《六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)解析 四、數(shù)的整除性全國(guó)通用》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)解析 四、數(shù)的整除性全國(guó)通用（39頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、四、數(shù)的整除性 153.為什么要學(xué)習(xí)“數(shù)的整除性”這部分知識(shí)？ 　　“數(shù)的整除性”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是一個(gè)重要的基礎(chǔ)知識(shí)。說(shuō)它重要是因?yàn)檫@部分知識(shí)所涉及的基本數(shù)學(xué)概念不僅多，而且相對(duì)集中，如果不能明確、清晰地掌握這些基本數(shù)學(xué)概念的區(qū)別和聯(lián)系，就會(huì)引起混淆，而混淆也必然給以后的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，帶來(lái)嚴(yán)重的后遺癥。 　　例如：約數(shù)與倍數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)、公約數(shù)與公倍數(shù)……這些概念在教學(xué)中幾乎同時(shí)出現(xiàn)，但又有相反的內(nèi)涵，因此，這些概念必須牢固而又明確地建立起來(lái)。 　　還必須看到：“數(shù)的整除性”是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的前提和準(zhǔn)備。在分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算中，約分和通分是一定要掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，而構(gòu)成這些基礎(chǔ)

2、知識(shí)，是離不開(kāi)“數(shù)的整除性”這部分內(nèi)容的。 　　例如：不掌握求最大公約數(shù)的方法，就不可能進(jìn)行正確、迅速的約分；不掌握求最小公倍數(shù)的方法，也無(wú)法進(jìn)行正確、迅速的通分。從這個(gè)意義上講，學(xué)習(xí)“數(shù)的整除性”是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需要。 　　除此之外，學(xué)生在過(guò)去的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)知道整數(shù)與整數(shù)的和、差、積都是整數(shù)，但整數(shù)除整數(shù)時(shí)，商不一定是整數(shù)，有時(shí)會(huì)是小數(shù)，到底在什么情況下，整數(shù)與整數(shù)相除，商仍然是整數(shù)呢？這就需要根據(jù)“數(shù)的整除性”的知識(shí)來(lái)進(jìn)行正確的判斷了。 　　在未學(xué)習(xí)“數(shù)的整除性”前，學(xué)生是很難準(zhǔn)確、迅速地判斷出下列各式的商是不是整數(shù)。 　87459÷3 65246÷7 　　32846÷11 9

3、6375÷25 　　74321÷9 79432÷8 　　由于數(shù)字較大，一時(shí)難于做出正確的判斷，一旦掌握了“數(shù)的整除性”這部分知識(shí)，這些問(wèn)題就不難解決了。 154.整除和除盡有什么不同？ 　　整除和除盡是兩個(gè)既有區(qū)別又有聯(lián)系的概念，也是兩個(gè)易于混淆的概念?？梢酝ㄟ^(guò)下面兩道題的計(jì)算過(guò)程，來(lái)加以說(shuō)明。 　　這兩道題相同的地方是都沒(méi)有余數(shù)，都可以說(shuō)成是“除盡”。但這兩道題又有不同的地方，（1）題中的被除數(shù)、除數(shù)和商都是整數(shù)，這種情況稱作“整除”。按原題可以說(shuō)成是896能被16整除。（2）題中的被除數(shù)、除數(shù)雖然是整數(shù)，但商不是整數(shù)，而是小數(shù)。這類情況就只能稱作“除盡”，而不能稱作“整除”。

4、按原題可以說(shuō)成36能被8除盡，而不能說(shuō)成36能被8整除。 　　又如：3.5÷0.5=7 824÷41.2=20 　　這兩個(gè)式子雖然都能除盡，商又是整數(shù)，但被除數(shù)和除數(shù)中， 至少有一個(gè)數(shù)不是整數(shù)，因此，這兩個(gè)式子只能屬于“除盡”情況，而不能稱作“整除”。 　　由于在小學(xué)數(shù)學(xué)中，“數(shù)的整除性”所涉及的數(shù)一般都指的是自然數(shù)，不包括0，因此，其定義是：“數(shù)a除以數(shù)b，除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)，a能被b整除?！? 　　“整除”與“除盡”是兩個(gè)不同的概念?！俺M”是指在除法中只要除到某一位時(shí)沒(méi)有余數(shù)，不管被除數(shù)、除數(shù)和商是整數(shù)還是小數(shù)，都可以說(shuō)是“除盡”?！罢笔侵冈诔ㄖ兄挥斜怀龜?shù)

5、、除數(shù)和商都是整數(shù)的情況下，才可以說(shuō)是“整除”。 　　“整除”是整數(shù)范圍內(nèi)的除法，而“除盡”則不限于整數(shù)范圍，只要求余數(shù)為零?！罢迸c“除盡”的區(qū)別和聯(lián)系在于“整除”也可以稱作“除盡”，但是“除盡”不一定是“整除”?！俺M”中包括了“整除”，“整除”只是“除盡”的一種特殊情況?！俺M”與“整除”的關(guān)系可用右邊集合圖來(lái)表示。 155.“數(shù)的整除性”有哪些性質(zhì)？ 　　“數(shù)的整除性”的性質(zhì)很多，涉及到小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的有以下幾個(gè)： 　?。?）如果兩個(gè)整數(shù)a、b都能被c整除，那么a與b的和也能被c整除。 　　例如：42÷7=6 56÷7=8 　?。?2＋56）÷7=14 　　42能被7

6、整除，56也能被7整除，那么42與56的和（98）也能被7整除。 　　反之，如果整數(shù)a、b中，有一個(gè)數(shù)能被c整除，而其中一個(gè)數(shù)不能被c整除，那么a與b的和就一定不能被c整除。 　　例如：36÷9=4 83÷9=9……2 　?。?6+83）÷9=13……2 　　36能被9整除，83不能被9整除，那么36與83的和（119）不能被9整除。 　　（2）如果兩個(gè)整數(shù)a、b都能被c整除，那么a與b的差也能被C整除。 　　例如：88÷11=8， 66÷11=6 　?。?8-66）÷11=2 　　88能被11整除，66也能被11整除，那么88與66的差（22）也能被11整除。 　　反之，如

7、果整數(shù)a、b中，有一個(gè)數(shù)能被c整除，另一個(gè)數(shù)不能被c整除，那么a與b的差就一定不能被c整除。 　　例如：91÷13=7 30÷13=2……4 　?。?1-30）÷13=4……9 　　91能被13整除，30不能被13整除，那么91與30的差（61）不能被13整除。 　?。?）如果兩個(gè)整數(shù)a、b都不能被c整除。那么a與b的和（或差）能或不能被c整除。這是一個(gè)不肯定的結(jié)論。 　　例如：65÷7=9……2 33÷7=4……5 　　（65＋33）÷7＝14 　?。?5-33）÷7=4……4 　　65不能被7整除，33也不能被7整除，由于兩個(gè)余數(shù)的和（2＋5=7），正好等于除數(shù)，因此，65

8、與33的和（98）能被7整除；而65與33的差則不能被7整除。 　　又如：85÷11=7……8 38÷11=3……5 　　（85＋38）÷11＝11……2 　?。?5-38）÷11=4……3 　　85不能被11整除，38也不能被11整除，此例中85與38的和（123）或差（47）都不能被11整除。 　?。?）如果整數(shù)a能被自然數(shù)c整除，那么a的倍數(shù)（整數(shù)倍）也能被c整除。 　　例如：39÷13=3 　?。?9×4）÷13=12 　　39能被13整除，39的4倍（156）也能被13整除。 　?。?）如果a、b、c這三個(gè)數(shù)中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（這

