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1、（浙江專版）2022年高考數學 母題題源系列 專題14 函數與不等式 【母題原題1】【2018浙江，15】已知λ∈R，函數f(x)=，當λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________． 【答案】 (1). (1,4) (2). 【解析】分析:根據分段函數，轉化為兩個不等式組，分別求解，最后求并集.先討論一次函數零點的取法，再對應確定二次函數零點的取法，即得參數的取值范圍. 詳解：由題意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是 點睛：已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路：

2、 (1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍； (2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決； (3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解． 【母題原題2】【2017浙江，17】已知，函數在區(qū)間[1,4]上的最大值是5，則a的取值范圍是__________ 【答案】 【解析】，分類討論： ①當時， ， 函數的最大值，舍去； ②當時， ，此時命題成立； ③當時， ，則： 或，解得： 或 綜上可得，實數的取值范圍是． 【名師點睛】本題利用基本不等式，由，得，通過對解析式中絕

3、對值符號的處理，進行有效的分類討論：①；②；③，問題的難點在于對分界點的確認及討論上，屬于難題．解題時，應仔細對各種情況逐一進行討論． 【母題原題3】【2016浙江，理18】已知，函數F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}， 其中min{p，q}= （Ⅰ）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范圍； （Ⅱ）（?。┣驠（x）的最小值m（a）； （ⅱ）求F（x）在區(qū)間[0,6]上的最大值M（a）. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）． 試題解析：（Ⅰ）由于，故 當時，， 當時，． 所以，使得等式成立的的取值范圍為． （Ⅱ）（?。┰O函數，

4、， 則，， 所以，由的定義知，即 （ⅱ）當時， ， 當時，． 所以，． 【考點】函數的單調性與最值，分段函數，不等式． 【思路點睛】（Ⅰ）根據的取值范圍化簡，即可得使得等式成立的的取值范圍；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函數和的最小值，再根據的定義可得；（Ⅱ）根據的取值范圍求出的最大值，進而可得． 【命題意圖】高考對本部分內容的以考查能力為主，重點考查分段函數、絕對值的概念、基本函數的性質、不等式的解法，考查數學式子變形的能力、運算求解能力、等價轉化思想和數形結合思想. 【命題規(guī)律】函數是高考命題熱點之一，往往以常見函數為基本考察對象，以絕對值或分段函數的呈現(xiàn)方式，與不等式相結合，考

5、查函數的基本性質，如單調性與最值、函數與方程（零點）、不等式的解法等.由于導數的加入，除將函數與導數相結合考查外，仍有對函數獨立的考查題目，難度基本穩(wěn)定在中等或以下. 【答題模板】求解函數不等式問題，一般考慮： 第一步：化簡函數，明確函數的構成特點.當呈現(xiàn)方式含絕對值式時，要利用絕對值的概念化簡函數； 第二步：根據函數特征，聯(lián)想函數的性質，確定求解方法.根據函數的構成特點，結合題目要求，聯(lián)想函數的單調性、零點的概念、不等式的解法、不等式恒成立問題的解法等； 第三步：運算求解. 【方法總結】 1.確定函數f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法 (1)利用函數零點的存在性定理：首先看函數y

6、＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點. (2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷. 2.已知函數有零點(方程有根)求參數取值范圍常用的方法 (1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍． (2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決． (3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解． 3.確定函數最值的方法： （1）單調性法：考查函數的單調性，確定函數的最值點，

7、便可求出函數相應的最值. （2）圖象法：對于由基本初等函數圖象變化而來的函數，通過觀察函數圖象的最高點或最低點確定函數的最值. （3）分段函數的最值：將每段函數的最值求出，比較大小確定函數的最值. （4）導數法：對于一般的可導函數，可以利用導數求出函數的極值，并與端點值進行大小比較，從而確定函數的最值. 4.分段函數體現(xiàn)了數學的分類討論思想，求解分段函數問題時應注意以下三點： (1)明確分段函數的分段區(qū)間． (2)依據自變量的取值范圍，選好討論的切入點，并建立等量或不等量關系． (3)在通過上述方法求得結果后，應注意檢驗所求值(范圍)是否落在相應分段區(qū)間內． 5.含絕對值不等式

