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(新課標)2021版高考數(shù)學一輪總復習 第七章 不等式 第37講 簡單不等式及其解法導學案 新人教A版

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1、第37講 簡單不等式及其解法 【課程要求】 1.會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.結(jié)合“三個二次”之間的聯(lián)系,掌握一元二次不等式的解法. 3.熟練掌握分式不等式、含絕對值不等式、指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的解法. 對應學生用書p100 【基礎檢測】 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)若不等式ax2+bx+c<0的解集為(x1,x2),則必有a>0.(  ) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),則方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1和x2.(  ) (3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒

2、有實數(shù)根,則不等式ax2+bx+c>0的解集為R.(  ) (4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.(  ) (5)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下,則不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.(  ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.[必修5p80A組T4]已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6≤0},B=,那么集合A∩(?UB)等于(  )                    A.[-2,4) B.(-1,3] C.[-2,-1] D.[-1,3] [解析]因為A={

3、x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x≥4}, 故?UB={x|-1≤x<4},所以A∩(?UB)={x|-1≤x≤3},故選D. [答案]D 3.[必修5p80A組T2]函數(shù)y=log2(3x2-2x-2)的定義域是________________. [解析]由題意,得3x2-2x-2>0, 令3x2-2x-2=0,得x1=,x2=, ∴3x2-2x-2>0的解集為 ∪. [答案]∪ 4.若關(guān)于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是,則a+b=________. [解析]∵x1=-,x2=是方程ax2+bx+2=0的兩個根, ∴解得 ∴a+b=-14. [答

4、案]-14 5.已知關(guān)于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集為空集,則實數(shù)a的取值范圍是____________. [解析]當a2-4=0時,a=±2.若a=-2,不等式可化為-1≥0,顯然無解,滿足題意;若a=2,不等式的解集不是空集,所以不滿足題意;當a≠±2時,要使不等式的解集為空集,則解得-2b(a≠0)的解集為: (1)a>0時,__x∈__; (2)a<0時,__x∈__. 2.一元二次不等式 (1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0

5、)或ax2+bx+c≤0(a>0)的解集的各種情況如下表: 判別式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a>0)的圖象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有兩相異實根x1,x2(x10(a>0)的解集 __{x|xx2}__ {x|x≠ __R__ ax2+bx+c≤0(a>0)的解集 __{x|x1≤x≤x2}__ ____ ?   (2)常用結(jié)論 (x-a)(x-b)>0

6、或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法 不等式 解集 ab (x-a)·(x-b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa} (x-a)·(x-b)<0 {x|a0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 以上兩式的核心要義是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式. 4.簡單指數(shù)不等式 不等式af(x)>ag(x) (1)

7、當a>1時,等價于__f(x)>g(x)__; (2)當0logag(x) (1)當a>1時,等價于__f(x)>g(x)>0__; (2)當0f(x)>0__. 對應學生用書p101 一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式: (1)-3x2-2x+8≥0; (2)0<x2-x-2≤4. [解析] (1)原不等式可化為3x2+2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0. 解得-2≤x≤, 所以原不等式的解集為. (2)原不等式等價于

8、 ? ?? 借助于數(shù)軸,如圖所示, 所以原不等式的解集為{x|-2≤x<-1或2<x≤3}. [小結(jié)]解一元二次不等式的四個步驟: (1)化:把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標準形式,如例1中(1)小題; (2)判:計算對應方程的判別式; (3)求:求出對應的一元二次方程的根,或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根; (4)寫:利用“大于取兩邊,小于取中間”寫出不等式的解集. 1.求不等式-2x2+x+3<0的解集. [解析]化-2x2+x+3<0為2x2-x-3>0, 解方程2x2-x-3=0,得x1=-1,x2=, ∴不等式2x2-x-3>0的解集為(-∞,-1)∪

9、, 即原不等式的解集為(-∞,-1)∪. 簡單指數(shù)、對數(shù)及分式不等式的解法 例2 (1)不等式≤1的解集為(  ) A.B. C.D.∪ [解析]由題可知:-1≤0, ≤0??-

10、__. [解析]∵x<0時,ax>1,∴0<a<1. f>1?loga>logaa? ??1-a<<1?1<x<. [答案] [小結(jié)]應用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解有關(guān)指數(shù)、對數(shù)不等式問題,在高考中也時有出現(xiàn),其題型特征是以函數(shù)為載體,將問題轉(zhuǎn)化為簡單指數(shù)、對數(shù)不等式求解. 2.不等式≥-1解集是__________. [解析]將原不等式移項通分得≥0, 等價于解得x>5或x≤. 所以原不等式的解集為. [答案] 3.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若不等式f(x)<0的解集為,則f(ex)>0(e是自然對數(shù)的底數(shù))的解集是__________. [

11、解析]依題意可得f(x)=a(x-3)(a<0), 則f(ex)=a(ex-3)(a<0), 由f(ex)=a(ex-3)>0,可得0時,原不等式化為(x+1)≥0, 解得x≥或x≤-1. ③當a<0時,原不等式化為(x+1)≤0. 當>-1,即a<-2時,解得-1≤x≤; 當=-1,即a=-