9、是整除的傳遞性）。 　　例如：有84、21、7三個(gè)數(shù) 　　84÷24=4 21÷7=3 　　84÷7＝12 　　84能被21整除，21又能被7整除，那么84就一定能被7整除。 　　反之，如果a、b、c這三個(gè)數(shù)中，a與b或b與c之間只要出現(xiàn)一個(gè)不能整除的情況，a就一定不能被c整除。 　　例如：有121、11、5三個(gè)數(shù) 　　121÷11=11 11÷5=2……1 　　121÷5=24……1 　　121能被11整除，但11不能被5整除，那么121就一定不能被5整除。 156.“倍”與“倍數(shù)”有什么區(qū)別？ 　　“倍”與“倍數(shù)”雖然只有一字之差，卻是兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)概念，只有真正明確

10、它們各自的內(nèi)涵和使用范圍，才不會(huì)在理解和應(yīng)用上造成混淆。 　　“倍”指的是數(shù)量之間的關(guān)系，它建立在乘法概念的基礎(chǔ)上，在實(shí)際教學(xué)中，是從“個(gè)”和“份”逐步抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念。 　　例如：白布8米，花布的長(zhǎng)度有4個(gè)8米；或者說(shuō)把白布8米看作1份，花布的長(zhǎng)度是4份。這里所說(shuō)的“個(gè)”與“份”，換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是花布的長(zhǎng)度是8米的4“倍”，花布的米數(shù)是8×4=32（米）。由此可見(jiàn)，“倍”的出現(xiàn)是從生活中的“個(gè)”與“份”逐步抽象出來(lái)的，是建立在乘法概念的基礎(chǔ)上的。 　　“倍數(shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在“數(shù)的整除性”這個(gè)大概念的基礎(chǔ)上，是在明確“整除”的前提下，與“約數(shù)”同時(shí)建立的。 　　例如

11、：28是7的倍數(shù)，因?yàn)?8能被7整除。28÷7=4，28是7的4倍，如果用乘法表示這三個(gè)數(shù)的數(shù)量關(guān)系，則7×4=28，7的4倍是28。由此可見(jiàn)，前者的“倍數(shù)”是嚴(yán)格限制在“整除”的范圍內(nèi)，而后者的“倍”只體現(xiàn)在乘法的概念當(dāng)中，這是兩者的明確區(qū)別。 　　在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“倍數(shù)”的運(yùn)用還有另一種情況，即在比例教學(xué)時(shí)，當(dāng)闡述正、反比例關(guān)系所提到的“擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)”，這里所提到的“倍數(shù)”，是一般除法中的概念，而不是“整除”范圍內(nèi)的概念。比例中所出現(xiàn)的倍數(shù)，所表示的是兩個(gè)最相比而得到的數(shù)，這個(gè)數(shù)不一定是整數(shù)，也可能是小數(shù)。在研究“數(shù)的整除性”中的倍數(shù)，是不允許出現(xiàn)小數(shù)的。 157.約數(shù)可以等

12、于因數(shù)嗎？ 　　在“數(shù)的整除性”中，約數(shù)和因數(shù)是兩個(gè)重要的概念。在小學(xué)數(shù)學(xué)“教”與“學(xué)”中，接觸因數(shù)是在整數(shù)乘法時(shí)，被乘數(shù)與乘數(shù)對(duì)于積來(lái)說(shuō)，都是因數(shù)。約數(shù)是在“數(shù)的整除性”中出現(xiàn)的，它與倍數(shù)是在“整除”概念的前提下，同時(shí)建立起來(lái)的概念。按照教材中對(duì)約數(shù)所下的定義：“如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)?！奔僭O(shè)把商定為c，其算式為： 　　a÷b=c 反之 b×c=a 　　僅從算式來(lái)觀察，似乎約數(shù)與因數(shù)已經(jīng)等同了，實(shí)際上并非如此。約數(shù)與因數(shù)是一個(gè)問(wèn)題在不同范疇內(nèi)的兩種不同提法，兩者之間既有聯(lián)系，也有區(qū)別，從上面乘、除法關(guān)系的算式中可以看到它們之間的聯(lián)系，但它們之間的區(qū)別則

13、是主要的。 　　以6÷3＝2為例，6能夠被3整除，也能被2整除，因此，對(duì)6來(lái)說(shuō)，3和2都是它的約數(shù)。如果換成乘法算式：3×2=6，對(duì)于乘積（6）來(lái)說(shuō)， 3和2都是它的因數(shù)。由此可見(jiàn)，只有在“整除”的范疇內(nèi)，才能談得上約數(shù)，而在乘法中，因數(shù)早已經(jīng)存在了。 　　事實(shí)上，6除了能被3和2整除外，還能夠被1和6整除，也就是說(shuō)，6共有1、2、3、6四個(gè)約數(shù)。至于3×2=6，3和2固然是6的因數(shù)；但1×6=6，1和6也是6的因數(shù)，這是兩個(gè)不同的乘法算式，因此，絕不能說(shuō)成6有1、2、3、6四個(gè)因數(shù)，否則，1×2×3×6=36，其乘積就不是6，而是36了。 　　約數(shù)與因數(shù)的另一個(gè)區(qū)別，還在于各自的應(yīng)用范

14、圍上。約數(shù)的應(yīng)用范圍是有限的，它只存在于“數(shù)的整除性”這部分知識(shí)當(dāng)中，為學(xué)習(xí)“公約數(shù)”和“最大公約數(shù)”做好基礎(chǔ)知識(shí)上的準(zhǔn)備。因數(shù)的應(yīng)用范圍則比較廣泛，無(wú)論整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)，以及到中學(xué)后所接觸到的負(fù)數(shù)，只要出現(xiàn)了乘法，就存在著因數(shù)的概念。 　　例如：在小數(shù)中2.4×0.8=1.92，2.4與0.8都是1.92的因數(shù)。 　　 　　在負(fù)數(shù)中（-5）×7=35，-5和7都是-35的因數(shù)。 　　凡此種種，都充分說(shuō)明：約數(shù)與因數(shù)是兩個(gè)不同的概念，是不能等同的。 158.質(zhì)數(shù)一定是奇數(shù)嗎？偶數(shù)一定是合數(shù) 嗎？ 　　質(zhì)數(shù)與奇數(shù)，偶數(shù)與合數(shù)涉及到兩組不同的數(shù)學(xué)概念。質(zhì)數(shù)與合數(shù)是相互依存的，奇

15、數(shù)與偶數(shù)也是相互依存的。因此，質(zhì)數(shù)不一定是奇數(shù)，偶數(shù)也不一定是合數(shù)。 　　這是因?yàn)椋阂粋€(gè)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)的，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)）。而不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。這兩個(gè)概念的內(nèi)涵不同，一般來(lái)說(shuō)，是質(zhì)數(shù)的也都是奇數(shù)，如：3、13、29、37……。這些數(shù)既是質(zhì)數(shù)，也都是奇數(shù)。但有一個(gè)數(shù)是例外的，這就是“2”。2的約數(shù)只有1和它本身，因此，它是質(zhì)數(shù)；但2能被2整除，不符合奇數(shù)的定義，所以，2不是奇數(shù)。按照數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性語(yǔ)言來(lái)說(shuō)：“除2以外的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”，這樣的判斷才是正確的。 　　還必須看到，“除2以外的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”這個(gè)結(jié)論雖然正確無(wú)誤，但反過(guò)來(lái)說(shuō)“除2以外，奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)”則是錯(cuò)

16、誤的，如：27、35、143……這些數(shù)，雖然都是奇數(shù)，但這些數(shù)除了1和它本身這兩個(gè)約數(shù)外，還有其他約數(shù)，如：27還有3和9，35還有5和7，143還有11和13，都不符合質(zhì)數(shù)的定義，因此，這些數(shù)都不是質(zhì)數(shù)。 　　偶數(shù)也不一定是合數(shù)，因?yàn)椤澳鼙?整除的數(shù)叫做偶數(shù)”，而合數(shù)的定義是：“除了1和本身，還有別的約數(shù)的，這樣的數(shù)叫做合數(shù)?！边@里“2”又是一個(gè)重要區(qū)分點(diǎn)，2是偶數(shù)，但不是合數(shù)，準(zhǔn)確的說(shuō)法是：“除2以外的偶數(shù)都是合數(shù)?！? 　　與質(zhì)數(shù)和奇數(shù)不能反敘述一樣，如果說(shuō)成“除2以外的合數(shù)都是偶數(shù)”也是錯(cuò)誤的。例如：45、87、187……這些數(shù)都是合數(shù)，但都不是偶數(shù)。 159.最小的偶數(shù)是幾？

