《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 解析幾何初步 2-1-3 兩條直線的位置關(guān)系學(xué)案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 解析幾何初步 2-1-3 兩條直線的位置關(guān)系學(xué)案 北師大版必修2（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1.3　兩條直線的位置關(guān)系 1．兩條直線平行 (1)兩條不重合直線l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，若l1∥l2，則k1＝k2；反之，若k1＝k2，則l1∥l2(如下圖)． (2)如果l1，l2的斜率都不存在，那么它們的傾斜角都是90°，從而它們互相平行或重合． 2．兩條直線垂直 一般地，設(shè)直線l1：y＝k1x＋b1，直線l2：y＝k2x＋b2. 若l1⊥l2，則k1·k2＝－1；反之，若k1·k2＝－1，則l1⊥l2. 特別地，對于直線l1：x＝a，直線l2：y＝b，由于l1⊥x軸，l2⊥y軸，所以l1⊥l2. 1．如圖，設(shè)對于兩條

2、不重合的直線l1與l2，其傾斜角分別為α1與α2，斜率分別為k1與k2，若l1∥l2，α1與α2之間有什么關(guān)系？k1與k2之間有什么關(guān)系？ [答案]　α1與α2之間的關(guān)系為α1＝α2；對于k1與k2之間的關(guān)系，當(dāng)α1＝α2≠90°時，k1＝k2，因為α1＝α2，所以tanα1＝tanα2，即k1＝k2.當(dāng)α1＝α2＝90°時，k1與k2不存在． 2．若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)，則與l平行的直線方程有什么特征？與l垂直的直線方程呢？ [答案]　與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程

3、可設(shè)為Bx－Ay＋C1＝0. 3．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)對于兩條不重合的直線l1與l2，若k1＝k2，則l1∥l2.(　　) (2)若兩條直線l1∥l2，則k1＝k2.(　　) (3)若兩條直線l1⊥l2，則k1k2＝－1.(　　) (4)若兩條直線l1、l2的斜率k1、k2滿足k1k2＝－1，則l1⊥l2.(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 題型一兩條直線平行的判定及應(yīng)用 【典例1】　(1)求過點(1,2)且與直線2x＋y－1＝0平行的直線方程； (2)已知過點A(－2，m)和B(m,4)的直線與直線2x＋y－1＝0平

4、行，求m的值． [思路導(dǎo)引]　直線l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，有l(wèi)1∥l2? [解]　(1)已知直線的斜率是－2，因為所求直線與已知直線平行，所以它的斜率也是－2. 根據(jù)點斜式，得所求直線的方程是y－2＝－2(x－1)， 即2x＋y－4＝0. (2)已知直線的斜率為－2，因為所求直線與已知直線平行，所以它的斜率也是－2. 由斜率公式得＝－2， 解得m＝－8. (1)已知兩直線平行，求方程中的參數(shù)值時，通常有兩種方法：一是對兩直線的斜率是否存在進(jìn)行討論，分斜率存在、斜率不存在兩種情況分別求解；二是直接根據(jù)條件A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1進(jìn)

5、行求解． (2)求出參數(shù)值后要將參數(shù)代入直線方程，檢驗兩直線是否真正平行，排除它們重合的情況． (3)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0(m≠C)． 題型二兩條直線垂直的判定及應(yīng)用 【典例2】　(1)求過點P(1，－1)且與直線2x＋3y＋1＝0垂直的直線方程； (2)若直線l經(jīng)過點(a－2，－1)和(－a－2,1)，且與經(jīng)過點(－2,1)、斜率為－的直線垂直，求實數(shù)a的值． [思路導(dǎo)引]　若l1與l2斜率存在，l1⊥l2?k1k2＝－1. [解]　(1)直線2x＋3y＋1＝0的斜率為－， ∵所求直線與已知直線2x＋3y＋1＝0垂直， ∴所求直線的

6、斜率k滿足k·＝－1， 即k＝. 由點斜式方程，得y－(－1)＝(x－1)， 即3x－2y－5＝0. (2)直線l的斜率為＝－. ∵兩直線互相垂直，∴－·＝－1， ∴a＝－. (1)判斷兩直線是否垂直的方法 ①若所給的直線方程都是一般式方程，則運用條件：l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0判斷； ②若所給的直線方程都是斜截式方程，則運用條件：l1⊥l2?k1·k2＝－1判斷； ③若所給的直線方程不是以上兩種情形，則把直線方程化為一般式再判斷． (2)已知兩直線垂直求方程中的參數(shù)值時，通常也有兩種方法，一是根據(jù)k1k2＝－1建立方程求解，但需注意斜率不存在的情

