上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題，通常利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解。

12、 【變式訓練】　(2019·安徽質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin－2＝0，曲線C2的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，C1與C2相交于A，B兩點。 (1)把C1和C2的極坐標方程化為直角坐標方程，并求點A，B的直角坐標； (2)若P為C1上的動點，求|PA|2＋|PB|2的取值范圍。 解　(1)由題意知，C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4， C2：x－y＝0。聯(lián)立 解得A(－1，－1)，B(1,1)或A(1,1)，B(－1，－1)。 (2)設P(－1＋2cosα，1＋2sinα)， 不妨設A(－

13、1，－1)，B(1,1)， 則|PA|2＋|PB|2＝(2cosα)2＋(2sinα＋2)2＋(2cosα－2)2＋(2sinα)2＝16＋8sinα－8cosα＝16＋8sin， 所以|PA|2＋|PB|2的取值范圍為 [16－8，16＋8]。 考點四求曲線的參數(shù)方程 【例4】　在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點。 (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程。 解　(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1。 當α＝時，l與⊙O交于兩點。 當α≠時，記tanα＝k，則l的方程為y＝k

14、x－。 l與⊙O交于兩點當且僅當<1， 解得k<－1或k>1，即α∈或α∈。 綜上，α的取值范圍是。 (2)l的參數(shù)方程為。 設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tp＝，且tA，tB滿足t2－2tsinα＋1＝0。 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα。 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是 。 求曲線的參數(shù)方程最為關(guān)鍵的一點是根據(jù)題意合理恰當?shù)剡x擇參數(shù)，比如本題選擇了直線的傾斜角α為參數(shù)，并且也要注意參數(shù)的取值范圍。 【變式訓練】　如圖，以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù)，求圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程。 解　圓的半徑為，記圓

15、心為C，連接CP，則∠PCx＝2θ， 故xP＝＋cos2θ＝cos2θ， yP＝sin2θ＝sinθcosθ(θ為參數(shù))。 所以圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))。 1．(配合例2使用)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以直角坐標系xOy的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4sin。 (1)求直線l的普通方程與圓C的直角坐標方程； (2)設圓C與直線l交于A，B兩點，若P點的直角坐標為(2,1)，求||PA|－|PB||的值。 解　(1)易得直線l的普通方程為y＝x－1。 因為曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin＝4sinθ＋4cosθ，即ρ2＝

16、4ρsinθ＋4ρcosθ， 所以圓C的直角坐標方程為x2＋y2－4x－4y＝0(或?qū)懗?x－2)2＋(y－2)2＝8)。 (2)點P(2,1)在直線l上，且在圓C內(nèi)，把代入x2＋y2－4x－4y＝0，得t2－t－7＝0， 設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1＋t2＝，t1t2＝－7<0，即t1，t2異號， 所以||PA|－|PB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝。 2．(配合例3使用)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，m∈R)，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＝(0≤θ≤π)。 (1)寫出曲線C

17、1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)已知點P是曲線C2上一點，若點P到曲線C1的最小距離為2，求m的值。 解　(1)由曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)t，可得C1的普通方程為x－y＋m＝0。 由曲線C2的極坐標方程得3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]， 所以曲線C2的直角坐標方程為＋y2＝1(0≤y≤1)。 (2)設曲線C2上任意一點P的坐標為(cosα，sinα)，α∈[0，π]， 則點P到曲線C1的距離d＝＝。 因為α∈[0，π]，所以cos∈， 2cos∈[－2，]， 由點P到曲線C1的最小距離為2得， 若m＋<0，則m＋＝－4，即m＝－4－。 若m－2>0，則m－2＝4，即m＝6。 若m－2<0，m＋>0，當|m＋|≥|m－2|，即m≥時，－m＋2＝4，即m＝－2，不合題意，舍去； 當|m＋|<|m－2|，即m<時，m＋＝4，即m＝4－，不合題意，舍去。 綜上，m＝－4－或m＝6。 8