17、　　偶數(shù)概念的出現(xiàn)是在“數(shù)的整除性”這部分知識(shí)里，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“數(shù)的整除性”一般是限制在自然數(shù)范圍之內(nèi)的，由于0不是自然數(shù)，因此沒(méi)有涉及到最小偶數(shù)是幾的問(wèn)題，但在“教”與“學(xué)”中，卻常常遇到這個(gè)問(wèn)題，并且說(shuō)法不一。 　　按照“能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)”的定義，以及一個(gè)數(shù)個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)就一定能被2整除的規(guī)律，0能夠被2整除，0也應(yīng)該看作是偶數(shù)。 　　至于在“教”與“學(xué)”中所提出的“最小的偶數(shù)是幾”的問(wèn)題，必須限定一個(gè)范圍，一般來(lái)講，要區(qū)分三種情況： 　　（1）如果限定在自然數(shù)的范圍內(nèi)，由于已將0排除，最小的偶數(shù)是2； 　　（2）如果擴(kuò)大自然數(shù)的范圍，把0包括在內(nèi)，最小的

18、偶數(shù)是0。 　?。?）如果限定在整數(shù)范圍內(nèi)，這個(gè)“整數(shù)”概念包括負(fù)整數(shù)，由于沒(méi)有最小的負(fù)整數(shù)，因此，在整數(shù)的范圍內(nèi)，也沒(méi)有最小的偶數(shù)。 160.“12是倍數(shù)，4是約數(shù)”這種說(shuō)法對(duì)不對(duì)？ 　　研究“倍數(shù)”與“約數(shù)”的概念，都是在整除的前提下進(jìn)行的，因此，它們當(dāng)中的每一個(gè)概念都不是單獨(dú)存在的，而是互相依存的?？梢哉f(shuō)：沒(méi)有倍數(shù)就沒(méi)有約數(shù)，沒(méi)有約數(shù)也就沒(méi)有倍數(shù)。按照“如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)”的定義，通過(guò)下面的例子，就可以回答上面提出的問(wèn)題了。 　　例如：15÷3=5 　　15能被3整除，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。 　　24÷8=3 　　24能被8整

19、除，24是8的倍數(shù)，8是24的約數(shù)。 　　由此可見(jiàn)，12÷4=3，12在能被4整除的情況下，只能說(shuō)成12是4的倍數(shù)，4是12的約數(shù)。表述倍數(shù)與約數(shù)時(shí)，必須完整地說(shuō)明：誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的約數(shù)。如果籠統(tǒng)地說(shuō)：“誰(shuí)是倍數(shù)，誰(shuí)是約數(shù)”則是孤立的肯定，而失去倍數(shù)與約數(shù)本身的意義。所以“12是倍數(shù)，4是約數(shù)”這種說(shuō)法是不對(duì)的。 161.為什么判斷一個(gè)數(shù)能不能被2或5整除，只要看這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)？ 　　判斷一個(gè)數(shù)能不能被2或5整除，在“數(shù)的整除性”這個(gè)范疇內(nèi)是一個(gè)重要基礎(chǔ)知識(shí)。教材中是通過(guò)自然數(shù)乘以2和乘以5的形式，對(duì)乘積個(gè)位上數(shù)的特征的觀察，從而得出如下的結(jié)論：“個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都

20、能被2整除?！焙汀皞€(gè)位上是0或者5的數(shù)，都能被5整除?！? 　　有關(guān)這個(gè)結(jié)論的算理，可以通過(guò)下面數(shù)例加以說(shuō)明。 　　例如：（1）364=300＋60＋4 　?。?）876=800＋70＋6 　　（3）4528=4000＋500＋20＋8 　　任何一個(gè)數(shù)都可以寫成上面的形式，從中可看到：一個(gè)數(shù)千位、百位、十位上的數(shù)字，都表示整千、整百、整十的數(shù)，而整千、整百、整十的數(shù)都能被2整除（或者說(shuō)都是2的倍數(shù)），這是整除的性質(zhì)所決定的，那么這個(gè)數(shù)能不能被2整除的關(guān)鍵，就看個(gè)位上的數(shù)了。因此，只要個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，這個(gè)數(shù)就一定能被2整除。個(gè)位上是0的數(shù)，必然是10的倍數(shù)，10能夠被2整

21、除，10的倍數(shù)也一定能被2整除。所以個(gè)位上是0的數(shù)，也一定能被2整除了。 　　又如：（1）485=400＋80＋5 　　（2）3765=3000＋700＋60＋5 　?。?）5970=5000＋900十70＋0 　　同理，千位、百位、十位上的數(shù)字，所表示的是整千、整百、整十的數(shù)，這些數(shù)均能被5整除（或者說(shuō)都是5的倍數(shù)），關(guān)鍵是個(gè)位上的數(shù)，如果個(gè)位上的數(shù)能被5整除，這個(gè)數(shù)必然能被5整除。個(gè)位上是5的數(shù)，當(dāng)然能被5整除，個(gè)位上是0的數(shù)，必然是10的倍數(shù)，10能被5整除，10的倍數(shù)也必然能被5整除。因此，看一個(gè)數(shù)能不能被5整除，只要看這個(gè)數(shù)個(gè)位上是0或者5，就能正確、迅速地做出判斷。 　　

22、個(gè)位上是0的數(shù)，是10的倍數(shù)，10能被2整除，也能被5整除。因此，個(gè)位上是0的數(shù)，既能被2整除，又能被5整除。 162.為什么看一個(gè)數(shù)能不能被3或9整除，就要看這個(gè)數(shù)各數(shù)位上數(shù)字的和能不能被3或9整除？ 　　一個(gè)數(shù)只要各數(shù)位數(shù)字的和是3或9的倍數(shù)，就一定能被3或9整除。這個(gè)規(guī)律可通過(guò)下面例子得到證明。 　　例如：判斷3576，2549能不能被3整除。 　　3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍數(shù)） 　　∴3576能被3整除。 　　2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍數(shù)） 　　∴2549不能被3整除。 　　檢驗(yàn)：2549÷3=849……2 　　又如：判421

23、2、5282能不能被9整除。 　　4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍數(shù)） 　　∴4212能被9整除。 　　5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍數(shù)） 　　∴5282不能被9整除。 　　這個(gè)規(guī)律主要依據(jù)是： 　?。?）凡各位數(shù)字是9的數(shù)，一定能被3和9整除。如： 　　9÷3=3 9÷9=1 　　99÷3=33 99÷9=11 　　999÷3=333 999÷9=111 　　9999÷3=3333 9999÷9=1111 　　…… …… 　?。?）凡是10的倍數(shù)都可以用下列形式表示：10=9+1 　　100=99+1 　　1000=999+1 　　1

24、0000=9999+1 　　…… 　　80=8×10=8×（9+1） 　　700=7×100=7×（99+1） 　　5000=5×1000=5×（999+1） 　　40000=4×10000=4×（9999+1） 　　……根據(jù)以上兩點(diǎn)，可以通過(guò)下面的等式來(lái)說(shuō)明354能不能被3整除的道理： 　　第一個(gè)括號(hào)里是9的倍數(shù)加上9的倍數(shù)，它是能被3或9整除的。因此，這個(gè)數(shù)能不能被3整除，只要看第二個(gè)括號(hào)的結(jié)果就可以了。而第二個(gè)括號(hào)里恰恰是354各位數(shù)字的和。所以，判斷一個(gè)數(shù)能不能被3或9整除，只要看各位數(shù)字的和就可以了。 　　判斷結(jié)果：3+5+4=12，12能被3整除，因此，354能

