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高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 第2節(jié) 對函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)(第1課時(shí))基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1(通用)

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1、2.1 函數(shù)概念 1.了解生活中的變量關(guān)系. 2.理解函數(shù)的概念. 3.會(huì)求出簡單函數(shù)的定義域、值域. 1.生活中的變量關(guān)系 (1)依賴關(guān)系:在某變化過程中有兩個(gè)變量,如果其中一個(gè)變量的值發(fā)生了變化,另一個(gè)變量的值也會(huì)隨之發(fā)生變化,那么就稱這兩個(gè)變量具有依賴關(guān)系.如果變量x,y具有依賴關(guān)系,對于其中一個(gè)變量x的每一個(gè)值,另一個(gè)變量y都有________的值時(shí),那么稱變量y是變量x的函數(shù),即這兩個(gè)變量之間具有函數(shù)關(guān)系. (2)非依賴關(guān)系:在某變化過程中有兩個(gè)變量,如果其中一個(gè)變量的值發(fā)生了變化,另一個(gè)變量的值不受任何影響,那么就稱這兩個(gè)變量具有非依賴關(guān)系. 函數(shù)關(guān)系是特

2、殊的依賴關(guān)系,具有依賴關(guān)系的兩個(gè)變量有的是函數(shù)關(guān)系,有的不是函數(shù)關(guān)系.因此說依賴關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系,而函數(shù)關(guān)系是依賴關(guān)系.例如,積雪層對越冬作物具有防凍保暖作用,大雪可以防止土壤中的熱量向外散發(fā),又可阻止外界冷空氣的侵入,具有增墑肥田作用.所以下雪與來年的豐收具有依賴關(guān)系,但不是函數(shù)關(guān)系. 【做一做1-1】 張大爺種植了10畝小麥,每畝施肥x千克,小麥總產(chǎn)量為y千克,則( ). A.x,y之間有依賴關(guān)系 B.x,y之間有函數(shù)關(guān)系 C.y是x的函數(shù) D.x是

3、y的函數(shù) 【做一做1-2】 某人騎車的速度是v千米/時(shí),他騎t小時(shí),走的路程s是多少?路程是時(shí)間的函數(shù)嗎? 2.函數(shù)的概念 給定兩個(gè)非空____________A和B,如果按照某個(gè)對應(yīng)關(guān)系f,對于集合A中________數(shù)x,在集合B中都存在____________確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng),那么就把對應(yīng)關(guān)系f叫作定義在集合A上的函數(shù),記作f:A→B,或y=______________,x∈A.此時(shí),x叫作自變量,集合A叫作函數(shù)的定義域,集合__________叫作函數(shù)的值域.習(xí)慣上我們稱y是x的函數(shù). (1)符號(hào)y=f(x)表示變量y是變量x的函數(shù),它僅僅是函數(shù)符號(hào),并不表示y等于

4、f與x的乘積;符號(hào)f(x)與f(m)既有區(qū)別又有聯(lián)系,當(dāng)m是變量時(shí),函數(shù)f(x)與函數(shù)f(m)是一樣的;當(dāng)m是常數(shù)時(shí),f(m)表示自變量x=m時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值,是一個(gè)常量. (2)函數(shù)的三要素:定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.有時(shí)給出的函數(shù)沒有明確說明定義域,這時(shí),它的定義域就是自變量的允許取值范圍,此時(shí)的定義域又稱為此函數(shù)的“自然定義域”;如果函數(shù)涉及實(shí)際問題,它的定義域還需使實(shí)際問題有意義,此時(shí)的定義域又稱為此函數(shù)的“臨時(shí)定義域”. 【做一做2】 下列式子中不能表示函數(shù)y=f(x)的是( ). A.x=y(tǒng)2+1 B.y=2x

5、2+1 C.x-2y=6 D.x= 3.區(qū)間與無窮的概念 (1)區(qū)間 設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),而且a<b,規(guī)定如下表: 定義 名稱 符號(hào) 幾何表示 {x|a≤x≤b} 閉區(qū)間 ______ {x|a<x<b} 開區(qū)間 ______ {x|a≤x<b} 左閉右 開區(qū)間 ______ {x|a<x≤b} 左開右 閉區(qū)間 ______ 這里實(shí)數(shù)a,b都叫作相應(yīng)區(qū)間的________________. 并不是所有的數(shù)集都能用區(qū)間表示.例如:數(shù)集M={1,2,3,4}就

6、不能用區(qū)間表示.由此可見,區(qū)間仍是集合,是一類特殊數(shù)集的另一種符號(hào)語言. (2)無窮的概念及無窮區(qū)間 定義 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符號(hào) (-∞,+∞) ________ ________ ________ ________ 無窮大“∞”是一個(gè)符號(hào),不是一個(gè)具體的數(shù).因此不能將[1,+∞)寫成[1,+∞]. 【做一做3】 將下列集合用區(qū)間表示出來,并在數(shù)軸上表示區(qū)間. (1){x|x≥1}; (2){x|x<1或x≥2}; (3){x|2≤x≤8且x≠5}. 答案:1.(1)唯一確定  【做一做1-1】

