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1、會計學1新課標高中數(shù)學理第一輪總復習新課標高中數(shù)學理第一輪總復習 數(shù)學歸數(shù)學歸納法納法第1頁/共50頁21xx212*“11(1)111.nnxxxxxnnxN用數(shù)學歸納法證明，”，驗證成立時，左邊的項是解析：當n=1時，左邊式子是二次式，為1+x+x2.第2頁/共50頁2.記凸k邊形的內角和為f(k)，則凸k+1邊形的內角和f(k+1)=f(k)+_.解析：由凸k邊形到凸k+1邊形，增加了一個三角形，故f(k+1)=f(k)+p .p第3頁/共50頁21*1 11211211122221()12121112221-2211122221-22113.nnkkkkkknnnknknkn N 用數(shù)

2、學歸納法證明：的過程如下： 當時，左邊，右邊，等式成立；假設時等式成立，即，則當時，即時，等式成立由此可知，對任何自然數(shù) ，等式都成立上述證明錯在何處？1nknk 由時等式成立，推導時等式成立，未用歸納假設第4頁/共50頁4.一個關于正整數(shù)n的命題，如果驗證n=1時命題成立，并在假設n=k(k1)時命題成立的基礎上，證明了n=k+2時命題成立，那么論證過程到此為止只說明該命題對_一切正奇數(shù)都成立解析：上述論證過程，只說明對n=1,3,5,7，命題成立，并不能說明命題對n=2,4,6，這些偶數(shù)能否成立，故這樣的論證只能說明命題對一切正奇數(shù)都成立第5頁/共50頁5 . 用 數(shù) 學 歸 納 法 證

3、明 對 任 意 n N*， 有34n+2+52n+1能被14整除的過程中，當n=k+1時，34 ( k + 1 ) + 2+ 52 ( k + 1 ) + 1應 該 變 形 為_.解析： 因為n=k+1時的證明過程，要用歸納假設n=k時，34k+2+52k+1能被14整除，所以34(k+1)+2+52(k+1)+1=8134k+2+2552k+1=25(34k+2+52k+1)+5634k+2.25(34k+2+52k+1)+5634k+2第6頁/共50頁數(shù)學歸納法在證數(shù)學歸納法在證明等式中的應用明等式中的應用【例1】是否存在常數(shù)a、b、c使得等式。122+232+n(n+1)2= (an2+

4、bn+c)對一切正整數(shù)n都成立？證明你的結論.(1)12n n第7頁/共50頁, , 243 424411. 937010abcnnabcaabcbabcc1 2 3假設存在常數(shù) 、 、 使得等式對一切正整數(shù) 都成立，則對等式都成立，即，解得【解析】第8頁/共50頁(1)12n n22(1)(31110)(1)(2)12k kkkkk2(1)(31110)12k kkk第9頁/共50頁(1)12k k (1)(2)12kk(1)(2)12kk(1)(2)12kk(1)12n n第10頁/共50頁 用數(shù)學歸納法證明等式時，要清楚等式兩邊的結構，特別是由nk到nk1等式兩邊發(fā)生了怎樣的變化，項數(shù)增

5、加了多少項，這是正確解答問題的關鍵 第11頁/共50頁【變式練習1】用數(shù)學歸納法證明：用數(shù)學歸納法證明： 111111111234212122nnnnn第12頁/共50頁【證明】 (1)當n=1時，左邊=右邊= ，命題成立 (2)假設n=k時，命題成立， 即 .那么當n=k+1時，左邊12111111234212111122nnnnn111111112342122122111111222122kkkkkkkkk 第13頁/共50頁數(shù)學歸納法在證明數(shù)學歸納法在證明整除問題中的應用整除問題中的應用 【例2】用數(shù)學歸納法證明：1(3x)n(nN*)能夠被x2整除 第14頁/共50頁 111 (3)(

6、2)2121 (3)21 (3)(2)1kknxxxnnkxxxxf xf xxk當 時， 能夠被 整除，所以 時命題成立；假設當 時，命題成立，即 能夠被 整除，則可設 ，其中是 的 次【證明】多項式第15頁/共50頁 1*211 (3)1 (3)(3)1 (3)1 (2) 1 (3)(3)(2)(2)(3)(2)(2) 1 (3)2121 (3) (N )2kknnkxxxxxf xxx xf xxx xf xxx f xxxnx則當 時， ，能夠被 整除綜合知， 能夠被 整除第16頁/共50頁 整除問題的證明一般是將nk1時的結論設法用nk時的結論表示，然后應用歸納假設證明nk1時命題成