25、被3整除。 　　由于9本身能被3整除，所以能被9整除的數(shù)，一定能被3整除。而能被3整除的數(shù)，卻不一定能被9整除。仍以354為例，3+5+4=12，12能被3整除，卻不能被9整除，因此，354能被3整除，不能被9整除。 　　用上述方法不但能判斷一個(gè)數(shù)能不能被3或9整除，而且還能判斷不能整除時(shí)，余數(shù)是多少。 　　如：判斷7485能不能被9整除。 　　7+4+8+5=24→2+4=6 　　各位數(shù)字繼續(xù)相加 　　從結(jié)果看出：把7485的各位數(shù)字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485這個(gè)數(shù)不能被9整除。最后得出的6，就是7485除以9的余數(shù)。即： 　　7485÷9=831……6 　　

26、又如：判斷3478能不能被3整除?！　? 　　∵3+4+7+8=22 　　 　　∴3478不能被3整除，余數(shù)是1。因?yàn)?2除以3商7后的余數(shù)是1，也就是3478除以3的余數(shù)1。 　　檢驗(yàn)： 3478÷3=1159……1 163.怎樣判斷一個(gè)數(shù)能不能被6整除？ 　　判斷一個(gè)數(shù)能不能被6整除，主要看這個(gè)數(shù)能被2整除，又能被3整除，如果都能，那么這個(gè)數(shù)就能被6整除。因?yàn)榘?分解質(zhì)因數(shù)是2×3，或者說(shuō)2與3的乘積是6，所以能同時(shí)被2和3整除的數(shù)，就能被6整除。 　　在判斷一個(gè)數(shù)能不能被6整除時(shí)，可按照下列步驟進(jìn)行： 　　（1）首先看這個(gè)數(shù)是不是偶數(shù)，凡是偶數(shù)都能被2整除。這就符合了能被

27、6整除的第一個(gè)條件。如果這個(gè)數(shù)不是偶數(shù)，那就排除了能被6整除的可能。 　　（2）然后按照能被3整除的數(shù)的特征，即：這個(gè)數(shù)各位數(shù)字的和是不是3的倍數(shù)，如果是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就能被6整除。 　　例如：判斷654能不能被6整除。 　　654是偶數(shù)，自然能被2整除；654各位數(shù)字的和是6+5+4=15，15是3的倍數(shù)，因此，654能被6整除。 　　又如：判斷274能不能被6整除。274是偶數(shù)，但它各位數(shù)字的和是2+7+4=13，13不能被3整除，因此，274不能被6整除。 　　如果用圖來(lái)表示，下面兩圓相交部分中的數(shù)就是既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的數(shù)。 164.怎樣判斷

28、一個(gè)數(shù)能不能被7整除？ 　　判斷一個(gè)數(shù)能不能被7整除，不象判斷一個(gè)數(shù)能不能被2、5、3整除那佯，根據(jù)這個(gè)數(shù)的數(shù)字特征就能直接做出判斷。一般需要采用割減法。 　　割減法的過(guò)程是這樣的：把一個(gè)數(shù)割去末位數(shù)字，再?gòu)牧粝聛?lái)的數(shù)中減去所割去數(shù)字的2倍，這樣一次次減下去，如果最后的結(jié)果是7的倍數(shù)（包括0），那么原來(lái)這個(gè)數(shù)就一定能被7整除。 　　例1：判斷3164能不能被7整除。 　　因?yàn)?4是7的倍數(shù)，所以3164能被7整除。 　　檢驗(yàn)：3164÷7=452. 　　對(duì)于數(shù)字不大的數(shù)，使用割減法判斷能不能被7整除是比較方便的。 　　這個(gè)割減的過(guò)程，并不需要筆算，口算就可以完成。關(guān)于割減

29、法的算理，即：為什么要先割去末位上的數(shù)字，然后再?gòu)牧粝碌臄?shù)字中減去割去數(shù)字的2倍？這與能不能被7整除有什么關(guān)系？講清這個(gè)算理，先觀察一下21的倍數(shù)有什么特點(diǎn)。 　　從表中可以看到，21的倍數(shù)恰好是前位數(shù)字是末尾數(shù)字的2倍。那么，把一個(gè)數(shù)割去末位數(shù)字，再?gòu)那拔粶p去末位數(shù)字的2倍，不正是減去21的倍數(shù)嗎？如例1中割去84，不就是割去末位數(shù)字4的21倍嗎？ 　　由于21=7×3，21包含3個(gè)7，所以減去21的倍數(shù)，也就是減去7的倍數(shù)。由此可以看出：判斷一個(gè)數(shù)能不能被7整除所用的割減法，其依據(jù)就是利用了21的倍數(shù)的特點(diǎn)。 　　如果一個(gè)數(shù)連續(xù)減去7的倍數(shù)，而余下的數(shù)也是7的倍數(shù)，那么原來(lái)這個(gè)數(shù)

30、也必然是7的倍數(shù)，因而也能被7整除。 　　 　　這個(gè)過(guò)程不一定書(shū)寫出來(lái)，也可以在口算中進(jìn)行。 　　因?yàn)橛酶顪p法連續(xù)減去的是21的倍數(shù)，如果最后的結(jié)果還是21的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)既能被7整除，還能被21整除，當(dāng)然也能被3整除。 　　例2：判斷2583，5264能不能被7和21整除。 　　2583能被7整除；也能被21整除。 　　檢驗(yàn)：2583÷7=369 　　2583÷21=123 　　5264能被7整除，不能被21整除。 　　檢驗(yàn)：5264÷7=752 　　5264÷21=250……14 165.怎樣判斷一個(gè)數(shù)能不能被4或25整除？ 　　判斷一個(gè)數(shù)能不能被4或25

31、整除是比較容易的，這就是：如果一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4或25整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能被4或25整除。 　　例如：4750=47×100+50 　　928=9×100+28 　　3800=38×100 　　因?yàn)?5與4相乘的積是100，100既能被4整除，又能被25整除，因此百位以前的數(shù)（100的倍數(shù)）可以不考慮，只要這個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4或25整除，這個(gè)數(shù)就一定能被4或25整除。由此可以得出：凡是一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)都是0（必然是100的倍數(shù)），這個(gè)數(shù)就一定能被4或25整除。 　　4750的末兩位數(shù)是50，50能被25整除，但不能被4整除，4750只能被25整除，而不能被4整除。 　　9

32、28的末兩位數(shù)是28，28能被4整除，但不能被25整除，928就只能被4整除，而不能被25整除。 　　3800的末兩位數(shù)都是0，說(shuō)明3800是100的倍數(shù)，因此，3800既能被4整除，也能被25整除。 166.怎樣判斷一個(gè)數(shù)能不能被8或125整除？ 　　一個(gè)數(shù)能不能被8或125整除，要看這個(gè)數(shù)的末三位，這個(gè)數(shù)的末三位是8或125的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就能被8或125整除。 　　由于1000=8×125，1000既是8的倍數(shù)，也是125的倍數(shù)，所以，凡是一個(gè)三位以上的多位數(shù)，只要末三位數(shù)都是0，這個(gè)數(shù)就一定能被8和125整除。 　　例如： 　　6048能被8整除，4375能被125整除，

33、86000既能被8整除，又能被125整除，7594和7300這兩個(gè)數(shù)，既不能被8整除，也不能被125整除。 　　這種根據(jù)一個(gè)數(shù)末三位數(shù)來(lái)進(jìn)行判斷的方法，其算理是：任何一個(gè)三位以上的多位數(shù)，都是由1000的倍數(shù)和一個(gè)三位數(shù)組成的。 　　例如：9864=9×1000+864 　　56750=56×1000+750 　　93000=93×1000 　　1000既能被8和125整除，1000的倍數(shù)也必然能被8和125整除，因此，一個(gè)數(shù)末三位左邊的數(shù)可以不看，只要末三位數(shù)能被8或125整除，這個(gè)數(shù)就能被8或125整除。 　　看末三位數(shù)是不是8的倍數(shù)，還可以采用簡(jiǎn)便的方法： 　　（1）先看末

