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1、9空間向量的應(yīng)用
知識(shí)梳理:
1 .平面的法向量的確定平面的法向量可利用方程組求出：設(shè) a, b是平面 泌］兩不共線向量，n為平面疝勺法
fn a= 0,
向量，則求法向量的方程組為
n b= 0.
2 .用向量證明空間中的平行關(guān)系
(1)設(shè)直線l的方向向量為V,平面a的法向量為U,則l//減l? a? V±U.
(2)設(shè)平面矯口由勺法向量分別為 Ui , U2,則a// ? Ui // U2.
3 .用向量證明空間中的垂直關(guān)系
(1)設(shè)直線l 1和|2的方向向量分別為 V1和V2,則11 ± 12? V1± V2? V1 V2= 0.
(2)設(shè)直線l的方
2、向向量為V,平面a的法向量為U,則l, 0? V // U.
(3)設(shè)平面環(huán)口(3的法向量分別為u 1和u2,則a_L3?U1-LU2?u 1u2=0.
4 .兩條異面直線所成角的求法
設(shè)a, b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則
l1與l2所成的角0
a與b的夾角3
范圍
(0, T
2
[0,兀]
求法
cos 0=露b| la llbl
cos 3= aLb |a||b|
5 .直線與平面所成角的求法
設(shè)直線l的方向向量為a,平面”的法向量為n,直線l與平面a所成的角為Q a與n的夾角為3則sin 0= |cos)
=|a川
.
lain
3、
6 .求二面角的大小
0=〈 AB,CD〉.
⑴如圖①，AB, CD分別是二面角a—l—毗兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小
⑵如圖②③，n 1, n2分別是二面角a—l— 3的兩個(gè)半平面a, 3的法向量，則二面角的大小，蔭足|cos q= |cos
〈n 1, n2> |,二面角的平面角大小是向量m與n2的夾角(或其補(bǔ)角).
7 .點(diǎn)到平面的距離 如圖所示，已知 AB為平面a的一條斜線段，n為平面a的法向量，則B到平面a的距離
為 |BO|= |ABA
|n|
習(xí)題選粹：
1.如圖所示，在正方體 ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形 ABCD的中心，M是
4、D1D的中點(diǎn)，N是A1B1
的中點(diǎn)，則直線 ON, AM的位置關(guān)系是
2如圖所示，正三棱柱（底面為正三角形的直三棱柱 ）ABC—AiBiCi的所有棱長(zhǎng)都為 2, D為CCi的中點(diǎn).求
證：ABi,平面 AiBD.
3. （2016鄭州模擬）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱
直線ABi所成角的余弦值為（）
ABC-AiBiCi, CA=CCi=2CB,則直線 BCi 與
4. （教材改編）如圖，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱
ACi與側(cè)面ABBiAi所成的角為.
）ABC—AiBiCi的底面邊長(zhǎng)為 2
5、,側(cè)棱長(zhǎng)為 2 2,則
5. （20i7武漢月考）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面PAD,底面ABCD ,
且PA=PD==AD,設(shè) 巳F分別為PC, BD的中點(diǎn). 2
（i）求證：EF//平面PAD;
⑵求證：平面PABL平面PDC.
6.如圖所示，四邊形 ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD，平面 ABCD,
NB，平面
ABCD,
且 MD= NB= 1, E
為BC的中點(diǎn).
⑴求異面直線NE與AM所成角的余弦值；
⑵在線段AN上是否存在點(diǎn)S,使得ES，平面AMN?若存在，求線段 AS的長(zhǎng)；若不存 在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
7
6、 .(2016北京)如圖，在四棱錐 PABCD中，平面 PAD，平面 ABCD , PAXPD,
= PD, ABXAD, AB=1, AD = 2, AC=CD= 5.
⑴求證：PDL平面PAB;
⑵求直線PB與平面PCD所成角的正弦值； ⑶在^^PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM//平面PCD?若存在，求AM的值；若不存在，說(shuō)明理由.
AP
8 . (2015課標(biāo)全國(guó)I)如圖，四邊形 ABCD為菱形，/ ABC= 120°, E, F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BEX
平面 ABCD, DFL平面 ABCD, BE=2DF, AEXEC.
(1)證明：平面 AECL平面 AFC;
7、
⑵求直線AE與直線CF所成角的余弦值.
(3)求點(diǎn)F到面AEC的距離
AD是公共的余^邊，且 AD =73,
9 .如圖，在三棱錐 A —BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,
BD = CD = 1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形
(1)求證：AD_L.BC
(2) 求二面角B-AC-D的余弦值
10.如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，/ ABC=60 °, PA=AC= a, PB=PD= J2 a,
點(diǎn) E 在 PD 上，且 PE:ED=2 : 1。
(1)證明：PAL平面ABCD ;
(2)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角 的勺大??；
(3)在^^PC上是否存在點(diǎn)F,使BF//平面EAC,并證明你的結(jié)論
(4)
高一數(shù)學(xué)《空間向量的應(yīng)用》專項(xiàng)訓(xùn)練
