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2020年高考數(shù)學(xué) 考前查缺補漏系列 熱點04 合情演繹推理你準備好如何有效推理了嗎?

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1、合情演繹推理,你準備好如何有效推理了嗎? 一、歸納推理 歸納推理的一般步驟: (1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì); (2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想).如果歸納的個別情況越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題就越可靠. 例1 已知:f(x)=,設(shè)f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1[fn-1(x)](n>1且n∈N*),則f3(x)的表達式為________,猜想fn(x)(n∈N*)的表達式為________. 【思路分析】 由已知關(guān)系,計算f1(x)、f2(x)、f3(x),猜想出fn(x). f3(x)=f2[f2(x)]==,…,

2、 由此猜想fn(x)=(nN*). 【規(guī)律方法】 歸納推理的特點: (1)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象,因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍. (2)歸納的前提是特殊的情況,所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗或試驗的基礎(chǔ)之上的. 二.類比推理 由類比推理知:體積比是棱長比的立方. 即可得它們的體積比為1∶8. 【答案】 1∶8 【規(guī)律方法】 類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等,可以類比到空間立體幾何中,得到類似結(jié)論. 三、演繹推理 三段論推理中包含三個判斷:第一個判斷稱為大前提,它提供了一個一般的原理;第二個判斷叫小前提,它指出了一個特

3、殊情況;這兩個判斷聯(lián)合起來,揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系,從而產(chǎn)生了第三個判斷:結(jié)論. 例3(2020年珠海調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=-(a>0且a≠1). (1)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(,-)對稱; (2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 由已知得y=-, 則-1-y=-1+=-, f(1-x)=- =-=-=-, ∴-1-y=f(1-x), 即函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(,-)對稱. 【誤區(qū)警示】 此題在求-1-y和f(1-x)時易出現(xiàn)混亂和化簡整理方面的錯誤. 四、高考命題趨勢 從近幾年的高考試題來看,歸

4、納推理、類比推理、演繹推理等問題是高考的熱點,歸納推理、類比推理大部分在填空題中出現(xiàn),為中、低檔題,突出“小而巧”,主要考查類比推理、歸納推理的能力;演繹推理大多出現(xiàn)在解答題中,為中、高檔題目,在知識交匯點處命題,考查學(xué)生的邏輯推理能力,以及分析問題、解決問題的能力.預(yù)測2020年高考仍將以歸納推理、類比推理,特別是演繹推理為主要考查點,重點考查學(xué)生的邏輯推理能力. 五.典型試題精選 1.【河南省平頂山許昌新鄉(xiāng)2020屆第二次調(diào)研考試理科數(shù)】已知函數(shù).如下定義一列函數(shù):,,,……, 【解析】 由此歸納可得: 2.【山東省德州市2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題】(定義映射其中

5、 【答案】6 【解析】 ∴. 3.【保定市2020學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試】 已知數(shù)列滿足,且總等于的個位數(shù)字,則的值為 A.1 B 3 C 7 D.9 【答案】C 【解析】 已知點.若曲線上存在兩點,使為正三角形,則稱為型曲線.給定下列三條曲線: y y=-x+3 O A ① ; ② ; ③ . 其中,型曲線的個數(shù)是( ) x (A)(B)(C)(D) 【答案】C x y A O 【解析】對于①,的圖像是一條線段,記為如圖(1)所示,從圖中可以看出:在線段上一定存在兩點B,C使△ABC為正三角形,故①

6、滿足型曲線;對于②, 的圖象是圓在第二象限的部分,如圖(2)所示,顯然,無論點B、C在何處,△ABC都不可能為正三角形,所以②不是型曲線。 y O A x 對于③,表示雙曲線在第四象限的一支,如圖(3)所示,顯然,存在點B,C,使△ABC為正三角形,所以③滿足;綜上,型曲線的個數(shù)為2,故選C. 5.【北京市西城區(qū)2020 — 2020學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷】 有限集合中元素的個數(shù)記作.已知,,, ,且,.若集合滿足,則集合的個 數(shù)是_____;若集合滿足,且,,則集合的個數(shù)是_____. (用數(shù)字作答) 【答案】 6.【北京市朝陽區(qū)2020學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末統(tǒng)

7、一考試】 已知兩個正數(shù),可按規(guī)則擴充為一個新數(shù),在三個數(shù)中取兩個較大的數(shù),按上述規(guī)則擴充得到一個新數(shù),依次下去,將每擴充一次得到一個新數(shù)稱為一次操作. (1)若,按上述規(guī)則操作三次,擴充所得的數(shù)是__________; (2)若,經(jīng)過6次操作后擴充所得的數(shù)為(為正整數(shù)),則的值分別為______________. 【答案】(1)255 (2)8 13 7.【北京市西城區(qū)2020 — 2020學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷】 設(shè),不等式組 所表示的平面區(qū)域是.給出下列三個結(jié)論: ① 當時,的面積為; ② ,使是直角三角形區(qū)域; ③ 設(shè)點,對于有. 其中,所有正確結(jié)論的序號

8、是______. 【答案】①③ 圍成的三角形區(qū)域,令,則在三個點處得值分別為,故的最大值為4,③正確. 8.【2020東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習(二)】 【答案】 【解析】 是數(shù)列的第項。,由可得,即將位于數(shù)表的第行,位于第行的第的位置。故其可以記為. 9.【湖北省武漢市2020年普通高等學(xué)校招生適應(yīng)性】 已知函數(shù).規(guī)定:給定一個實數(shù),賦值,若,則繼續(xù)賦值;若,則繼續(xù)賦值;…,以此類推. 若,則,否則停止賦值.已知賦值次后該過程停止,則的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】B 10.【2020年河南省豫東、豫北