34、位數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，倘若是奇數(shù)，可以肯定不是8的倍數(shù)，因?yàn)?的倍數(shù)永遠(yuǎn)是偶數(shù)。 　?。?）如果是偶數(shù)，用2去除末三位數(shù)，看所得的商是4的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就能被8整除。 　　例如： 　　 　　所以7104能被8整除。 　　 　　由于125本身就是三位數(shù)，在所有的三位數(shù)內(nèi)，125的倍數(shù)只有有限的幾個(gè)（125、250、375、500、625、750、875、1000），所以，只要熟記這幾個(gè)數(shù)據(jù)，就可以準(zhǔn)確、迅速地進(jìn)行判斷了。 167.怎樣判斷一個(gè)數(shù)能不能被11整除？ 　　判斷一個(gè)數(shù)能不能被11整除與判斷一個(gè)數(shù)能不能被7整除一樣，都沒(méi)有直接判斷的方法，需要借助間接的方法，這種間接的方法有兩

35、種，其一是“割減法”，其二是奇偶位差法。 　　（1）割減法：判斷被11整除的割減法與判斷被7整除的割減法不同。即：一個(gè)數(shù)割去末尾數(shù)字，再?gòu)牧粝聛?lái)的數(shù)中減去這個(gè)末位數(shù)字，這樣一次一次地減下去，如果最后結(jié)果是11的倍數(shù)（包括得0），那么這個(gè)數(shù)就能被11整除；如果最后結(jié)果不是11的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就不能被11整除。 　　例如：4708……割去末位8 　　因此，4708能被11整除。 　　在判斷時(shí)，對(duì)于數(shù)目不大的數(shù)，用口算就可以看出結(jié)果。 　　通過(guò)口算可以得出：891能被11整除；1007不能被11整除。 　?。?）奇偶位差法：把一個(gè)數(shù)由右邊向左邊數(shù)，將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分

36、別加起來(lái)，再求它們的差，如果這個(gè)差是11的倍數(shù)（包括0），那么原來(lái)這個(gè)數(shù)就一定能被11整除。 　　例如①：判斷283679能不能被11整除。 　　23-12=11 　　因此，283679能被11整除。 　?、谂袛?80637能不能被11整除。 　 　21-7=14 　　因此，480637不能被11整除。 　　上述這種方法叫做奇偶位差法，算理可通過(guò)下列算式說(shuō)明。 　　9÷9=1 9÷11（不能整除） 　　99÷9=11 99÷11=9 　　999÷9=111 99÷11（不能整除） 　　9999÷9=1111 9999÷11=909 　　99999÷9=11111

37、9999÷11（不能整除） 　　999999÷9=111111 999999÷11=90909 　　…… …… 　　由以上兩算式中可以看到：全部由9組成的任何一個(gè)數(shù)，都能被9整除，但除以11則不一定，只有當(dāng)9的個(gè)數(shù)成偶數(shù)時(shí)，才能被11整除，當(dāng)9的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，則不能被11整除。 　　當(dāng)一個(gè)數(shù)首尾數(shù)字相同，中間都是0，而且0的個(gè)數(shù)成偶數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)也能被11整除。 　　如：11÷11=1 　　1001÷11=91 　　300003÷11=27273 　　…… 　　通過(guò)用奇偶位差法的分解來(lái)判斷8712能不能被11整除，從中也可以進(jìn)一步理解這種判斷方法的算理。 　　8712=800

38、0+700+10+2 ① 　　偶 奇 偶 奇 　　偶位上的數(shù)可以寫成： 　　8000=8×1000=8×（1001-1） ② 　　10=1×10=1×（11-1） ③ 　　奇位上的數(shù)可以寫成： 　　700=7×100=7×（99+1） ④ 　　把②③④式代到①式中去。 　　第一個(gè)括號(hào)中所得的結(jié)果，肯定能被11整除，原數(shù)能不能被11整除，決定于第二個(gè)括號(hào)中所得的數(shù)，而第二個(gè)括號(hào)中的數(shù)，恰恰是奇位數(shù)字與偶位數(shù)字之差，由此而得出了用奇偶位差法來(lái)判斷一個(gè)數(shù)能不能被11整除。 168.怎樣判斷一個(gè)數(shù)能不能被13整除？ 　　一個(gè)數(shù)能不能被13整除，在判斷上也沒(méi)有直接的方法，需要借助

39、間接的方法，這種間接的方法是：一個(gè)多位數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差，這個(gè)差如果能被13整除，那么原來(lái)的這個(gè)多位數(shù)就能被13整除。 　　例如：判斷383357能不能被13整除。 　　383357這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)是357，末三位以前的數(shù)字所組成約數(shù)是383，這兩個(gè)數(shù)之差是383-357=26。 　　∵26能被13整除， 　　∴383357也能被13整除。 　　又如：判斷35062能不能被13整除。 　　35062這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)是62，末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)是35，這兩個(gè)數(shù)之差是：62-35=27。 　　∵27不能被13整除， 　　∴35062也不能被13整除。

40、 　　這個(gè)方法也同樣適用于判斷一個(gè)數(shù)能不能被7或11整除。 169.怎樣判斷一個(gè)數(shù)能不能被17整除？ 　　判斷一個(gè)數(shù)能不能被17整除，也沒(méi)有直接的方法，間接的方法也使用“割減法”。不過(guò)這里使用的割減法與判斷一個(gè)數(shù)能不能被7整除的割減法，不完全一樣。它也是先割去原來(lái)數(shù)的末位數(shù)字，然后再?gòu)牧粝聛?lái)的數(shù)中減去割去數(shù)字的5倍，倘若數(shù)字還大，就依照上述步驟繼續(xù)割減，當(dāng)最后的結(jié)果是17的倍數(shù)時(shí)，那么原來(lái)這個(gè)數(shù)就一定能被17整除。如果最后結(jié)果不是17的倍數(shù)時(shí)，那么原來(lái)這個(gè)數(shù)就一定不能被17整除。 　　例如：判斷9894能不能被17整除。 　　最后結(jié)果是51，51能被17整除，所以9894也能被1

41、7整除。 　　又如：判斷8765能不能被17整除。 　　由于80不能被17整除，因此，8765也不能被17整除。 　　這種判斷一個(gè)數(shù)能不能被17整除的割減法的算理是：先割去末位數(shù)字，實(shí)際上是減去末尾數(shù)字本身的1倍，再?gòu)那拔粶p去所割數(shù)字的5倍，實(shí)際上又減去了所割數(shù)字的50倍，加上已經(jīng)減去的1倍，一共減去所割數(shù)字的51倍。因?yàn)?1=17×3，51既是17的倍數(shù)，減得的結(jié)果是17或是17的倍數(shù)（包括0），都證明原來(lái)這個(gè)數(shù)一定能被17整除，反之，則不能。 　　如果要求判斷的數(shù)不大，判斷過(guò)程也完全可以用口算進(jìn)行。 　　如：判斷782和693能不能被17整除。 　　從上述口算過(guò)程可以得

42、出：782能被17整除；693不能被17整除。 170.怎樣判斷一個(gè)數(shù)能不能被12、15、18、45整除？ 　　判斷一個(gè)數(shù)能不能被12、15、18、45整除都沒(méi)有直接的方法，可以按照前面提到的判斷被6整除的做法，從而找出一個(gè)間接的方法來(lái)。 　?。?）怎樣判斷一個(gè)數(shù)能不能被12整除。 　　因?yàn)?2=3×4 a÷12=a÷3÷4 　　由此可以得出：如果一個(gè)數(shù)能被3整除又能被4整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能被12整除。判斷被3和4整除的數(shù)的特征，在前面已經(jīng)做了解答，只要滿足被3和4整除的這兩個(gè)條件,這個(gè)數(shù)就一定能被12整除。即：一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字的和是3的倍數(shù)，末兩位的數(shù)又是4的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就一定

