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1、（浙江專版）2022年高考數(shù)學 母題題源系列 專題12 解三角形 【母題原題1】【2018浙江，13】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a=，b=2，A=60°，則sin B=___________，c=___________． 【答案】 (1). (2). 3 【解析】分析:根據(jù)正弦定理得sinB,根據(jù)余弦定理解出c. 詳解：由正弦定理得,所以 由余弦定理得（負值舍去）. 【母題原題2】【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2.?點D為AB延長線上一點，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是___________,cos

2、∠BDC=__________. 【答案】 【解析】取BC中點E，由題意： ， △ABE中， ，∴， ∴． ∵，∴， 解得或（舍去）． 綜上可得，△BCD面積為， ． 【名師點睛】利用正、余弦定理解決實際問題的一般思路：（1）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步解其他三角形，有時需要設出未知量，從幾個三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要的解． 【母題原題3】【2016浙江，理16】在中，內(nèi)角

3、所對的邊分別為，已知． （1）證明： ； （2）若的面積，求角的大?。? 【答案】（1）證明見解析；（2）或. 【解析】試題分析：（1）由正弦定理得，進而得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得結(jié)論；（2）由得，再根據(jù)正弦定理得及正弦的二倍角公式得，進而得討論得結(jié)果. （2）由得，故有，因，得．又，所以．當時， ；當時， ． 綜上， 或． 【母題原題4【2016浙江，文16】在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b+c="2acos" B. （Ⅰ）證明：A=2B； （Ⅱ）若cos B=，求cos C的值． 【答案】（Ⅰ）證明詳見解析；（Ⅱ） . 【解析】試題分析：本

4、題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦和余弦定理等基礎知識，同時考查運算求解能力. 試題解析：（Ⅰ）由正弦定理得， 故， 于是， 又，故，所以或， 因此（舍去）或， 所以， . 【思路點睛】（Ⅰ）用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，進而用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有， 的式子，根據(jù)角的范圍可證；（Ⅱ）先用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式可得，進而可得和，再用兩角和的余弦公式可得． 【命題意圖】1.考查三角公式、正弦定理、余弦定理及其應用；2.考查式子變形運算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想以及分析問題解決問題的能力. 【命題規(guī)律】高考對正弦定理和余弦定理的考查較為靈活，題型多變，

5、選擇題、填空題的形式往往獨立考查正弦定理或余弦定理，解答題往往綜合考查定理在確定三角形邊角中的應用，多與三角形周長、面積有關(guān)；有時也會與平面向量、三角恒等變換等結(jié)合考查，試題難度控制在中等以下，主要考查靈活運用公式求解計算能力、推理論證能力、數(shù)學應用意識、數(shù)形結(jié)合思想等． 【答題模板】解答解三角形大題，一般考慮如下三步： 第一步：分析圖形特征，選擇適用公式.即根據(jù)三角形的形狀、已知條件，確定選用何種三角公式、定理； 第二步：正確運用公式，實施邊角轉(zhuǎn)化.根據(jù)已有條件，利用三角公式、正弦定理或余弦定理，將問題向邊或角實施轉(zhuǎn)化； 第三步：運算求解.根據(jù)題目要求，進一步求解. 【方法總結(jié)】

6、 1.化簡三角函數(shù)式的規(guī)律 一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理地拆分，從而正確使用公式 二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“弦切互化” 三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被開方式為完全平方式”等 2. 化簡三角函數(shù)式注意事項：(1)常用技巧：弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪，“1”的代換等. (2)根式的化簡常常需要升冪去根號，在化簡過程中注意角的范圍，以確定三角函數(shù)值的正負. 3.正、余弦定理的適用條件 ①“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對

7、角”應采用正弦定理． ②“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應采用余弦定理． 4.三角形面積公式的應用原則 ①對于面積公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式． ②與面積有關(guān)的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進行邊和角的互化． 5. 利用正弦定理與余弦定理解題,經(jīng)常需要轉(zhuǎn)化思想,一種是邊轉(zhuǎn)化為角,另一種是角轉(zhuǎn)化為邊.具體情況應根據(jù)題目給定的表達式進行確定,不管哪個途徑,最終轉(zhuǎn)化為角的統(tǒng)一或邊的統(tǒng)一,在解題過程中常用到以下規(guī)律: (1)分析已知等式中的邊角關(guān)系,若要把“邊”化為“角”,常利用“”,若要把“角”化為“邊”,常