9、十所名校性測試(三)】 已知如下等式: 則由上述等式可歸納得到=________(n) 【答案】 【解析】依題意及不完全歸納法得知, . 11.【2020·豫南九校聯(lián)考】若a,b是正常數(shù),a≠b,x,y∈(0,+∞),則+≥,當且僅當=時上式取等號.利用以上結(jié)論,可以得到函數(shù)f(x)=+(x∈(0,))的最小值為________. [答案] 25 [解析] 依據(jù)給出的結(jié)論可知f(x)=+≥=25等號在=,即x=時成立. 12.觀察等式:sin230°+cos260°+sin30°cos60°=,sin220°+cos250°+sin20°cos50°=和sin215

10、°+cos245°+sin15°cos45°=,…,由此得出以下推廣命題,則推廣不正確的是(  ) [答案] A [解析] 觀察已知等式不難發(fā)現(xiàn),60°-30°=50°-20°=45°-15°=30°,推廣后的命題應(yīng)具備此關(guān)系,但A中α與β無聯(lián)系,從而推斷錯誤的命題為A.選A. 13【2020·山東濰坊一中期末】一次研究性課堂上,老師給出函數(shù)f(x)=(x∈R),甲、乙、丙三位同學(xué)在研究此函數(shù)時分別給出命題: [答案] A [解析] 當x>0時,f(x)=∈(0,1),當x=0時,f(0)=0,當x<0時,f(x)=∈(-1,0),∴f(x)的值域為(-1,1),且f(x

11、)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),因此,x1≠x2時,一定有f(x1)≠f(x2). ∵f(x)=,f1(x)=f(x),∴f1(x)=,又fn(x)=f(fn-1(x)), ∴f2(x)=f(f1(x))=f==, f3(x)=f(f2(x))=f==…… 可知對任意n∈N*,fn(x)=恒成立,故選A. [答案] D [解析] 對任意實數(shù)x.∵sinx+cosx=sin≤,∴存在常數(shù)M≥,有|sinx+cosx|≤M成立, ∴|x(sinx+cosx)|≤M|x|,即|f(x)|≤M|x|成立,∴③是有界泛函數(shù); 又∵x2+x+1=2+≥, ∴≤,∴存在常數(shù)M≥,使≤M(x

12、),即|f(x)|≤M|x|成立, 故④是有界泛函數(shù),因此選D. 【答案】 【解析】在面積為S的正三角形ABC中,E是邊AB上的動點,過點E作EF//BC,交AC于點F,當點E運動到離邊BC的距離為高的時,的面積取得最大值為類比上面的結(jié)論,可得,在各棱條相等的體積為V的四面體ABCD中,E是棱AB上的動點,過點E作平面EFG//平面BCD,分別交AC、AD于點F、G,則四面體EFGB的體積的最大值等于               A. B. C. D. [答案] B [答案] a1+a2+…+an≤(n∈N*) [解析] 構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(

13、x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+1, ∵f(x)≥0對任意實數(shù)x都成立, ∴Δ=4(a1+a2+…+an)2-4n≤0, ∵a1,a2,…,an都是正數(shù),∴a1+a2+…+an≤. 18. 【2020·遼寧沈陽二中檢測】直角坐標系中橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點,如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過k(k∈N*)個格點,則稱函數(shù)f(x)為k階格點函數(shù),下列函數(shù):①f(x)=sinx;②f(x)=3π(x-1)2+2;③f(x)=x;④f(x)=log0.5x,其中是一階格點函數(shù)的有________. [答案]?、佗? [答案] f(2n)≥+1

14、 [解析] f(2)==+1,f(4)=f(22)>2=+1,f(8)=f(23)>=+1,f(16)=f(24)>3=+1,觀察可見自變量取值為2n時,函數(shù)值大于或等于+1,即f(2n)≥+1. 【答案】 【解析】類比平面中凸多邊形的面積的求法,將空間凸多面體的內(nèi)切球與各個頂點連接起來,將凸多面體分割成若干個小棱錐,每個棱錐都以多面體的面為底面,以內(nèi)切球的半徑為高,從而(,,…,為凸多面體的各個面的面積)。 21. 【山東省濟南市2020屆高三3月(二模)月考】 觀察下列等式 …… 照此規(guī)律,第n個等式為 . 【解析】 第個等式的第一項是,共有個數(shù),

15、最后一項是。故第個等式為。21.如圖(1),過四面體V-ABC的底面內(nèi)任一點O分別作OA1∥VA,OB1∥VB,OC1∥VC,A1,B1,C1分別是所作直線與側(cè)面交點. 求證:++為定值. 分析:考慮平面上的類似命題:“過△ABC底邊AB上任一點O分別作OA1∥AC,OB1∥BC,分別交BC,AC于A1,B1,求證+為定值”.這一命題利用相似三角形性質(zhì)很容易推出其為定值1.另外,過A,O分別作BC垂線,過B,O分別作AC垂線,則用面積法也不難證明定值為1.于是類比到空間圖形,也可用兩種方法證明其定值為1. 證明:如圖(2),設(shè)平面OA1VA∩BC=M,平面OB1VB∩AC=N,平面OC1VC∩AB=L,則有△MOA1∽△MAV,△NOB1∽△NBV,△LOC1∽△LCN.得 ++=++. 在底面△ABC中,由于AM,BN,CL交于一點O, ∴++=++==1. ∴++為定值1.

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