7、況；二是直接利用A1A2＋B1B2＝0求解． (3)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋m＝0. 題型三平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用 【典例3】　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四點，若順次連接ABCD四點，試判定圖形ABCD的形狀． [思路導(dǎo)引]　分別求kAB，kBC，kCD，通過斜率的關(guān)系判定四邊形ABCD形狀． [解]　由題意知A，B，C，D四點在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置， 如圖，由斜率公式可得kAB＝＝， kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－. 所以kAB＝kCD，由圖可知AB與CD不重合，所以AB∥CD， 由kAD≠kB

8、C，所以AD與BC不平行． 又因為kAB·kAD＝×(－3)＝－1， 所以AB⊥AD，故四邊形ABCD為直角梯形． (1)利用直線的斜率判定平面圖形的形狀一般要運用數(shù)形結(jié)合的方法，先由圖形作出猜測，然后利用直線的斜率關(guān)系進(jìn)行判定． (2)由幾何圖形的形狀求參數(shù)(一般是點的坐標(biāo))時，要根據(jù)圖形的特征確定斜率之間的關(guān)系，既要考慮斜率是否存在，又要考慮到圖形可能出現(xiàn)的各種情形． [針對訓(xùn)練3]　已知△ABC的頂點A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC為直角三角形，求m的值． [解]　若∠A為直角，則AC⊥AB， 所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7；

9、 若∠B為直角，則AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1， 即·＝－1，得m＝3； 若∠C為直角，則AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1， 即·＝－1，得m＝±2. 綜上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2. 1．直線l過點(－1,2)且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則直線l的方程是 (　　) A．2x－3y＋5＝0 B．2x－3y＋8＝0 C．3x＋2y－1＝0 D．3x＋2y＋7＝0 [解析]　設(shè)直線l的方程為3x＋2y＋c＝0， 將點(－1,2)代入得－3＋4＋c＝0， ∴c＝－1， ∴直線l的方程為3x＋2y－1＝0，故選C. [答案]　C 2．經(jīng)過兩點A(2

10、,3)，B(－1，x)的直線l1與直線l2y＝－x＋1平行，則實數(shù)x的值為(　　) A．0 B．－6 C．6 D．3 [解析]　直線l1的斜率k1＝＝，由題意可知＝－1，∴x＝6. [答案]　C 3．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)為頂點的三角形是(　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．以A點為直角頂點的直角三角形 D．以B點為直角頂點的直角三角形 [解析]　kAB＝＝－，kAC＝＝， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A為直角． [答案]　C 4．若直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行，則a＝________.

11、 [解析]　因為l1∥l2，所以a2－2＝－1，且2a≠2， 解得a＝－1，所以a＝－1時兩直線平行． [答案]?。? 課后作業(yè)(二十) (時間45分鐘) 學(xué)業(yè)水平合格練(時間20分鐘) 1．過點M(－3,2)，且與直線x＋2y－9＝0平行的直線方程是(　　) A．2x－y＋8＝0 B．x－2y＋7＝0 C．x＋2y＋4＝0 D．x＋2y－1＝0 [解析]　設(shè)所求直線方程為x＋2y＋m＝0，∵直線過點M(－3,2)．∴－3＋2×2＋m＝0，m＝－1，∴直線方程為x＋2y－1＝0. [答案]　D 2．直線l1、l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的兩根，則l1與l2的位置關(guān)系

12、是 (　　) A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 [解析]　設(shè)方程x2－3x－1＝0的兩根為x1、x2，則x1x2＝－1. ∴直線l1、l2的斜率k1k2＝－1， 故l1與l2垂直． [答案]　D 3．直線l垂直于直線y＝x＋1，且l在y軸上的截距為，則直線l的方程是(　　) A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0 [解析]　解法一：因為直線l與直線y＝x＋1垂直，所以設(shè)直線l的斜率為－1，又l在y軸上截距為，所以所求直線l的方程為y＝－x＋，即x＋y－＝0. 解法二：將直線y＝x＋1化為一般式x－y＋1＝0，因

13、為直線l垂直于直線y＝x＋1，可以設(shè)直線l的方程為x＋y＋c＝0，令x＝0，得y＝－c，又直線l在y軸上截距為，所以－c＝，即c＝－，所以直線l的方程為x＋y－＝0. [答案]　A 4．若直線ax＋2y＋1＝0與直線x＋y－2＝0互相垂直，則a的值為(　　) A．1 B．－ C．－ D．－2 [解析]　由題意，得×(－1)＝－1，a＝－2. [答案]　D 5．已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，則△ABC的BC邊上的高所在直線方程為(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0 [解析]　kBC＝＝－1，∴高所在直線斜

