《（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第六章 數列 第34講 數列求和導學案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新課標）2021版高考數學一輪總復習 第六章 數列 第34講 數列求和導學案 新人教A版（11頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第34講　數列求和 【課程要求】 1．熟練掌握等差、等比數列前n項和公式． 2．熟練掌握非等差、等比數列求和的幾種方法，如錯位相減、裂項相消以及分組求和等． 對應學生用書p91 【基礎檢測】 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)如果數列{an}為等比數列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝.(　　) (2)當n≥2時，＝2.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據錯位相減法求得．(　　) (4)數列的前n項和為n2＋.(　　) (5)推導等差數列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此

2、法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　) (6)如果數列{an}是周期為k的周期數列，那么Skm＝mSk(m，k為大于1的正整數)．(　　) [答案] (1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ 2．[必修5p61A組T4(3)]1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)． [解析]設Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，① 則xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，② ①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn ＝－nxn， ∴Sn＝－. [答案]

3、－ 3．[必修5p61A組T5]一個球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當它第10次著地時，經過的路程是(　　) A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9) C．200(1－2－9) D．100(1－2－9) [解析]第10次著地時，經過的路程為100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×＝100＋200(1－2－9)． [答案]A 4.＋＋＋＋…＋＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.B. C.D. [解析]因為＋＋＋…＋

4、 ＝ ＝ ＝ ＝. [答案]C 5．設f(x)＝，利用倒序相加法，則f＋f＋f＋…＋f＝________． [解析]當x1＋x2＝1時，f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝＝1. 設S＝f＋f＋f＋…＋f， 倒序相加有 2S＝＋＋…＋＝2020，即S＝1010. [答案]1010 6．數列{an}的通項公式為an＝ncos，其前n項和為Sn，則S2019＝________． [解析]因為數列an＝ncos呈周期性變化，觀察此數列規(guī)律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4. 故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2. ∴S2019＝S2020－a2020＝505×2－2

5、020·cosπ ＝－1010. [答案]－1010 【知識要點】 求數列前n項和的基本方法 (1)公式法 數列{an}為等差或等比數列時直接運用其前n項和公式求和． 若{an}為等差數列，則Sn＝＝__na1＋d__． 若{an}為等比數列，其公比為q， 則當q＝1時，Sn＝__na1__({an}為常數列)； 當q≠1時，Sn＝____＝____． (2)裂項相消求和法 數列{an}滿足通項能分裂為兩項之差，且分裂后相鄰的項正負抵消從而求得其和． (3)倒序相加法 如果一個數列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前

6、n項的和即可用倒序相加法，如等差數列前n項和公式就是用此法推導的． (4)錯位相減法 如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的． (5)分組轉化求和法 一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和然后相加減． (6)并項求和法 一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱為并項求和法．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋9

7、7)＋…＋(2＋1)＝5050. 對應學生用書p92 分組轉化法求和 例1　已知等差數列的前n項和為Sn，等比數列的前n項和為Tn.若a1＝b1＝3，a4＝b2，S4－T2＝12. (1)求數列與的通項公式； (2)求數列的前n項和． [解析] (1)由a1＝b1，a4＝b2， 則S4－T2＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(b1＋b2)＝a2＋a3＝12， 設等差數列的公差為d， 則a2＋a3＝2a1＋3d＝6＋3d＝12，所以d＝2. 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. 設等比數列的公比為q，由題b2＝a4＝9， 即b2＝b1q＝3q＝9，所以q＝3. 所

8、以bn＝3n. (2)an＋bn＝(2n＋1)＋3n， 所以的前n項和為 (a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn) ＝(3＋5＋…＋2n＋1)＋(3＋32＋…＋3n) ＝＋＝n(n＋2)＋. [小結]一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或其他可求和的數列構成可以用分組求和法，分別求和再相加減． 1．等差數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}是等比數列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3. (1)求數列{an}和{bn}的通項公式； (2)令cn＝設數列{cn}的前n項和為Tn，求T2n. [解析] (1)設數列{an}的

9、公差為d，數列{bn}的公比為q， 由得解得 ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1. (2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝＝n(n＋2)， 則cn＝ 即cn＝ ∴T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n) ＝＋ (2＋23＋…＋22n－1) ＝1－＋＝＋(4n－1)． 錯位相減法求和 例2　(2017·山東理)已知{an}是各項均為正數的等比數列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求數列{an}的通項公式； (2){bn}為各項非零的等差數列，其前n項和為Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數列的前n項和Tn. [