8、利用sin A=,sin B=,sin C=,cos C=等. (2)如果已知等式兩邊有齊次的邊的形式或齊次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理進行邊角互換.如果已知中含有形如為常數(shù))的代數(shù)式,一般向余弦定理靠攏. (3)余弦定理與完全平方式相聯(lián)系可有: .可聯(lián)系已知條件,利用方程思想進行求解三角形的邊;與重要不等式相聯(lián)系,由,得,可探求邊或角的范圍問題. 1．【2018屆騰遠（浙江卷）紅卷】在中，內(nèi)角所對的邊分別是，若，則角的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2．【2018屆遼寧省凌源市上期末】在中，角的對邊分別為，且的面積，且，

9、則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由題意得，三角形的面積，所以， 所以， 由余弦定理得，所以，故選B. 3．【2018屆青海省西寧市二?！吭谥?，內(nèi)角的對邊分別為，若，且的面積為，則________________． 【答案】 【解析】分析：先利用三角形的面積公式得到，再利用正弦定理將邊角公式轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，進而利用余弦定理進行求解． 詳解：因為的面積為， 所以， 即， 由， 得， 即， 則． 4．【2018屆河南省最后一次模擬】已知的內(nèi)角的對邊分別為,且 ，則__________． 【答案】 【解析】

10、分析：由題意結(jié)合正弦定理角化邊可得，結(jié)合余弦定理求得c的長度，最后利用正弦定理即可求得最終結(jié)果. 詳解：因為 ,所以. 由余弦定理得 ，又，所以. ，所以. 由正弦定理得，即，解得. 5．【2018屆浙江省教育綠色評價聯(lián)盟5月適應性】在△中，內(nèi)角的對邊分別為．已知，，，則______，______． 【答案】 【解析】分析：由，，，利用正弦定理和余弦定理及三角形的面積公式可求出結(jié)果. 詳解：由于， 則，解得， 由于，利用正弦定理， 則，整理得， 解得，由， 解得，， 則，故答案為 ，. 6．【2018屆浙江省杭州市第二次檢測】設內(nèi)切圓與外接圓的半徑分別

11、為與.且則=_________；當時，的面積等于__________． 【答案】 - 【解析】 令，， 則， 7．【浙江省嵊州市高三上期末】在中，內(nèi)角， ， 所對的邊分別為， ， ，若， ， ，則__________， __________. 【答案】 3 【解析】 ， ，由余弦定理可得，即，得或（舍去），由正弦定理得，得，故答案為(1) ，(2) 3. 8．【2018屆浙江省杭州市學軍中學5月模擬】已知中，角的對邊分別為，且滿足，則__________，__________． 【答案】 . 2. 【解析】分析：由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應用

12、可得sin（2A+）=，可求范圍：2A+∈（，），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求A的值，利用三角形面積公式可求c的值，進而利用余弦定理可求a的值，根據(jù)比例的性質(zhì)及正弦定理即可計算得解． 詳解：∵，可得：cos2A+sin2A=1， ∴sin（2A+）=， ∵0＜A＜π，可得：2A+∈（，）， ∴2A+=，可得：A=． ∵b=1，S△ABC==bcsinA=，∴c=2， ∴由余弦定理可得：a==， ∴ 故答案為：，2． 9.【2018屆寧夏石嘴山市4月一?！吭谥?，內(nèi)角的對邊是，若，則等于__________． ·【答案】 10．【2018屆北京市豐臺區(qū)一?！吭凇髦?， ，

13、，且，則____． 【答案】 【解析】在△中， ， ，且,故 故答案為： . 點睛：本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應用與特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題. 對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應用. 11.【2018年河南省濮陽市升級考試】在中，，，分別為角，，所對的邊長，已知的周長為，，且的面積為. （Ⅰ）求邊的長； （Ⅱ）求角的余弦值. 【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ). 【解析】分析：（Ⅰ）由三角形周長得到三邊之和，已知等式利用正弦定理

14、化簡得到關(guān)系式，兩式聯(lián)立求出AB的長即可； （Ⅱ）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把已知面積代入求出，，利用余弦定理表示出. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：， 又，得， . 12.【2018屆寧夏回族自治區(qū)銀川一中考前訓練】已知△內(nèi)角，，的對邊分別為，，，． （1）求； （2）若，，求△的面積． 【答案】（1）；（2）. 【解析】分析：（1）先根據(jù)二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系得，解得A;（2）根據(jù)正弦定理得，再根據(jù)余弦定理得，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果. 詳解： （1）由于，所以，．因為，故．