《高中數(shù)學 第四章 函數(shù)應用 第2節(jié) 實際問題的函數(shù)建?；A知識素材 北師大版必修1（通用）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 第四章 函數(shù)應用 第2節(jié) 實際問題的函數(shù)建?；A知識素材 北師大版必修1（通用）（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、§2 實際問題的函數(shù)建模 1．初步運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活和社會中的簡單問題． 2．了解數(shù)學建模的基本步驟，體會數(shù)學建模的基本思想． 1．實際問題的函數(shù)刻畫 在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用______的觀點看實際問題，是學習函數(shù)的重要內容． 【做一做1－1】 一輛勻速行駛的火車90 min行駛了180 km，則這輛火車行駛的路程y(km)與時間t(h)之間的函數(shù)關系式為( )． A．y＝2t B．y＝120t C．y＝2t(t≥0)

2、 D．y＝120t(t≥0) 【做一做1－2】 據(jù)報道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內減少了5%，如果按此速度，設2000年的冬季冰雪覆蓋面積為m，從2000年起，經過x年后，北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關系式是( )． A．y＝ B．y＝ C．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m 2．用函數(shù)模型解決實際問題 函數(shù)模型是應用最廣泛的數(shù)學模型之一．許多實際問

3、題一旦認定是函數(shù)關系，就可以通過研究函數(shù)的____________把握問題，使問題得到解決． 通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標系中的點，觀察這些點的___________，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖像，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達式，求出具體的____________，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．在自然科學和社會科學中，很多規(guī)律、定律都是先通過__________，得到__________，再通過數(shù)據(jù)__________得到的． 【做一做2－1】 某公司為了適應市場需求對產品結

4、構進行了重大調整，調整后初期利潤增長迅速，后期增長越來越慢，若要建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調整后利潤y與時間x的關系，可選用( )． A．一次函數(shù) B．二次函數(shù) C．指數(shù)型函數(shù) D．對數(shù)型函數(shù) 【做一做2－2】 一個水池每小時注入水量是全池的，水池還沒有注水部分的總量y隨時間x變化的關系式為__________． 3．函數(shù)建模 (1)定義：用數(shù)學思想、_________、_________解決實際問題的過程叫作數(shù)學建模． (2)過程：

5、如圖所示． 【做一做3－1】 (2020福州三中期中)某地區(qū)土地沙化越來越嚴重，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃，0.4萬公頃和0.76萬公頃，則與沙漠增加數(shù)y(萬公頃)關于年數(shù)x的函數(shù)關系較為近似的是( )． A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x) C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 【做一做3－2】 今有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5

6、4.04 7.5 12 18.01 則最佳體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關系的函數(shù)模型是( )． A．u＝log2t B．u＝2t－2 C．u＝ D．u＝2t－2 答案：1．函數(shù) 【做一做1－1】 D 【做一做1－2】 A 2．性質　整體特征　函數(shù)表達式　實驗　數(shù)據(jù)　擬合 【做一做2－1】 D 【做一做2－2】 y＝1－，x∈[0,10]　設滿池為1，則有水的部分為1－y， 于是1－y＝·x， 即y＝1－，x∈[0,10]． 3．(1

7、)方法　知識　(2)問題　檢驗 【做一做3－1】 C 【做一做3－2】 C　可以先畫出散點圖，并利用散點圖直觀地認識變量間的關系，選擇合適的函數(shù)模型來刻畫它．散點圖如圖所示， 由散點圖可知，圖像不是直線，排除D項；圖像不符合對數(shù)函數(shù)的圖像特征，排除A項； 當t＝3時，2t－2＝23－2＝6，＝＝4， 由表格知當t＝3時，u＝4.04，模型u＝能較好地體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關系． 1．應用數(shù)學模型解決實際問題的步驟 剖析：(1)認真審題． 讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，領悟從背景中概括出來的數(shù)學問題，尤其是理解敘述中的名詞、概念，以及題中單位之間的關系． 分析出已

