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1、2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 分類練習(xí) 二次函數(shù)壓軸題
1.已知二次函數(shù)y=x2-(a-1)x+a-2,其中a是常數(shù).
(1)求證:不論a為何值,該二次函數(shù)的圖象與x軸一定有公共點(diǎn);
(2)當(dāng)a=4時,該二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為A,與x軸交于B,D兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),求四邊形ABCD的面積.
2.已知拋物線y=x2+1如圖所示
(1)填空:拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( , ?。?,對稱軸是 ;
(2)如圖,已知y軸上一點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)P在拋物線上,過點(diǎn)P作PB⊥x軸,垂足為B.若△PAB是等邊三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖,在第
2、二問的基礎(chǔ)上,在拋物線有一點(diǎn)C(x,y),連接AC、OC、BC、PC,當(dāng)△OAC的面積等于△BCP的面積時,求C的橫坐標(biāo).
3.已知二次函數(shù)是常數(shù).
(1)求該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)用含的代數(shù)式表示;
(2)當(dāng)為何值時,函數(shù)圖像的頂點(diǎn)C在第二、四象限的角平分線上?
4.已知二次函數(shù)為常數(shù),且的圖像與x軸交于A,B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為D.
(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);
(2)過點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為E.若△CBO與△DAE相似O為坐標(biāo)原點(diǎn),試討論與的關(guān)系;
(3)在同一直角坐標(biāo)系
3、中,若該二次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像組合成一個新的圖像,則這個新圖形的對稱軸為 .
5.閱讀材料,解答問題.
例 用圖像法解一元二次不等式:x2-2x-3>0.
解:設(shè)y=x2-2x-3,則y是x的二次函數(shù).
∵a=1>0,∴拋物線開口向上,
又∵當(dāng)y=0時,x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3.
∴由此得拋物線y=x2-2x-3的大致圖像如圖12所示,
觀察函數(shù)圖像可知:當(dāng)x<-1或x>3時,y>0.
∴x2-2x-3>0的解集是:x<-1或x>3.
(1)觀察圖像,直接
4、寫出一元二次不等式:x2-2x-3<0的解集是________.
(2)仿照上例,用圖像法解一元二次不等式:x2-1>0.
6.如圖①已知拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y的正半軸交于點(diǎn)C,連結(jié)BC,二次函數(shù)的對稱軸與x軸的交點(diǎn)E.
(1)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)E坐標(biāo)為 ,點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ?。?
(2)若以E為圓心的圓與y軸和直線BC都相切,試求出拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,如圖②Q(m,0)是x的正半軸上一點(diǎn),過點(diǎn)Q作y軸的平行線,與直線BC交于點(diǎn)M,與
5、拋物線交于點(diǎn)N,連結(jié)CN,將△CMN沿CN翻折,M的對應(yīng)點(diǎn)為M′.在圖②中探究:是否存在點(diǎn)Q,使得M′恰好落在y軸上?若存在,請求出Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
7.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).
(1)求該拋物線的表達(dá)式;
(2)求直線關(guān)于軸的對稱直線的表達(dá)式;
(3)點(diǎn)是軸上的動點(diǎn),過點(diǎn)作垂直于軸的直線,直線與該拋物線交于點(diǎn),與直線交于點(diǎn).當(dāng)時,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.
8.研究發(fā)現(xiàn),拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離與到直線l:的距離相等.如圖1所示,若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn),PH⊥
6、l于點(diǎn)H,則.
基于上述發(fā)現(xiàn),對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)M,記點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值為d,稱d為點(diǎn)M關(guān)于拋物線的關(guān)聯(lián)距離;當(dāng)時,稱點(diǎn)M為拋物線的關(guān)聯(lián)點(diǎn).
(1)在點(diǎn),,,中,拋物線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是______ ;
(2)如圖2,在矩形ABCD中,點(diǎn),點(diǎn)C( t.
①若t=4,點(diǎn)M在矩形ABCD上,求點(diǎn)M關(guān)于拋物線的關(guān)聯(lián)距離d的取值范圍;
②若矩形ABCD上的所有點(diǎn)都是拋物線的關(guān)聯(lián)點(diǎn),則t的取值范圍是__________.
9.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,,其中,以點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有三個,記第四個頂點(diǎn)分別為,如圖所示.
(1)若,則點(diǎn)的坐標(biāo)分別是
7、( ),( ),( );
(2)是否存在點(diǎn),使得點(diǎn)在同一條拋物線上?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
10.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B在x軸正半軸上,OB的長度為2m,以O(shè)B為邊向上作等邊三角形AOB,拋物線l:y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O,A,B三點(diǎn).
(1)當(dāng)m=2時,a= ,當(dāng)m=3時,a= ;
(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果,猜想a與m的關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上,作x軸的平行線交拋物線l于P、Q兩點(diǎn),PQ的長度為2n,當(dāng)△APQ為等
8、腰直角三角形時,a和n的關(guān)系式為 a= ;
(4)利用(2)(3)中的結(jié)論,求△AOB與△APQ的面積比.
11.如圖,拋物線與x軸交于、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn),拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D.
求拋物線的解析式;
求的值;
在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由;
點(diǎn)E是線段BC上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時線段EF最長?求出此時E點(diǎn)的坐標(biāo).
12.如圖,二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),已
9、知點(diǎn),點(diǎn).
(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)是拋物線在第一象限的部分上的一動點(diǎn),
①當(dāng)四邊形的面積最大時,求點(diǎn)的坐標(biāo);
②若為的中點(diǎn),的延長線交線段于點(diǎn),當(dāng)為鈍角三角形時,請直接寫出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍.
13.如圖,拋物線y=x2+bx﹣2與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且A(﹣1,0).
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論;
(3)點(diǎn)M(m,0)是x軸上的
10、一個動點(diǎn),當(dāng)MC+MD的值最小時,求m的值.
14.如圖1,已知直線y=kx與拋物線y=交于點(diǎn)A(3,6).
(1)求直線y=kx的解析式和線段OA的長度;
(2)點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動點(diǎn),過點(diǎn)P作直線PM,交x軸于點(diǎn)M(點(diǎn)M、O不重合),交直線OA于點(diǎn)Q,再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線,交y軸于點(diǎn)N.試探究:線段QM與線段QN的長度之比是否為定值?如果是,求出這個定值;如果不是,說明理由;
(3)如圖2,若點(diǎn)B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點(diǎn),點(diǎn)E在線段OA上(與點(diǎn)O、A不重合),點(diǎn)D(m,0)是x軸正半軸上的動點(diǎn),且滿足∠BAE=∠BED=
11、∠AOD.繼續(xù)探究:m在什么范圍時,符合條件的E點(diǎn)的個數(shù)分別是1個、2個?
15.如圖,二次函數(shù)y=ax2+x+c(a≠0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)A(﹣1,0),點(diǎn)C(0,2).
(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)D是拋物線在第一象限的部分上的一動點(diǎn),
①當(dāng)四邊形OCDB的面積最大時,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
②若E為BC的中點(diǎn),DE的延長線交線段AB于點(diǎn)F,當(dāng)△BEF為鈍角三角形時,請直接寫出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)y的范圍.
16.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為、,二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)、,且滿足(為常數(shù)).
(1)若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點(diǎn).
①當(dāng)、時,求的值;
②若隨的增大而減小,求的取值范圍.
(2)當(dāng)且、時,判斷直線與軸的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)點(diǎn)、的位置隨著的變化而變化,設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動的路線與軸分別相交于點(diǎn)、,線段的長度會發(fā)生變化嗎?如果不變,求出的長;如果變化,請說明理由.