43、能被12整除。 　　例如：判斷3084能不能被12整除。 　　3084的各位數(shù)字的和是3+0+8+4=15， 　　15是3的倍數(shù)，3084的末兩位數(shù)是84，84又是4的倍數(shù)，所以3084能被12整除。 　　檢驗(yàn)：3084÷12=257 　　又如：判斷4734能不能被12整除。 　　4734的各位數(shù)字的和是4+7+3+4=18，18是3的倍數(shù)，但4734的末兩位數(shù)是34，34不是4的倍數(shù)，所以4734不能被12整除。 　　檢驗(yàn)：4734÷12=394……6 　?。?）判斷一個(gè)數(shù)能不能被15整除。 　　因?yàn)?5=3×5 a÷15=a÷3÷5 　　由此可以得出：一個(gè)數(shù)既能被3整除

44、，又能被5整除，這個(gè)數(shù)就一定能被15整除。即：一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字的和是3的倍數(shù)，而它末位數(shù)字是0或5，這個(gè)數(shù)就能被15整除。 　　例如：判斷8715能不能被15整除。 　　8715的各位數(shù)字的和是8+7+1+5=21，21是3的倍數(shù)，8715的末位數(shù)字又是5，所以8715這個(gè)數(shù)能被15整除。 　　檢驗(yàn)：8715÷15=581 　?。?）判斷一個(gè)數(shù)能不能被18整除。 　　因?yàn)?8=2×9 a÷18=a÷2÷9 　　由此可以得出：一個(gè)數(shù)既能被2整除，又能被9整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能被18整除。即：一個(gè)末位數(shù)字是0、2、4、6、8的數(shù)，而它的各位數(shù)字的和又是9的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就能被18整除。

45、 　　例如：判斷52416能不能被18整除。 　　52416的末位數(shù)字是6，能被2整除，而52416的各位數(shù)字的和是5+2+4+1+6=18，18又是9的倍數(shù)，因此，52416一定能被18整除。 　　（4）判斷一個(gè)數(shù)能不能被45整除？ 　　因?yàn)?5=5×9 a÷45=a÷5÷9 　　由此可以得出：一個(gè)數(shù)既能被5整除，又是9的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就一定能被45整除。即：一個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是5或0，而它的各位數(shù)字的和又是9的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就一定能被45整除。 　　例如：判斷98865能不能被45整除。 　　98865的末位數(shù)字是5，可以被5整除，98865的各位數(shù)字的和是9+8+8+6+5=

46、36，36又是9的倍數(shù)，因此，98865一定能被45整除。 　　使用上述4種間接判斷方法，要特別注意一個(gè)問(wèn)題，即：一個(gè)數(shù)所分解的兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)必須是互質(zhì)數(shù)，否則就會(huì)發(fā)生判斷上的錯(cuò)誤。 　　例如：12不能分解成2×6，18也不能分解成3×6。如果12=2×6，2與6并不是互質(zhì)數(shù)，且6=2×3，這樣，2就重復(fù)考慮了兩次，結(jié)果就形成了能被6整除的數(shù)就能被12整除的錯(cuò)誤結(jié)論。 　　如果18=3×6，3與6這兩個(gè)數(shù)也不是互質(zhì)數(shù)，6又可以分解成2×3，這樣，3又重復(fù)考慮了兩次。6是3的倍數(shù)，也會(huì)導(dǎo)致能被6整除的數(shù)就能被18整除的錯(cuò)誤結(jié)論。事實(shí)上，如：246、462這些數(shù)，都滿足能被3和6整除的條件

47、，但卻不能被18整除。 171.為什么三個(gè)連續(xù)數(shù)相乘的積一定是6的倍數(shù)？ 　　三個(gè)連續(xù)數(shù)相乘的積一定是6的倍數(shù)，這決定于自然數(shù)列的排列規(guī)律。因?yàn)樵谧匀粩?shù)列里，所有的偶數(shù)都是2的倍數(shù)，也就是每隔一個(gè)數(shù)必是一個(gè)2的倍數(shù)，而每隔兩個(gè)數(shù)，必是3的倍數(shù)。 　　例如：從11起自然數(shù)列的順序是這樣的： 　　從上面自然數(shù)列中可以看出：無(wú)論從任何一個(gè)數(shù)開(kāi)始，三個(gè)連續(xù)數(shù)中，必定有2和3的倍數(shù)，而2與3的乘積是6，所以在三個(gè)連續(xù)數(shù)的乘積里，必定有6的倍數(shù)?；蛘哒f(shuō)：三個(gè)連續(xù)數(shù)相乘的積一定是6的倍數(shù)。 　　例如：14、15、16三個(gè)連續(xù)數(shù)。 　　這三個(gè)連續(xù)數(shù)中，14和16是2的倍數(shù)，15是3的倍數(shù)，因此

48、，這三個(gè)連續(xù)數(shù)相乘的積，一定是6的倍數(shù)。14、15、16相乘積是14×15×16=3360，而3360是6的560倍。 172.質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)和互質(zhì)數(shù)有什么區(qū)別？ 　　質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)和互質(zhì)數(shù)這三個(gè)術(shù)語(yǔ)的概念極易混淆，因?yàn)樗鼈兌加小百|(zhì)”和“數(shù)”兩個(gè)字。正確地區(qū)分這幾個(gè)概念，對(duì)掌握數(shù)的整除性這部分基礎(chǔ)知識(shí)，有著極其重要的意義。 　?。?）質(zhì)數(shù)：一個(gè)自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也稱素?cái)?shù)）。 　　例如： 　　1的約數(shù)有：1； 　　2的約數(shù)有：1，2； 　　3的約數(shù)有：1，3； 　　4的約數(shù)有：1，2，4； 　　6的約數(shù)有：1，2，3，6； 　　7的約數(shù)有：1，7

49、； 　　12的約數(shù)有：1，2，3，4，6，12； 　　…… 　　從上面各數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)中可以看到：一個(gè)自然數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)有三種情況： 　?、僦挥幸粋€(gè)約數(shù)的，如1。因此，1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。 　　②只有兩個(gè)約數(shù)的（1和它本身），如2，3，7…… 　?、塾袃蓚€(gè)以上約數(shù)的，如4，6，12…… 　　屬于第②種情況的，叫做質(zhì)數(shù)。屬于第③種情況的，即：除了1和本身以外，還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。 　　（2）質(zhì)因數(shù)：一般地說(shuō)，一個(gè)數(shù)的因數(shù)是質(zhì)數(shù)，就叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。 　　例如：18=2×3×3 　　這里的2、3、3都是18的因數(shù)，而2和3本身又都是質(zhì)數(shù)，于是我們就把2、3、3叫

50、做18的質(zhì)因數(shù)。這里需要注意的是：18也可以寫成3與6的乘積，即：18=3×6，無(wú)疑3和6都是18的因數(shù)，但3本身是質(zhì)數(shù)，可以稱做18的質(zhì)因數(shù)，而6是合數(shù)，則不能稱做18的質(zhì)因數(shù)。 　?。?）互質(zhì)數(shù)：兩個(gè)或幾個(gè)自然數(shù)，當(dāng)它們的最大公約數(shù)是1的時(shí)候，這兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)，就叫做互質(zhì)數(shù)（也叫互素?cái)?shù)）。 　　例如：5和7，4和11，8和9，7、11和15，12、20和35……。 　　上述這幾組數(shù)，它們的最大公約數(shù)都是1，因此，它們都是互質(zhì)數(shù)。在以上兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中，如7、11和15這三個(gè)數(shù)，7和11是互質(zhì)數(shù)，11和15是互質(zhì)數(shù)，7和15也是互質(zhì)數(shù)。這類情況，我們就叫做這三個(gè)數(shù)“兩兩互質(zhì)”。但12、20和