7、 A 【做一做1-2】 解:t小時(shí)走的路程是s=vt. 由于時(shí)間t每取一個(gè)值,路程s有唯一確定的值與之對應(yīng),所以路程是時(shí)間的函數(shù). 2.?dāng)?shù)集 任何一個(gè) 唯一 f(x) {f(x)|x∈A}  【做一做2】 A A選項(xiàng)中,給定一個(gè)x(比如x=5),有兩個(gè)y(y=±2)與它對應(yīng),所以y不是x的函數(shù).同理可驗(yàn)證其他選項(xiàng)中y都是x的函數(shù). 3.(1)[a,b] (a,b) [a,b) (a,b] 端點(diǎn) (2)[a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 【做一做3】 解:(1)[1,+∞); (2)(-∞,1)∪[2,+∞); (3)[2,5)∪(5,8]. 數(shù)軸表示分別

8、如圖(1)(2)(3). 如何理解函數(shù)符號(hào)f(x)的意義? 剖析:(1)符號(hào)“y=f(x)”中的“f”表示對應(yīng)法則,在不同的具體函數(shù)中,“f”的含義不一樣,可以把函數(shù)的對應(yīng)法則“f”形象地看作一個(gè)“暗箱”.例如y=f(x)=x2,可以將其看作輸入x,輸出x2,于是“暗箱”相當(dāng)于一個(gè)“平方機(jī)”的作用(如圖所示),則顯然應(yīng)該有f(a)=a2,f(m+1)=(m+1)2,f(x+1)=(x+1)2. (2)符號(hào)y=f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示,應(yīng)理解為x是自變量,它是法則所施加的對象;f是對應(yīng)法則,它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式,可以是圖像、表格,也可以是文字描述;y是自變量的函

9、數(shù),當(dāng)x允許取某一具體值時(shí),相應(yīng)的y值為與該自變量值對應(yīng)的函數(shù)值.y=f(x)僅僅是函數(shù)符號(hào),不是表示“y等于f與x的乘積”.在研究函數(shù)時(shí),除用符號(hào)f(x)外,還常用g(x),F(xiàn)(x),G(x)等來表示函數(shù). (3)f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系:f(a)表示當(dāng)x=a時(shí),函數(shù)f(x)的值,是一個(gè)常量,而f(x)是自變量x的函數(shù),一般情況下,它是一個(gè)變量,f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值.如一次函數(shù)f(x)=3x+4,當(dāng)x=8時(shí),f(8)=3×8+4=28是一個(gè)常數(shù). y=f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示,它也未必就是一個(gè)解析式,y=f(a)表示自變量x=a時(shí)的函數(shù)值,

10、它是一個(gè)常數(shù);y=f(x)是函數(shù),通常是一個(gè)依賴于x變化而變化的變量.函數(shù)還可以用其他一些符號(hào)來表示,例如:F(x),G(x),h(x),…,也就是說,不管用哪一個(gè)字母表示,它總是表達(dá)同樣一個(gè)含義:y是x的函數(shù). 題型一 函數(shù)的概念 【例1】 判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù): (1)f(x)=與g(x)= (2)f(x)=與g(x)=; (3)f(x)=x2-2x-1與g(t)=t2-2t-1; (4)f(x)=1與g(x)=x0(x≠0). 分析:判斷函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否一致. 反思:判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同,只需判斷這兩個(gè)函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系是否相同. (1)定義域和

11、對應(yīng)關(guān)系都相同,則兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù); (2)定義域不同,則兩個(gè)函數(shù)不表示同一函數(shù); (3)對應(yīng)關(guān)系不同,則兩個(gè)函數(shù)不表示同一函數(shù); (4)即使定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù),也不一定是同一函數(shù),例如y=x和y=2x-1的定義域和值域都是R,但不是同一函數(shù); (5)兩個(gè)函數(shù)是否相同,與自變量是什么字母無關(guān). 題型二 求函數(shù)的定義域 【例2】 求下列函數(shù)的定義域: (1)y=2-; (2)y=. 分析:求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍,可考慮列不等式或不等式組. 反思:1.如果f(x)是整式,那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R. 2.如果f(x)是分式,

12、那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合. 3.如果f(x)是二次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合. 4.如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合(即求各部分定義域的交集). 5.對于由實(shí)際背景確定的函數(shù),其定義域還要受實(shí)際問題的制約. 題型三 求函數(shù)值 【例3】 已知f(x)=(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R). (1)求f(2),g(2)的值; (2)求f(g(2))的值. 分析:解決求值問題,先分清對應(yīng)法則,再代入求值. 反思:(1)求函數(shù)值問題,首先確定出函數(shù)的對應(yīng)法則