8、知是什么，求什么，涉及哪些知識，確定自變量與函數(shù)的關系．審題時要抓住題目中的關鍵量，要勇于嘗試、探索，敏于發(fā)現(xiàn)、歸納，善于聯(lián)想，實現(xiàn)實際問題向數(shù)學問題的轉化． (2)引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型． 設自變量為x，函數(shù)為y，用含x的表達式表示各相關變量，根據(jù)問題的已知條件，運用已掌握的數(shù)學知識、物理知識以及其他相關知識建立函數(shù)關系式，即建立數(shù)學模型． (3)用數(shù)學方法將所得到的函數(shù)模型問題予以解答，求得結果． (4)再轉化成實際問題，進行檢驗作出規(guī)范解答． 簡言之，可概括為“四步八字”，即審題——建?！蠼狻€原． 2．常見的幾種函數(shù)模型 剖析：(1)直線模型：一次函數(shù)模型y＝k

9、x＋b(k≠0)，圖像增長特點是直線式上升(x的系數(shù)k＞0)，通過圖像可以直觀地認識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx(k＞0)． (2)反比例函數(shù)模型：y＝(k＞0)型，增長特點是y隨x的增大而減?。? (3)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(b＞0，b≠1，a≠0)，其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快(底數(shù)b＞1，a＞0)，常形象地稱為指數(shù)爆炸． (4)對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1，m≠0)型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢(底數(shù)a＞1，m＞0)． (5)冪函數(shù)模型，即y＝a·xn＋b(a≠0)型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y

10、＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小，后增大(a＞0)． 在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖像的直觀運用，分析圖像特點，分析變量x的范圍，同時還要與實際問題結合，如取整等． 題型一 用函數(shù)刻畫實際問題 【例1】 一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關系如圖所示． (1)求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義； (2)假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2 004 km，試建立汽車行駛這段路程時汽車里程表讀數(shù)s km與時間t h的函數(shù)解析式，并作出相應的圖像． 反思：在解決實際問題的過程中，函數(shù)圖像能夠發(fā)揮很好

11、的作用，因此，我們應當注意提高讀圖的能力．另外，本例題涉及到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實問題的重要模型． 題型二 已知函數(shù)模型的應用題 【例2】 我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v＝5log2，單位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量． (1)計算：燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？ (2)當一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？ 分析：(1)轉化為當v＝0時，求Q的值； (2)轉化為當Q＝80時，求v的值． 反思：一般來說，若題中已給出數(shù)學模型，只要解數(shù)學模型即可，較常用的方法是待定系數(shù)法解模型，然后

12、再利用相應的解析式及對應函數(shù)的性質解決實際問題． 題型三 建立函數(shù)模型的應用題 【例3】 某旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿．公司欲提高檔次，并提高租金．如果每間客房每日增加2元，客房出租就會減少10間，若不考慮其他因素，公司將房間租金提高多少時，每天客房的租金總收入最高？ 分析：列出函數(shù)的解析式，轉化為求函數(shù)的最大值． 反思：當實際應用題中沒有給出函數(shù)模型而函數(shù)模型又唯一時，其解題步驟是： (1)認真讀題，審題，確切理解題意，明確問題實際背景； (2)恰當?shù)卦O未知數(shù)，列出函數(shù)解析式，將實際問題轉化成函數(shù)問題，即實際問題函數(shù)化； (3)運用所學的數(shù)學知識和數(shù)

13、學方法解答函數(shù)問題，得出函數(shù)問題的解； (4)將所得函數(shù)問題的解還原成實際問題的結論． 題型四 擬合函數(shù)模型的應用題 【例4】 為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響，在山上建立了一個觀察站，測量最大積雪深度x與當年灌溉面積y.現(xiàn)有連續(xù)10年的實測資料，如下表所示． 年序 最大積雪深度x(cm) 灌溉面積y(公頃) 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 36.6 5 26.4 49.8 6 23.4 45.0 7 13.5 29.2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8

14、 10 19.1 36.9 (1)描點畫出灌溉面積y隨最大積雪深度x變化的圖像． (2)建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y＝f(x)，并畫出圖像． (3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型，若今年最大積雪深度為25 cm，則可以灌溉土地多少公頃？ 分析：首先根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點圖，然后通過觀察圖像判斷問題所適用的函數(shù)模型． 反思：對于此類實際應用問題，關鍵是建立適當?shù)暮瘮?shù)關系式，再解決數(shù)學問題，最后驗證并結合問題的實際意義作出回答，這個過程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)解題．函數(shù)擬合與預測的一般步驟是： (1)能夠根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點圖． (2)通過考查散點圖，畫出“最貼近”的直