10、解析] (1)設{an}的公比為q， 由題意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2. 又an＞0，解得a1＝2，q＝2， 所以an＝2n. (2)由題意知， S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1， 又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以bn＝2n＋1. 令cn＝，則cn＝， 因此Tn＝＋＋＋…＋＋， 又Tn＝＋＋＋…＋＋， 兩式相減得 Tn＝＋－ ＝＋1－－ ＝－， 所以Tn＝5－. [小結]用錯位相減法求和應注意的問題 (1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形． (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以

11、便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式． (3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解． 2．化簡Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的結果是(　　) A．2n＋1＋n－2B．2n＋1－n＋2 C．2n－n－2D．2n＋1－n－2 [解析]因為Sn＝n＋(n－1)×2＋…＋2×2n－2＋2n－1，① 2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋…＋2×2n－1＋2n，② 所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2. [答案]D 裂項相消法求和

12、 例3　已知數列{an}滿足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，數列{bn}滿足b1＝2，bn＋1＝bn＋an－n，n∈N*. (1)證明：{an－n}為等比數列； (2)數列{cn}滿足cn＝，求數列{cn}的前n項和Tn. [解析] (1)因為an＋1＝2an－n＋1，所以an＋1－(n＋1)＝2(an－n)． 又a1＝3，所以a1－1＝2， 所以數列{an－n}是以2為首項，2為公比的等比數列． (2)由(1)知，an－n＝2·2n－1＝2n，an＝2n＋n， 所以bn＋1＝bn＋an－n＝bn＋2n，即bn＋1－bn＝2n. b2－b1＝21，b3－b2＝22，b4－b

13、3＝23，…，bn－bn－1＝2n－1. 以上式子相加，得bn＝2＋＝2n(n≥2)． 當n＝1時，b1＝2，滿足bn＝2n， 所以bn＝2n. 所以cn＝＝＝－. 所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－. [小結]常見的拆項公式有： (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝(－)． (5)C＝C－C. (6)n·n！＝(n＋1)?。璶！. (7)an＝Sn－Sn－1(n≥2)． 3．已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且a＋2an＝4Sn. (1)求Sn； (2)設bn＝(＋)·，求數列的前n項和Tn. [解析] (1)由題意得 兩式作差得(a

14、n＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0， 又數列{an}各項均為正數，所以an＋1－an－2＝0， 即an＋1－an＝2. 當n＝1時，有a＋2a1＝4S1＝4a1，得a1(a1－2)＝0，則a1＝2， 故數列{an}是首項為2，公差為2的等差數列， 所以Sn＝na1＋d＝n2＋n. (2)＝·＝＝－， 所以Tn＝＝＝1－. 并項法求和 例4　已知數列滿足a1＝1，2anan＋1＋3an＋1＝3an. (1)求的通項公式； (2)若cn＝，求的前2n項的和T2n. [解析] (1)由2anan＋1＋3an＋1＝3an，得＝＋， 所以－＝， 所以數列是首項為1，公差

15、為的等差數列， 所以＝1＋＝n＋，即an＝. (2)設c2n－1＋c2n＝－＝， 因為－＝－，所以c2n－1＋c2n＝－·， T2n＝－＋－＋…＋－ ＝－ ＝－×＝－n2－n. [小結]用并項法求和時，要注意可能要分類討論． 4．已知數列{an}的首項為a1＝1，其前n項和為Sn，且數列是公差為2的等差數列． (1)求數列{an}的通項公式； (2)若bn＝an，求數列的前n項和Tn. [解析] (1)∵數列是公差為2的等差數列，且＝a1＝1， ∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴Sn＝2n2－n ∴當n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－n－＝4n－3

16、. ∵a1＝1符合an＝4n－3， ∴an＝4n－3. (2)由(1)可得bn＝an＝·. 當n為偶數時，Tn＝＋＋…＋＝4×＝2n； 當n為奇數時，n＋1為偶數， Tn＝Tn＋1－bn＋1＝2－＝－2n＋1. 綜上所述，Tn＝ 對應學生用書p94 1．(2017·全國卷Ⅱ理)等差數列{an}的前n項和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝________． [解析]設等差數列的首項為a1，公差為d， 由題意有：解得 數列的前n項和Sn＝na1＋d＝n×1＋×1＝. 裂項有：＝＝2， 據此：＝2 ＝2＝. [答案] 2．(2019·天津理)設是等差數列，是等比數列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2－2，b3＝2a3＋4. (1)求和的通項公式； (2)設數列滿足c1＝1，cn＝其中k∈N*. (i)求數列的通項公式； (ii)求a2i ＝＋ ＝＋9×－n ＝27×22n－1＋5×2n－1－n－12. 11