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1、（浙江專版）2022年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題16 三角函數(shù)與三角恒等變換 【母題原題1】【2018浙江，18】已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P（）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值． 【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ） 或 （Ⅱ）由角的終邊過(guò)點(diǎn)得， 由得. 由得， 所以或. 點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的兩種類型： (1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù). (2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異. ①一般可以適當(dāng)變換已知式

2、，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用； ②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的. 【母題原題2】【2017浙江，18】已知函數(shù) （I）求的值 （II）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 【答案】（I）2；（II）的最小正周期是， . 【解析】試題分析：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其變換等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.滿分14分. （Ⅰ）由函數(shù)概念，計(jì)算可得；（Ⅱ）化簡(jiǎn)函數(shù)關(guān)系式得，結(jié)合可得周期，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． （Ⅱ）由與得 ． ． 所以的最小正周期是． 由正弦函數(shù)的性質(zhì)得 ， 解得， 所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是． 【母

3、題原題3】【2016浙江，文11理10】已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A＞0)，則A=______，b=________． 【答案】 ， 【解析】，所以 【考點(diǎn)】降冪公式，輔助角公式． 【思路點(diǎn)睛】解答本題時(shí)先用降冪公式化簡(jiǎn)，再用輔助角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而對(duì)照可得和的值． 【命題意圖】考查三角函數(shù)的概念、三角公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)式子變形能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力． 【命題規(guī)律】近幾年高考在對(duì)三角恒等變換考查的同時(shí)，對(duì)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查力度有所加強(qiáng)，往往將三角恒等變換與圖象和性質(zhì)結(jié)合考查，

4、往往先利用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后進(jìn)一步研究三角函數(shù)的性質(zhì).其中三角函數(shù)的定義域值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性以及圖象變換是主要考查對(duì)象，難度仍然以中低檔為主，重在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)通解通法. 【答題模板】求解2017年一類問(wèn)題，一般考慮： 第一步：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式成為的形式. 第二步：代入計(jì)算函數(shù)值. 第三步：將視為一個(gè)整體，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，按要求運(yùn)算求解. 【方法總結(jié)】 1. 三角函數(shù)恒等變換要注意：（1）觀察式子：主要看三點(diǎn) ① 整體觀察：整個(gè)表達(dá)式是以正余弦為主，還是正切（大多數(shù)情況是正余弦），確定后進(jìn)行項(xiàng)的統(tǒng)一（有句老話：切割化弦） ② 確定研

5、究對(duì)象：是以作為角來(lái)變換，還是以的表達(dá)式（例如）看做一個(gè)角來(lái)進(jìn)行變換. ③ 式子是否齊次：看每一項(xiàng)（除了常數(shù)項(xiàng)）的系數(shù)是否一樣（合角公式第二條：齊一次），若是同一個(gè)角（之前不是確定了研究對(duì)象了么）的齊二次式或是齊一次式，那么很有可能要使用合角公式，其結(jié)果成為的形式. 例如：齊二次式：， 齊一次式： （2）向“同角齊次正余全”靠攏，能拆就拆，能降冪就降冪：常用到前面的公式，（還有句老話：平方降冪） 2.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則 （1）一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過(guò)看角之間的區(qū)別和聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式； （2）而看“函數(shù)名稱”看函數(shù)名稱之間的差異

6、，從而確定使用公式，常見(jiàn)的有“切化弦”； （3）三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式通分”等. 3.變換技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝－；＝. （3）化簡(jiǎn)技巧：切化弦、“1”的代換等 4.的常規(guī)求法： （1）： ① 對(duì)于可通過(guò)觀察在一個(gè)周期中所達(dá)到的波峰波谷（或值域）得到 ② 對(duì)于可通過(guò)一個(gè)周期中最大，最小值進(jìn)行求解： （2）：由可得：只要確定了的周期，即可立刻求出，而的值可根據(jù)對(duì)稱軸（最值點(diǎn)）和對(duì)稱中心（零點(diǎn)）的距離進(jìn)行求解 ① 如果相鄰的兩條對(duì)稱軸為，則 ② 如果相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心為，則 ③ 如果

7、相鄰的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心分別為，則 注：在中，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)等價(jià)，對(duì)稱中心與零點(diǎn)等價(jià). （3）：在圖像或條件中不易直接看出的取值，通?？赏ㄟ^(guò)代入曲線上的點(diǎn)進(jìn)行求解，要注意題目中對(duì)的限制范圍 1．【浙江省金華十校2018年4月高考模擬】在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則__________，__________． 【答案】 0 2.【浙江省金華十校2018年4月高考模擬】已知函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期__________，在區(qū)間上的值域?yàn)開(kāi)_________． 【答案】 【解析】函數(shù)的解析式： ∴函數(shù)