15、線或曲線，即擬合直線或擬合曲線．如果所有實際點都落到了擬合直線或曲線上，滴“點”不漏，那么這將是一件十分完美的事情，但在實際應用中，這種情況一般不會發(fā)生．因此，使實際點盡可能均勻分布在直線或曲線兩側，使兩 側的點大體相等，得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了． (3)根據(jù)所學函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關系式． (4)利用函數(shù)關系式，根據(jù)條件對所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據(jù)． 答案：【例1】 解：(1)陰影部分的面積為50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360. 陰影部分的面積表示汽車在這5小時內行駛的路程為360 km. (2)根據(jù)

16、題圖，有 s＝　 這個函數(shù)的圖像如圖所示． 【例2】 解：(1)由題知，當燕子靜止時，它的速度v＝0， 可得0＝5log2， 解得Q＝10， 即燕子靜止時的耗氧量是10個單位． (2)將耗氧量Q＝80代入所給公式，得 v＝5log2＝5log28＝15(m/s)． 即當一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度為15 m/s. 【例3】 解：設客房租金每間提高2x元時，客房租金總收入為y元， 由題意得，y＝(20＋2x)(300－10x) ＝－20x2＋400x＋6 000 ＝－20(x－10)2＋8 000(0≤x＜150，x∈N)， 則當x＝10時，y有最

17、大值為8 000， 即將客房租金提高到20＋2×10＝40(元/間)時，每天客房租金總收入最高為8 000元． 【例4】 解：(1)描點作圖如下： (2)從圖①中可以看到，數(shù)據(jù)點大致落在一條直線附近，由此，我們假設灌溉面積y和最大積雪深度x滿足線性函數(shù)模型y＝a＋bx. 取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得 用計算器可算得a≈2.4，b≈1.8. 這樣，我們得到一個函數(shù)模型y＝2.4＋1.8x，作出函數(shù)圖像如圖②，可以發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關系． (3)由y＝

18、2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即當積雪深度為25 cm時，可以灌溉土地47.4公頃． 1 某物體一天中的溫度T(℃)是時間t(h)的函數(shù)，T＝t3－3t＋60.當t＝0時表示12：00，其后t取值為正，則上午8：00的溫度是( )． A．112 ℃ B．58 ℃ C．18 ℃ D．8 ℃ 2 下圖是某種豆類生長枝數(shù)y(枝)與時間t(月)的圖像，那么此種豆類生長枝數(shù)與時間的關系用下列函數(shù)模型近似刻畫最好的是( )． A．y＝2t2 B．y＝log2t C．y＝t3 D．y＝2t 3

19、 某種商品進價為每件100元，按進價增加25%出售，后因庫存積壓降價，按九折出售，每件還獲利( )． A．25元 B．20.5元 C．15元 D．12.5元 4 用一根長為12 m的鐵絲彎成一個矩形的鐵框架，則能彎成的框架的最大面積是__________． 5 某計算機集團公司生產某種型號計算機的固定成本為200萬元，生產每臺計算機的可變成本為3 000元，每臺計算機的售價為5 000元．分別寫出總成本C(萬元)、單位成本P(萬元)、銷售收入R(萬元)以及利潤L(萬元)關于總產量x臺的函數(shù)關系式． 答案：1．D　

20、當t＝－4時， T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8.故選D. 2．D　根據(jù)圖像特征可直接得：用y＝2t近似刻畫最好．故選D. 3．D　每件獲利100(1＋25%)×0.9－100 ＝100(1.25×0.9－1)＝12.5(元)． 4．9 m2　設矩形的長為x m，則寬為m， ∴面積S＝x(6－x)＝－x2＋6x(0＜x＜6)， 當x＝3 時，S最大＝9. 5．解：總成本與總產量的關系為C＝200＋0.3x，x∈N＋. 單位成本與總產量的關系為P＝＋0.3，x∈N＋. 銷售收入與總產量的關系為R＝0.5x，x∈N＋. 利潤與總產量的關系為L＝R－C＝0.2x－200，x∈N＋.