51、35這組數(shù)中，雖然它們也是互質(zhì)數(shù)，但不是兩兩互質(zhì)，因?yàn)?2和35是互質(zhì)數(shù)，至于12和20、20和35都不是互質(zhì)數(shù)。 　　需要注意的是：不管兩個(gè)數(shù)互質(zhì)或者兩個(gè)的數(shù)以上互質(zhì)，這些數(shù)本身卻不一定是質(zhì)數(shù)，如5和7是互質(zhì)數(shù)，它們本身都是質(zhì)數(shù)；4和11是互質(zhì)數(shù)，其中4并不是質(zhì)數(shù)；8和9是互質(zhì)數(shù)，但8和9本身都不是質(zhì)數(shù)。 　　總之，質(zhì)數(shù)是指一個(gè)數(shù)。譬如說(shuō)：“2是質(zhì)數(shù)，11是質(zhì)數(shù)”等等。質(zhì)因數(shù)雖然也是指一個(gè)數(shù)，但是它是針對(duì)另一個(gè)數(shù)而說(shuō)的。譬如說(shuō)：“5是35的質(zhì)因數(shù)。”如果離開(kāi)35，孤立地說(shuō)：“5是質(zhì)因數(shù)?！眲t是不妥當(dāng)?shù)?。因此，質(zhì)因數(shù)具有雙重身份：第一必須是個(gè)質(zhì)數(shù)；第二必須是另一個(gè)數(shù)的因數(shù)。 　　互質(zhì)數(shù)同

52、質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)都不同，它不是指一個(gè)數(shù)，而是指除了1以外，再?zèng)]有其他公約數(shù)的兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)。 　　由此可見(jiàn)：掌握質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)和互質(zhì)數(shù)這幾個(gè)術(shù)語(yǔ)的概念，其中質(zhì)數(shù)是基礎(chǔ)，這三者之間既有聯(lián)系，又有區(qū)別，要透徹理解和正確區(qū)分，才能防止混淆。 173.怎樣判斷一個(gè)數(shù)是不是質(zhì)數(shù)？ 　　正確而迅速地判斷一個(gè)自然數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，在數(shù)的整除性這部分知識(shí)中，是一項(xiàng)重要的基本技能。 　　由于大于2的質(zhì)數(shù)一定是奇數(shù)（奇數(shù)又不一定都是質(zhì)數(shù)），所以，在判斷一個(gè)自然數(shù)是不是質(zhì)數(shù)時(shí)，首先要看它是奇數(shù)還是偶數(shù)。如果是大于2的偶數(shù)，這個(gè)數(shù)肯定不是質(zhì)數(shù)，而是合數(shù)；如果是奇數(shù)，那就有可能是質(zhì)數(shù)。在這種情況下，一般使用以下兩種方

53、法： 　?。?）查表法： 　　主要是指查“質(zhì)數(shù)表”。編制質(zhì)數(shù)表的過(guò)程是：按照自然數(shù)列，第一個(gè)數(shù)1不是質(zhì)數(shù)，因此要除外，然后按順序?qū)懗?至500的所有自然數(shù)，這些數(shù)中2是質(zhì)數(shù)，把它留下，把2后面所有2的倍數(shù)劃去，2后面的3是質(zhì)數(shù)，接著再把3后面所有3的倍數(shù)劃去，如此繼續(xù)下去，剩下的便是500以內(nèi)的全部質(zhì)數(shù)。 　　最早使用上述方法來(lái)尋求質(zhì)數(shù)的人，是古代希臘數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼，由于他在開(kāi)始時(shí)，先把自然數(shù)寫在一塊蠟板上，把不是質(zhì)數(shù)的數(shù)（合數(shù)）分別刺上一個(gè)孔，這樣，在蠟板上就被刺上了許多象篩子一樣的孔，后來(lái)，大家就把這種尋求質(zhì)數(shù)的方法叫做“篩法”。 　　下面是用篩法尋找出的500以內(nèi)質(zhì)數(shù)表：

54、 　　這類的質(zhì)數(shù)表還可以編制成數(shù)字范圍更大一些的，如1000以內(nèi)質(zhì)數(shù)表等。判斷一個(gè)自然數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，如在表所規(guī)定的數(shù)字范圍內(nèi)，即可用查表的方法進(jìn)行判斷。 　?。?）試除法： 　　在手頭上沒(méi)有質(zhì)數(shù)表的情況下，可以用試除法來(lái)判斷一個(gè)自然數(shù)是不是質(zhì)數(shù)。例如判斷143、179是不是質(zhì)數(shù)，就可以按從小到大的順序用2、3、5、7、11……等質(zhì)數(shù)去試除。一般情況下用20以內(nèi)的2、3、5、7、11、13、17、19這8個(gè)質(zhì)數(shù)去除就可以了。如143，這個(gè)數(shù)的個(gè)位是3，排除了被2、5整除的可能性，它各位數(shù)字的和是1+4+3=8，也不可能被3整除，通過(guò)口算也證明不能被7整除，當(dāng)試除到11時(shí)，商正好是13，到此

55、就可以斷定143不是質(zhì)數(shù)。 　　對(duì)179試除過(guò)程如下： 　　179÷2=59……2 　　179÷3=66……1 　　179÷5=35……4 　　179÷7=25……4 　　179÷11=16……3 　　179÷13=13……10 　　179÷17=10……9 　　當(dāng)179÷17所得到的不完全商10比除數(shù)17小時(shí)，就不需要繼續(xù)再試除，而斷定179是質(zhì)數(shù)。這是因?yàn)?、3、5、7、11、13、17都不是179的質(zhì)因數(shù)，因此，179不會(huì)再有比17大的質(zhì)因數(shù)，或者說(shuō)179不可能被小于10的數(shù)整除，所以，179必是質(zhì)數(shù)無(wú)疑。 　　綜上所述，用試除法判斷一個(gè)自然數(shù)a是不是質(zhì)數(shù)時(shí)，只要用各

56、個(gè)質(zhì)數(shù)從小到大依次去除a，如果到某一個(gè)質(zhì)數(shù)正好整除，這個(gè)a就可以斷定不是質(zhì)數(shù)；如果不能整除，當(dāng)不完全商又小于這個(gè)質(zhì)數(shù)時(shí)，就不必再繼續(xù)試除，可以斷定a必然是質(zhì)數(shù)。 174.怎樣把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)？ 　　分解質(zhì)因數(shù)在數(shù)的整除性這部分知識(shí)中，既是整除、約數(shù)、質(zhì)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，也是后面學(xué)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的前提和準(zhǔn)備，所以，在數(shù)的整除中,它具有承上啟下的作用。 　　把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，就是把這個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)?；蛘哒f(shuō)，把一個(gè)合數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的連乘積。譬如36是合數(shù)，把36分解成因數(shù)相乘，會(huì)有以下幾種情況： 　　（1）36=1×36 （2）36=2×18 　　

57、（3）36=4×9 （4）36=3×12 　?。?）36＝6×6 　　在上面五種分解中，只有（2）式的2和（4）式的3是質(zhì)數(shù),其他都不是。要分解質(zhì)因數(shù)就要把不是質(zhì)數(shù)的數(shù)（1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，排除在外），再分解成質(zhì)數(shù)連乘的形式。如（3）式中的4和9都是合數(shù)，4可以分解為：2×2； 9可以分解為： 3 × 3。這樣，把 36分解質(zhì)因數(shù)，36=2×2×3×3。事實(shí)上，除（l）式外，（2）（4）（5）式繼續(xù)分解，其最后結(jié)果也是同樣的。 　　把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，具體過(guò)程可采用短除法。 　　例如：把420分解質(zhì)因數(shù)。（從最小的質(zhì)因數(shù)開(kāi)始） 　　由短除式中可以看到，420有2、2、5、3