7、立第17頁/共50頁*(31) 71(N )92nnn用數(shù)學歸納法證明： 能夠被【變式練習 】整除第18頁/共50頁 *(31) 71()111(3 1 1) 7 1 27912(31) 71()99Znkf nnnNnfnnkf kkkNf kmm設當 時，能夠被 整除，所以 時命題成立；假設當 時，命題成立，即能夠被 整除，【則可設，證，明】gg第19頁/共50頁 1*21(1)(34) 71 =(31) 71 9(23) 799(23) 79(23) 7 (23) 7Z912(31) 71(N )9kkkkkknnkf kkkkmkmkmknn則當 時， = =， ，能夠被 整除綜合知，

8、 能夠被 整除ggggggg第20頁/共50頁數(shù)學歸納法在證明數(shù)學歸納法在證明不等式中的應用不等式中的應用 (.3)mxx mmx 111已知 為正整數(shù)，用數(shù)學歸納法證明：當時，【例 】第21頁/共50頁 當x=0或m=1時，原不等式中等號顯然成立. 下面用數(shù)學歸納法證明“當x -1，且x0時，(1+x)m1+mx(*)對m2,mN*成立”.(1)當m=2時，左邊=12xx2，右邊=12x.因為x0，所以x20，即左邊右邊，不等式(*)成立；【證明】第22頁/共50頁 (2)假設當m=k(k2, kN*)時，不等式(*)成立，即(1+x)k1+kx.則當m=k+1時，因為x-1，所以1+x0.

9、又因為x0, k0，所以kx20.于是在不等式(1+x)k 1+kx兩邊同乘以1+x,得(1+x)(1+x)k(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x，所以(1+x)k+11+(k+1)x.即當m=k+1時，不等式(*)也成立. 綜上(1)(2)所述，所證不等式成立.【證明】第23頁/共50頁 用數(shù)學歸納法證明函數(shù)中的不等式，首先要弄清楚誰是變量，作為函數(shù)，自變量x是變量，但在歸納法的應用中，與自然數(shù)有關的量才是數(shù)學歸納法要研究的變量；其次在應用歸納假設時，要對不等式作適當?shù)姆趴s轉化，確保向目標前進.第24頁/共50頁 1112(2011)33.3nnnnnaaqSsn

10、s已知等比數(shù)列的首項，公【變式練習比，是它的前南京期末項和求證：卷3】 11313 +1313131321. *nnnnnnnSSnnSnnn由已知，得，等價于，即解析：第25頁/共50頁 11133*321133 33 2163232111*32131.kkknnnnnkknkkkkknknSnSn 用數(shù)學歸納法證明 當時，左邊，右邊，所以成立； 假設當時， 成立，即， 那么當時， 所以當時， 成立綜合，得成立所以第26頁/共50頁數(shù)學歸納法在數(shù)列數(shù)學歸納法在數(shù)列問題中的應用問題中的應用 11111*2342344(N42)nnnnnnnnnnabababababnaaabbbab在數(shù)列、中

11、， ， ，且 ，成等差數(shù)列， ，成等比數(shù)列，求 ， ， 及 ， ， ，由此猜測，的通項公式，并證明【例 】你的結論第27頁/共50頁11223344226912162025.(1)(1) .1nnnnnnnbaaab babababan nbnn由條件得 ， ，由此可得： ， ， ， ， ， 猜測： ， 用數(shù)學歸納法證明：當 時，由上可得結【解析】論成立第28頁/共50頁22122112(1)(1) .122(1)(1)(1)(2)(2) .1(1)(1)kkkkkkkknnnkak kbknkabakk kkkabkbnkan nbn假設當時，結論成立，即，那么當 時，所以當時，結論也成立由

12、，可知，對一切正整數(shù)【解析】都成立第29頁/共50頁 數(shù)學歸納法在解決有關數(shù)列問題時發(fā)揮著很大的作用數(shù)列是關于自然數(shù)的命題，由數(shù)列的遞推關系，可以對結果進行推測和猜想，對猜想的結論進行合理證明，數(shù)學歸納法是最佳的工具本題聯(lián)系等差數(shù)列、等比數(shù)列，考查了數(shù)學歸納法的應用和綜合運用數(shù)學知識進行歸納、推理、論證的能力第30頁/共50頁 1*1112341429()1421nnnnnnaaaa aanaaaaaN已知數(shù)列滿足，且求 ， ， ， 的值；由猜想的通項公式，并【變式練習 】給出證明111234142992124471319.357nnnnnnnnaa aaaaaaaaa解（）由得， 求得，析：