12、2時,解得x=-1滿足題意; 當<-1,即-20時,不等式的解集為; 當-2

13、零的情形,以便確定解集的形式; (3)對方程的根進行討論,比較大小,以便寫出解集. 4.解關(guān)于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0(a>0). [解析]原不等式變?yōu)?ax-1)(x-1)<0, 因為a>0,所以a(x-1)<0. 所以當a>1,即<1時,解為<x<1; 當a=1時,解集為?; 當0<a<1,即>1時,解為1<x<. 綜上,當0<a<1時,不等式的解集為; 當a=1時,不等式的解集為?; 當a>1時,不等式的解集為. 含參不等式恒成立問題 角度一:形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)確定參數(shù)的范圍 例4 已知不等式mx2-2x-m+1<0,

14、是否存在實數(shù)m對所有的實數(shù)x,不等式恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由. [解析]要使不等式mx2-2x-m+1<0恒成立, 即函數(shù)f(x)=mx2-2x-m+1的圖象全部在x軸下方. 當m=0時,1-2x<0,則x>,不滿足題意; 當m≠0時,函數(shù)f(x)=mx2-2x-m+1為二次函數(shù), 需滿足開口向下且關(guān)于x的方程mx2-2x-m+1=0無解, 即 不等式組的解集為空集,即m無解. 綜上可知,不存在這樣的實數(shù)m使不等式恒成立. 角度二:形如f(x)≥0(x∈[a,b])確定參數(shù)范圍 例5 設函數(shù)f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若對于x∈[1,

15、3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范圍. [解析]要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立, 則mx2-mx+m-6<0, 即m+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立. 有以下兩種方法: 法一:令g(x)=m+m-6,x∈[1,3]. 當m>0時,g(x)在[1,3]上是增函數(shù), 所以g(x)max=g(3)=7m-6<0, 所以m<,則0<m<; 當m<0時,g(x)在[1,3]上是減函數(shù), 所以g(x)max=g(1)=m-6<0, 所以m<6,即m<0. 綜上所述,m的取值范圍是(-∞,0)∪. 法二:因為x2-x+1=+>0, 又因為m(x2-x+1

16、)-6<0, 所以m<. 因為函數(shù)y== 在[1,3]上的最小值為, 所以只需m<即可. 因為m≠0, 所以m的取值范圍是(-∞,0)∪. 角度三:形如f(x)≥0(參數(shù)m∈[a,b])確定x的范圍 例6 對任意m∈[-1,1],函數(shù)f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范圍. [解析]由f(x)=x2+(m-4)x+4-2m =(x-2)m+x2-4x+4, 令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4. 由題意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零, ∴ 解得x<1或x>3. 故當x∈(-∞,1)∪(3,+∞)時,對任意的m∈[-1,1]

17、,函數(shù)f(x)的值恒大于零. [小結(jié)](1)對于一元二次不等式恒成立問題,恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方;恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值. (2)解決恒成立問題一定要搞清誰是主元,誰是參數(shù),一般地,知道誰的范圍,誰就是主元;求誰的范圍,誰就是參數(shù). 角度四:對?x1,x2∈D都有f(x1)≤g(x2)?[f(x)]max≤[g(x)]min.(這里假設[f(x)]max,[g(x)]min存在) 例7 已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3,g(x)=log2x+m,對?x1,x2∈

18、[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍. [解析]f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2, 當x∈[1,4]時,[f(x)]min=f(1)=2,[g(x)]max=g(4)=2+m. 由題意得,[f(x)]min>[g(x)]max,則2>2+m. ∴m<0. 角度五:?x1∈D1,?x2∈D2,使f(x1)≥g(x2)?[f(x)]min≥[g(x)]min.(這里假設[f(x)]min,[g(x)]min存在). 例8 已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=-m,若?x1∈[0,3],?x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求實數(shù)m的取值范

19、圍. [解析]當0≤x≤3時,[f(x)]min=f(0)=0, 當1≤x≤2時,[g(x)]min=g(2)=-m, 由題意:則[f(x)]min≥[g(x)]min,0≥-m, ∴m≥. 5.函數(shù)f(x)=x2+ax+3. (1)當x∈R時,f(x)≥a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍; (2)當x∈[-2,2]時,f(x)≥a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍; (3)當a∈[4,6]時,f(x)≥0恒成立,求實數(shù)x的取值范圍. [解析] (1)∵當x∈R時,x2+ax+3-a≥0恒成立, 需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0, ∴實數(shù)a的取值范圍是[-6,2

20、]. (2)當x∈[-2,2]時,設g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三種情況討論(如圖所示): ①如圖1,當g(x)的圖象恒在x軸上方且滿足條件時,有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2. ②如圖2,g(x)的圖象與x軸有交點, 但當x∈[-2,+∞)時,g(x)≥0, 即 即可得 解得a∈?. ③如圖3,g(x)的圖象與x軸有交點, 但當x∈(-∞,2]時,g(x)≥0. 即 即可得 ∴-7≤a≤-6, 綜上,實數(shù)a的取值范圍是[-7,2]. (3)令h(a)=xa+x2+3. 當a∈[4,6]時,h(a)≥0恒成立. 只需即 解得x≤-3-或x≥-3+. ∴實數(shù)x的取值范圍是(-∞,-3-]∪[-3+,+∞). 11

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