8、f(x)的最小正周期 ∴當(dāng)時(shí),， 當(dāng)時(shí),，但取不到.所以值域?yàn)? 3．【2018屆浙江省紹興市5月調(diào)測(cè)】已知函數(shù)，則____，該函數(shù)的最小正周期為_(kāi)____． 【答案】 0 【解析】分析：由題意首先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合函數(shù)的解析式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果. 詳解：由題意可得： . 則， 函數(shù)的最小正周期為：. 4．【2017屆四川省成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校4月月考】在平面直角坐標(biāo)系中，若角的始邊為軸的非負(fù)半軸，其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn). （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）2；（2）. 【解析】試題分析：（1）直接根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義求解即可．（

9、2）利用誘導(dǎo)公式化解，“弦化切”的思想即可解決． 試題解析：(1)由任意三角函數(shù)的定義可得： . (2) 原式 5．【2017屆江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬二】已知角的終邊上有一點(diǎn)， （1）求的值；（2）求的值． 【答案】（1）3; （2） 【解析】【試題分析】（1）先依據(jù)正切函數(shù)的定義求出；（2）依據(jù)求得，繼而求出 ． 解：根據(jù)題意， （1）； （2） ． 6．【2018屆江蘇省鹽城中學(xué)全仿真模擬】在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊作角，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn). (I)求的值；(Ⅱ)求的值. 【答案】(1)；(2). 【解析】分析：（1）由于角其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)

10、，故，，再利用兩角和與差的正余弦公式即可； (2) . 則 ， . 7．【浙江省杭州市2016-2017學(xué)年高二下學(xué)期期末】設(shè)A是單位圓O和x軸正半軸的交點(diǎn)，P，Q是圓O上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOP=，∠AOQ=α，α∈[0， ]． （1）若Q，求cos（α﹣）的值； （2）設(shè)函數(shù)f（α）=sinα?（ ），求f（α）的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】試題分析：（1）由三角函數(shù)定義得，再根據(jù)兩角差余弦公式得cos（α﹣）的值；（2）先根據(jù)向量數(shù)量積得，再利用二倍角公式、配角公式得，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求值域 試題解析：（1）由已知得 （2）

11、 8．【2018屆浙江省紹興市3月模擬】已知函數(shù) . （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（1）第（Ⅰ）問(wèn)，直接化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用三角函數(shù)的周期公式求解. (2)第（Ⅱ）問(wèn)，先解方程得到的值，再求的值. 試題解析：（Ⅰ） . 即. 所以的最小正周期. （Ⅱ）由，得， 又因?yàn)?， 所以，即. 所以 . 9.【2018屆浙江省杭州市第二次檢測(cè)】已知函數(shù) (Ⅰ）求的最小正周期和最大值; (Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間 【答案】（Ⅰ）最小正周期是，最大值是2．（Ⅱ） 【解析】試題分析：利用兩角和與差的余弦

12、公式，二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，即可得到的最小正周期和最大值先求出，再求單調(diào)區(qū)間 解析：（Ⅰ）因?yàn)椋? 所以. 所以函的最小正周期是，最大值是2． （Ⅱ）因?yàn)椋? 所以單調(diào)遞減區(qū)間為 10．【2018屆浙江省溫州市9月一模】已知函數(shù)． （1）求的值； （2）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間． 【答案】（1） ；（2），（）． 【解析】試題分析：（1）將代入，由兩角和的余弦公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)可得結(jié)果；（2）將展開(kāi)與相乘后利用余弦的二倍角公式以及輔助角公式可得，根據(jù)周期公式可得的最小正周期，根據(jù)利用正弦函數(shù) 的單調(diào)性，解不等式即可得到單調(diào)遞增區(qū)間. 試題解析：（1）

13、 ． （2） ． 所以，的最小正周期為， 當(dāng)（）時(shí)，單調(diào)遞增， 即的單調(diào)遞增區(qū)間為（）． 11.【騰遠(yuǎn)2018年（浙江卷）紅卷】已知函數(shù). （1）求的值； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）1；（2）. 【解析】分析：（1）由三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)得，即可求解的值； （2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，得，即可求解的取值范圍. 詳解：（1） ， 則. （2）由（1）得， 當(dāng)時(shí)，， 則， 即的取值范圍為. 12．【2018屆浙江省寧波市高三上期末】已知函數(shù). （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值與最小值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)最大值，最小值為. （Ⅱ）因?yàn)?，所? 當(dāng)，即時(shí)， 取得最大值； 當(dāng)，即時(shí)， . 即的最小值為.