8、的應用中的數學思想 (1)利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想； (2)利用函數的圖象求解，體現(xiàn)了數形結合的思想． 1．【2018屆浙江省杭州市第二中學6月熱身】設函數，其中表示中的最小者.下列說法錯誤的（ ） A. 函數為偶函數 B. 若時，有 C. 若時， D. 若時， 【答案】D 【解析】分析：的圖像可由三個函數的圖像得到（三圖壘起，取最下者），然后依據圖像逐個檢驗即可． 詳解：在同一坐標系中畫出的圖像（如圖所示）， 故的圖像為圖中粗線所示． 的圖像關于軸對稱，故為偶函數，故A正確． 當時，，； 當時，，； 當時，，； 當時，，此時

9、有，故B成立． 從圖像上看，當時，有成立，令，則，故，故C成立． 取，則，，，故D不成立． 綜上，選D． 點睛：一般地，若（其中表示中的較小者），則的圖像是由這兩個函數的圖像的較低部分構成的． 2．【2018屆黑龍江省哈爾濱師范大學附屬中學三模】已知函數，函數有四個不同的零點，從小到大依次為則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：首先根據題中所給的函數解析，將函數的大致圖像畫出來，可以判斷出函數有四個零點時對應參數的范圍，并且可以斷定有兩個正根，兩個負根，以及兩個負根和為定值，從而確定出其積的取值范圍，兩個正根

10、可以解方程，之后用兩根和來斷定，最后根據題的條件，確定出其取值范圍. 所以，故選A. 點睛：該題考查的是有關函數零點的問題，涉及到的知識點由函數圖像的對稱性，對勾函數圖像的走向，函數零點個數向向函數圖像交點個數靠攏，總之要想最對改題目，必須將基礎知識抓牢. 3．【2018屆福建省莆田市第二次檢測】已知函數是定義在上的偶函數，且滿足若函數有六個零點，則實數的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：首先根據題中所給的函數解析式，將函數圖像畫出來，注意分段函數要明確相應的式子，當時，很容易畫出拋物線段，當時，利用導數研究函數的

11、單調性，利用函數解析式，確定出函數值的符號，從而畫出函數的圖像，利用偶函數的圖像的對稱性，得到函數圖像與直線在y軸右側有三個交點，觀察圖像可得結果. 詳解：畫出函數的圖像，當時，很容易畫出拋物線段，利用導數研究函數的圖像的走向，從而確定出其在上單調減，在上單調增，但是其一直落在x軸下方，因為是定義在上的偶函數，所以函數有六個零點，等價于有三個正的零點，相當于函數圖像與直線在y軸右側有三個交點，觀察圖像可知的取值范圍是，故選D. 點睛：該題考查的是有關函數零點的個數問題，在求解的過程中，將零點的個數問題轉化為函數圖像與直線的交點個數問題，結合偶函數的圖像的對稱性，得到在y軸右側有三個交點，利

12、用導數研究函數的單調性，得到函數圖像的走向，從而觀察圖像求得結果. 4．【2018屆天津市濱海新區(qū)七所重點學校聯(lián)考】已知函數，若存在，使得關于的函數有三個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,,當時,,其對稱軸,則函數在上為增函數,此時的值域為;當時,,其對稱軸,則函數在上為增函數,此時函數的值域為,函數在上為減函數,值域為.由于關于的函數有三個不同的零點,所以.而為增函數,故.所以.故選B. 5．【百校聯(lián)盟2018屆TOP202018屆三月聯(lián)考】已知若， 恒成立，則的取值范圍為（ ） A.