14、率為1，∴方程為y－1＝1×(x＋1)，即x－y＋2＝0. [答案]　B 6．已知A(2,0)，B(3，)，直線l∥AB，則直線l的傾斜角為________． [解析]　kAB＝＝，由直線l∥AB，則kl＝， ∴l(xiāng)的傾斜角為60°. [答案]　60° 7．若直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直，則a＝________. [解析]　由題意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4. ∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝. [答案]　 8．與直線l：y＝x＋1平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為1的直線l1的方程為________________． [解析

15、]　根據(jù)題意知直線l的斜率k＝， 故直線l1的斜率k1＝，設(shè)直線l1的方程為y＝x＋b1， 則令y＝0得它在x軸上的截距a1＝－b1. ∵a1＋b1＝－b1＋b1＝－b1＝1，∴b1＝－3. ∴直線l1的方程為y＝x－3. [答案]　y＝x－3 9．求m、n的值，使直線l1：y＝(m－1)x－n＋7滿足： (1)平行于x軸； (2)平行于直線l2：7x－y＋15＝0； (3)垂直于直線l2：7x－y＋15＝0. [解]　(1)當(dāng)m＝1且n≠7時，l1平行于x軸． (2)7x－y＋15＝0化為斜截式：y＝7x＋15，當(dāng)l1∥l2時，應(yīng)有m－1＝7且－n＋7≠15，所以m＝8

16、，n≠－8. (3)當(dāng)(m－1)·7＝－1，即m＝，n∈R時，l1⊥l2. 10．已知直線l的方程為x＋2y－1＝0，點P的坐標(biāo)為(1，－2)． (1)求過P點且與直線l平行的直線方程； (2)求過P點且與直線l垂直的直線方程． [解]　(1)設(shè)過P點且與直線l平行的直線方程為x＋2y＋m＝0， 則1＋2×(－2)＋m＝0，即m＝3， 所以過P點且與直線l平行的直線方程為x＋2y＋3＝0. (2)設(shè)過P點且與直線l垂直的直線方程為2x－y＋n＝0， 則2×1－(－2)＋n＝0，即n＝－4， 所以過P點且與直線l垂直的直線方程為2x－y－4＝0. 應(yīng)試能力等級練(時間25分

17、鐘) 11．直線x＋a2y＋6＝0和直線(a－2)x＋3ay＋2a＝0沒有公共點，則a的值是(　　) A．1 B．0 C．－1 D．0或－1 [解析]　兩直線無公共點，即兩直線平行， ∴1×3a－a2(a－2)＝0， ∴a＝0或－1或3，經(jīng)檢驗知a＝3時兩直線重合． [答案]　D 12．已知直線x＋3y－7＝0，kx－y－2＝0與x軸，y軸圍成的四邊形有外接圓，則實數(shù)k等于(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 [解析]　因四邊形有外接圓，且x軸與y軸垂直，則直線x＋3y－7＝0和kx－y－2＝0垂直， ∴k·＝－1，解得k＝3. [答案]　B 13．已知△A

18、BC的頂點B(2,1)，C(－6,3)，其垂心為H(－3,2)，則其頂點A的坐標(biāo)為(　　) A．(－19，－62) B．(19，－62) C．(－19,62) D．(19,62) [解析]　設(shè)A(x，y)，由已知，得AH⊥BC，BH⊥AC，且直線AH，BH的斜率存在，所以 即 解得即A(－19，－62)． [答案]　A 14．若三條直線2x－y＋4＝0，x－y＋5＝0和2mx－3y＋12＝0圍成直角三角形，則m＝________. [解析]　設(shè)l1：2x－y＋4＝0，l2：x－y＋5＝0， l3：2mx－3y＋12＝0，l1不垂直于l2，要使圍成的三角形為直角三角形，則l3⊥

19、l1或l3⊥l2. 由l3⊥l1得2×m＝－1，∴m＝－； 由l3⊥l2得1×m＝－1，∴m＝－. [答案]?。颍? 15．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三點． (1)求點D，使直線CD⊥AB，且BC∥AD； (2)判斷此時四邊形ACBD的形狀． [解]　 (1)如右圖，設(shè)D(x，y)， 則由CD⊥AB，BC∥AD 可知 得 解得即D點坐標(biāo)為(0,1)． (2)∵kAC＝＝，kBD＝＝， ∴kAC＝kBD，∴AC∥BD. ∴四邊形ACBD為平行四邊形． 而kBC＝＝－2，∴kBC·kAC＝－1. ∴AC⊥BC.∴四邊形ACBD是矩形． 又CD⊥AB，∴四邊形ACBD是正方形． 11