58、、7五個(gè)質(zhì)因數(shù)，420分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是：420=2×2×5×3×7。 　　在進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)時(shí)，最后的書(shū)寫格式要特別注意，一定要把所要分解的合數(shù)寫在等號(hào)的左邊，如：24=2×2×2×3，105=3×5×7等，而不能寫在等號(hào)的右邊，如：2× 2×2×3= 24，這樣就與乘法算式相混淆，而不是分解質(zhì)因數(shù)了。 175.怎樣找出一個(gè)合數(shù)所有的約數(shù)？ 　　把一個(gè)合數(shù)所有的約數(shù)都找出來(lái)，對(duì)數(shù)目不大的合數(shù)，可以通過(guò)口算找出來(lái)，例如：9的約數(shù)有1、3、9；15的約數(shù)有1、3、5、15；21的約數(shù)有1、3、7、21等。對(duì)于數(shù)目較大的數(shù)，單純靠口算，就有可能會(huì)遺漏中間的約數(shù)。通常可以先把這個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，

59、再把各個(gè)質(zhì)因數(shù)依次搭配結(jié)合，就可以找出它的所有約數(shù)。 　　例如：找出420的所有約數(shù)。 　　先把120分解質(zhì)因數(shù) 　　420=2×2×3×5×7 　?。?）上面這些約數(shù)中有質(zhì)數(shù)：2、3、5、7四個(gè)。 　?。?）由兩個(gè)質(zhì)數(shù)結(jié)合成的有： 　　2×2=4 2×3=6 　　2×5=10 2×7=l4 　　3×5=15 3×7＝21 　　5×7=35 　　有4、6、10、14、15、21、35七個(gè)。 　?。?）由三個(gè)質(zhì)數(shù)結(jié)合成的有： 　　2×2×3=12 2×2×5＝20 　　2×2×7＝28 2×3×5＝30 　　2×3×7=42 2×5×7＝70 　　3×5×7＝105

60、 　　有12、20、28、30、42、70、105七個(gè)。 　　(4）由四個(gè)質(zhì)數(shù)結(jié)合成的有： 　　2×2×3×5=60 2×2×3×7=84 　　2×2×5×7=140 2×3×5×7=210 　　有60、84、140、210四個(gè)。 　　因此，420的約數(shù)有4＋7＋7＋4=22（個(gè)），再加上1和420本身，共24個(gè)約數(shù)。 　　除上述方法外，還可以先把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后把每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)加1，連乘起來(lái)，所得的積就是這個(gè)合數(shù)的所有約數(shù)的個(gè)數(shù)，并且包括了1和它本身。 　　仍以420為例： 　　∴420有 24個(gè)約數(shù)。 　　∴360也有 24個(gè)約數(shù)。 176.為什么用

61、短除法能求出幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)？ 　　求幾個(gè)數(shù)最大公約數(shù)的方法，開(kāi)始時(shí)用觀察比較的方法，即：先把每個(gè)數(shù)的約數(shù)找出來(lái)，然后再找出公約數(shù)，最后在公約數(shù)中找出最大公約數(shù)。 　　例如：求12與18的最大公約數(shù)。 　　12的約數(shù)有：1、2、3、4、6、12。 　　18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18。 　　12與18的公約數(shù)有：1、2、3、6。 　　12與18的最大公約數(shù)是6。 　　這種方法對(duì)求兩個(gè)以上數(shù)的最大公約數(shù)，特別是數(shù)目較大的數(shù)，顯然是不方便的。于是又采用了給每個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)的方法。 　　12=2×2×3 　　18=2×3×3 　　12與18都可以分成幾種形式不同的乘積

62、，但分成質(zhì)因數(shù)連乘積就只有以上一種，而且不能再分解了。所分出的質(zhì)因數(shù)無(wú)疑都能整除原數(shù)，因此這些質(zhì)因數(shù)也都是原數(shù)的約數(shù)。從分解的結(jié)果看，12與 18都有公約數(shù) 2和 3，而它們的乘積2×3=6，就是 12與18的最大公約數(shù)。 　　采用分解質(zhì)因數(shù)的方法，也是采用短除的形式，只不過(guò)是分別短除，然后再找公約數(shù)和最大公約數(shù)。如果把這兩個(gè)數(shù)合在一起短除，則更容易找出公約數(shù)和最大公約數(shù)。 　　從短除中不難看出，12與18都有公約數(shù)2和3，它們的乘積2×3=6就是12與18的最大公約數(shù)。與前邊分別分解質(zhì)因數(shù)相比較，可以發(fā)現(xiàn)：不僅結(jié)果相同，而且短除法豎式左邊就是這兩個(gè)數(shù)的公共質(zhì)因數(shù)，而兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)

63、，就是這兩個(gè)數(shù)的公共質(zhì)因數(shù)的連乘積。 177.為什么用短除法能求出幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)？ 　　最小公倍數(shù)的定義是：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。求幾個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的方法，可以用分別分解質(zhì)因數(shù)的方法，先找出幾個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)，再找出各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)，把這些質(zhì)因數(shù)連乘起來(lái)，最后得出的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 　　例如：求12和20的最小公倍數(shù)。 　　12和20的最小公倍數(shù)是2×2×3×5=60 　　把分別分解合在一起，就是短除法。這樣做，不僅結(jié)果一樣，還減少了中間計(jì)算的層次，通常采用的就是這種方法。 　　仍如上例： 　　短

64、除豎式左邊是這兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)，豎式下邊是這兩個(gè)數(shù)各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)。根據(jù)兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)一定能被這兩個(gè)數(shù)整除，所以，最小公倍數(shù)必須包含這兩個(gè)數(shù)里的所有質(zhì)因數(shù)。豎式左邊的公有質(zhì)因數(shù)與豎式下邊各自獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積，才是最小公倍數(shù)的道理，就在于此。 　　在求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí)，兩個(gè)數(shù)中共同的質(zhì)因數(shù)要篩去，如果不篩去，所求出來(lái)的雖然也是這三個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，但不是最小公倍數(shù)。所以，只要有兩個(gè)數(shù)能被同一質(zhì)數(shù)整除，就應(yīng)該繼續(xù)除下去，直到除到豎式下邊的三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)為止。 　　例如：求15、30和50的最小公倍數(shù)。 　　∴15、 30和50的最小公倍數(shù)是5×2×3×5=150。 178.兩個(gè)

65、數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有什么聯(lián)系？ 　　兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)是兩個(gè)完全不同的概念，但它們之間又存在著一定的規(guī)律。以12和20的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)為例： 　　12和20的最大公約數(shù)是2×2=4； 　　12和20的最小公倍數(shù)是2×2×3×5=60。 　　12與20的積是12×20=240，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積是 4 × 60=240。兩個(gè)積正好一樣，這并非巧合，而是一種規(guī)律，即：兩個(gè)自然數(shù)的積等于這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積。通過(guò)原來(lái)算式的因數(shù)交換可以得到證明： 　　再如：45與105的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)為： 　 　　45與105的最

66、大公約數(shù)是3×5=15； 　　45與105的最小公倍數(shù)是3×5×3×7=315。 　　45與105的乘積是45×105=4725，再看最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積也是15×315=4725。由此可證明，兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)是有聯(lián)系的，這種聯(lián)系是通過(guò)以上規(guī)律來(lái)體現(xiàn)的，這個(gè)規(guī)律如果用字母公式表示為： 　　一般地，a×b=（a，b）× [a，b] 　　依據(jù)這個(gè)規(guī)律，在求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)，可以推導(dǎo)出新的公式。即：已知12與20的最大公約數(shù)是4，求它們的最小公倍數(shù)是多少？ 　　最小公倍數(shù)=兩數(shù)的乘積/最大公藥數(shù)=12×20/4=60 　　如果已知12與20的最小公倍數(shù)是60，求它們的最大公約數(shù)是多少？ 　　最大公約數(shù)=兩數(shù)的乘積/最小公倍數(shù)=12×20/60=4 179.怎樣用求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法解答實(shí)際問(wèn)題？ 　　在實(shí)際生活中，有些應(yīng)用題需要用求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法去解答，用其他解應(yīng)用題的方法將無(wú)濟(jì)于事。 　　例1：將一塊長(zhǎng)24厘米，寬18厘米，厚12厘米的長(zhǎng)方體木料，鋸成盡可能大的同樣大小的正方體木塊，可以鋸成多少塊？ 　　由