13、第31頁/共50頁 *1*65221165()211112265442161615212111nkknannknkkaknkakakkkkkknkn NN猜想證明：當時，猜想成立設當時時，猜想成立，即則當時，有，所以當時猜想也成立，綜合，猜想對任何都成立第32頁/共50頁數(shù)學歸納法在幾何數(shù)學歸納法在幾何問題中的應用問題中的應用 .( ). nnf nnn22平面內有 個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點求證：這 個圓把平面分成個【】部分例5第33頁/共50頁成兩部分，因此平面區(qū)域在原基礎上增加了2k塊,于是f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2【

14、證明】第34頁/共50頁第35頁/共50頁 用數(shù)學歸納法證明幾何問題，關鍵是第二步中由k到k+1的變化情況.通過幾何說理，來完成算式推理，借助于幾何特征和圖形的直觀性來建立k與k+1的遞推關系.第36頁/共50頁( )( ).nnf nf nn平面內有 條直線，其中沒有兩條平行也沒有任何三條相交于同一點，設這 條直線將平面分成的區(qū)域為，求與 的關系式，并用數(shù)學歸【變式練習 】納法證明5 nfnfn 1122422 237當時，一條直線把平面分成兩部分，所以；當時，兩條直線把平面分成 個部分，所以；當時，三條直線把平面分成【解析】個部分，第37頁/共50頁1(1) 1.2n n111 1122

15、結論，成立；第38頁/共50頁 1( )(1) 12111(1)(1).nkkf kk knkkkkkkkk 設時結論條線當時條線來 條線個點這 個點條線將區(qū)兩區(qū)礎塊假，成立，即直把平面分成部分，那么，第直與原直有交，交把第直分成段，每一段原域分成部分，因此平面域在原基上增加了第39頁/共50頁(1)( )11(1) 1 (1)21=(1)(2) 1.21 .f kf kkk kkkknk 當時結論結論對數(shù)于是 即，成立由知，任意正整都成立第40頁/共50頁1.一個與自然數(shù)有關的命題，若nk(kN*)時，命題成立，可以推出nk1時，該命題也成立現(xiàn)在已知n5時該命題不成立，則當n4時該命題_.根

16、據(jù)逆否命題與原命題是等價【解析】的作答不成立第41頁/共50頁2.設f(n)n+f(1)+f(2)+f(n1)，用數(shù)學歸納法證明“n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)”時，第一步要證的等式是_. 2+1 =22ff第42頁/共50頁1111233112 -1_._3nnknkn用數(shù)學歸納法證明“”時，從 到 ，左邊增加了項12223434812knnknk由 到 ，增加 項；由 到 ，增加 項；由 到 ，增加 項，推出從 到 左邊增加了【解析】項2k第43頁/共50頁4.圓內有n條兩兩相交的弦將圓最多分為f(n)個區(qū)域，通過計算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，由此猜想f(n

17、)= _. 212243741122341(2)2fffff nnnn 計算得，猜想【解析】21(2)2nn第44頁/共50頁 *11112.315nf nnf nn N設，試比較與的大小 1,2131.13nf nnnf nnn當時； 當時 下面用數(shù)學歸納法證明： 當時，解析：顯然成立；第45頁/共50頁 *2(3)111112221121nk kkf kknkf kkkkkkkknkN 假設當，時，即， 那么，當時，即時，不等式也成立第46頁/共50頁 數(shù)學歸納法是演繹推理中的完全歸納法，也叫科學歸納法.從觀察一些特殊簡單的問題入手，根據(jù)它們所體現(xiàn)的共同性質，運用不完全歸納法作出一般命題的

18、猜想，然后從理論上證明這種猜想，這一過程稱為“歸納猜想證明”過程，它是一個完整的思維過程.數(shù)學歸納法將這一過程進行了抽象概括，構建了自己的證明體系.一般地，當要證明一個命題對于不小于某個正整數(shù)n0的所有第47頁/共50頁 正整數(shù)n都成立時，可以用下面兩個步驟來完成：(1)證明當n=n0時，命題成立；(2)假設當n=k(kN*, kn0)時，命題成立，再證明當n=k+1時，命題也成立.這種證明方法就是數(shù)學歸納法. 數(shù)學歸納法是一種適應于與正整數(shù)有關的命題的證明方法，它的表述嚴格而有規(guī)范，兩個步驟缺一不可，第一步是遞推的基礎.第48頁/共50頁第二步是遞推的依據(jù).第二步中，歸納假設起著“已知條件”的作用，在“n=k+1”時，必須要用到歸納假設這個條件否則會犯推理的邏輯錯誤.第二步的關鍵是在推證中，一要依據(jù)假設，二要符合推證的結論.第49頁/共50頁