13、f的具體含義,再代入求值. (2)求類似f(g(2))的值,要注意f,g作用的對象,按“由內(nèi)向外”的順序求值. 題型四 求函數(shù)的值域 【例4】 求下列各函數(shù)的值域: (1)y=x+1,x∈{2,3,4,5,6}; (2)y=+1; (3)y=x2-4x+6; (4)y=x+. 分析:確定函數(shù)的值域必須認(rèn)真分析自變量x與對應(yīng)法則之間的聯(lián)系,關(guān)鍵是弄清自變量變化時(shí)由對應(yīng)法則確定函數(shù)值的變化規(guī)律. 反思:求函數(shù)值域的方法: (1)圖像法:借助于函數(shù)值域的幾何意義,利用函數(shù)的圖像求值域; (2)觀察法:對于解析式比較簡單的函數(shù),利用常見的結(jié)論如x2≥0,|x|≥0,≥0等觀察出函數(shù)的

14、值域; (3)換元法:利用換元法轉(zhuǎn)化為求常見函數(shù)如二次函數(shù)的值域等. 論函數(shù)的值域要先考慮函數(shù)的定義域,本例(1)中,如果忽視函數(shù)的定義域,那么會(huì)錯(cuò)誤地得出函數(shù)值域?yàn)镽.避免此類錯(cuò)誤的方法是研究函數(shù)時(shí)要遵循定義域優(yōu)先的原則. 題型五 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn) 求函數(shù)定義域時(shí)非等價(jià)化簡解析式致錯(cuò) 【例5】 求函數(shù)y=·的定義域. 錯(cuò)解:y=·=,由x2-4≥0,得x≥2或x≤-2,∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥2或x≤-2}. 錯(cuò)因分析:錯(cuò)解在求函數(shù)的定義域時(shí),對函數(shù)的解析式進(jìn)行了不等價(jià)變形,導(dǎo)致定義域范圍擴(kuò)大. 答案:【例1】 解:(1)f(x)的定義域中不含有元素0,而g(x)的定義

15、域?yàn)镽,即定義域不相同,所以不是同一函數(shù). (2)f(x)的定義域?yàn)閇0,+∞),而g(x)的定義域?yàn)?-∞,-1]∪[0,+∞),定義域也不相同,所以不是同一函數(shù). (3)盡管兩個(gè)函數(shù)的自變量一個(gè)用x表示,另一個(gè)用t表示,但它們的定義域相同,對應(yīng)關(guān)系相同,即對定義域內(nèi)同一個(gè)自變量,根據(jù)表達(dá)式,都能得到同一函數(shù)值,因此二者為同一函數(shù). (4)f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},因此也不是同一函數(shù). 【例2】 解:(1)令即所以0≤x≤. 所以函數(shù)的定義域?yàn)? (2)令即 所以x<0且x≠-1. 所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x<0且x≠-1}. 【例3】 解:(

16、1)∵f(x)=,∴f(2)==; 又g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6. (2)f(g(2))=f(6)==. 【例4】 解:(1)當(dāng)x分別取2,3,4,5,6時(shí),y=x+1分別取3,4,5,6,7,∴函數(shù)的值域?yàn)閧3,4,5,6,7}. (2)∵函數(shù)的定義域?yàn)閇0,+∞), 當(dāng)x≥0時(shí),≥0, ∴y≥1,即函數(shù)y=+1的值域?yàn)閇1,+∞). (3)函數(shù)的定義域?yàn)镽. ∵y=x2-4x+6=(x-2)2+2≥2, ∴該函數(shù)的值域?yàn)閇2,+∞). (4)換元法: 設(shè)t=,則x=且t≥0. 問題轉(zhuǎn)化為求y=+t(t≥0)的值域. ∵y=+t=(t+1)2(t≥

17、0),(t+1)2≥1, ∴y的取值范圍為. 故該函數(shù)的值域?yàn)? 【例5】 正解:由得即x≥2, ∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥2}. 1 下列四個(gè)圖形中,不是以x為自變量的函數(shù)的圖像是( ). 2 已知函數(shù)f(x)=,則f(2)等于( ). A.3 B.2 C.1 D.0 3 函數(shù)y=的定義域?yàn)? ). A.{x|x≤1} B.{x|x≥0} C.{x|x≥1或x≤0}

18、 D.{x|0≤x≤1} 4 函數(shù)y=,x∈[1,5)的值域是__________. 5 判斷下列各組的兩個(gè)函數(shù)是否相等,并說明理由. (1)y=x-1,x∈R與y=x-1,x∈N; (2)y=與y=; (3)y=與u=. 答案:1.C 2.A 3.D 要使函數(shù)有意義須解得0≤x≤1. 4. (1,5] 畫出函數(shù)的圖像,如圖所示,觀察圖像得圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是(f(5),f(1)],則函數(shù)的值域是(1,5]. 5.解:(1)不相等.前者的定義域是R,后者的定義域是N,由于它們的定義域不同,故不相等. (2)不相等.前者的定義域是R,后者的定義域是{x|x≥0},它們的定義域不同,故不相等. (3)相等.定義域相同均為非零實(shí)數(shù),對應(yīng)關(guān)系相同,都是自變量取倒數(shù)后加1,故相等.

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