13、 B. C. D. 【答案】C 【解析】當時， ，則是的最大值， ，當時， ，當時取等號，要滿足，需，即，解之得，得的取值范圍是，故選C. 6．【2018屆北京市人大附中二?！恳阎瘮岛瘮?，其中，若函數恰有4個零點，則實數b的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,.構造函數,畫出函數的圖象如下圖所示,其中的坐標分別為.故當時,與有個交點,故選. 7.【2018屆浙江省紹興市5月調測】設函數有兩個零點，則實數的值是_________. 【答案】 【解析】分析：將原問題進行換元，轉化為兩個函數有兩個交

14、點的問題，然后結合函數圖像的特征整理計算即可求得最終結果. 詳解：不防令，則. 原問題轉化為函數與函數的圖像有2個交點， 函數的圖像是確定的，如下所示(三個函數圖像對應滿足題意的三種情況)， 而函數是一動態(tài)V函數，頂點軌跡y=x， 當動態(tài)V函數的一支與反比例函數相切時，即為所求. 聯(lián)立可得， 則滿足題意時：，解得：， 注意到當V函數的頂點為時滿足題意，此時. 綜上可得：實數的值是. 8．【2018屆浙江省溫州市一?！恳阎瘮涤辛鶄€不同零點，且所有零點之和為3，則的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】根據題意，有，于是函數關于對稱，結合所有的零

15、點的平均數為，可得，此時問題轉化為函數，在上與直線有個公共點，此時，當時，函數的導函數，于是函數單調遞增，且取值范圍是，當時，函數的導函數，考慮到是上的單調遞增函數，且，于是在上有唯一零點，記為，進而函數在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得極小值，如圖： 接下來問題的關鍵是判斷與的大小關系，注意到，，函數，在上與直線有個公共點，的取值范圍是,故答案為 . 9．【2017屆浙江省臺州市高三上學期期末】已知函數,當時，設的最大值為，則的最小值為__________． 【答案】 【解析】設，則，由于，則，所以將以上三式兩邊相加可得，即，應填答案. 10.【2018屆江蘇省揚州樹人

16、學校模擬四】已知函數的最小值為，則實數的取值集合為__________． 【答案】. ∵函數 最小值為， ∴． ②當，即時，則， ∴在上上先減后增，最小值為；在上的最小值為． ∵函數 最小值為， ∴，解得，不合題意，舍去． ③當，即時，則， ∴在上上先減后增，最小值為；在上的最小值為． ∵函數 最小值為， ∴，解得或（舍去）． 綜上可得或， ∴實數的取值集合為． 11．【2018屆湖南省岳陽市第一中學一?！恳阎簦愠闪?，則的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】分析：由題意若，即函數，根據分段函數及二次函數的圖象與性質，即可求解實數的取值范圍.

17、 12．【浙江省溫州市十五校聯(lián)合體2017-2018學年高二下期中聯(lián)考】已知函數 （1）若在上恒成立，求a的取值范圍； （2）求在[-2,2]上的最大值M(a). 【答案】(1)；(2). 【解析】分析：（1）先根據絕對值定義去掉絕對值，并分離變量得當x>1時，；當x<1時，，當x=1時，a∈R；再根據函數最值得a的取值范圍；（2）先根據圖像得函數最大值只能在f(1)，f(2)，f(-2)三處取得，再根據三者大小關系以及對應對稱軸確定最大值取法，最后用分段函數書寫. 詳解：（1）即（*）對x∈R恒成立， ①當x=1時，（*）顯然成立，此時a∈R；當x≠1時，（*）可變形為， 令 ②當x>1時，，③當x<1時，，所以，故此時. 綜合①②③，得所求實數a的取值范圍是. （2）得：f(1)=0，f(2)=3-a，f(-2)=3-3a ①當時，∵，，∴，； ②當時，∴，，即 ③當時，∵，，∴， 即所以