《高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 第4節(jié) 對(duì)數(shù)（第1課時(shí)）基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 第4節(jié) 對(duì)數(shù)（第1課時(shí)）基礎(chǔ)知識(shí)素材 北師大版必修1（通用）（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、4．1 對(duì)數(shù)及其運(yùn)算 1．理解并掌握對(duì)數(shù)的概念，并能熟練進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化． 2．掌握對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，并能運(yùn)用其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值和證明． 3．能利用對(duì)數(shù)知識(shí)用字母表示對(duì)數(shù)，解對(duì)數(shù)方程． 1．對(duì)數(shù) (1)定義：一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么數(shù)____叫作以a為底N的對(duì)數(shù)，記作____＝b.其中a叫作對(duì)數(shù)的______，N叫作______．logaN讀作以a為底N的對(duì)數(shù)． 對(duì)數(shù)式logaN＝b可看作一種記號(hào)，表示關(guān)于b的方程ab＝N(a＞0，a≠1)的解；也可以看作一種運(yùn)算，即已知底為a(a＞0，a≠1)，冪為N，

2、求冪指數(shù)的運(yùn)算，因此，對(duì)數(shù)式logaN＝b又可看作冪運(yùn)算的逆運(yùn)算． (2)特殊對(duì)數(shù)：通常將以____為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)，并把log10N簡(jiǎn)記作______；在科學(xué)技術(shù)中常使用以無(wú)理數(shù)e＝2.718 28…為底數(shù)的對(duì)數(shù)，以____為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并把logeN簡(jiǎn)記作______． (3)常見結(jié)論：負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)；loga1＝______；logaa＝______；alogaN＝______. 【做一做1－1】 3b＝5化為對(duì)數(shù)式是( )． A．logb3＝5 B．log35＝b C．log5b＝3

3、 D．log53＝b 【做一做1－2】 log117＝x化為指數(shù)式是( )． A．7x＝11 B．11x＝7 C．x7＝11 D．x11＝7 2．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則： (1)loga(MN)＝________；(2)logaMn＝________(n∈R)；(3)loga＝__________. 注意：loga(MN)≠(logaM)(logaN)， loga(M＋N)

4、≠logaM＋logaN，loga≠. 積的對(duì)數(shù)變加法，商的對(duì)數(shù)變減法， 冪的乘方取對(duì)數(shù)，要把指數(shù)提到前． 【做一做2】 若a＞0，a≠1，x＞y＞0，下列式子中正確的個(gè)數(shù)是( )． ①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：1．(1)b　logaN　底數(shù)　真數(shù)　(2)10　lg N　e　lnN (3)0　1　N 【做一

5、做1－1】 B 【做一做1－2】 B 2．(1)logaM＋logaN　(2)nlogaM　(3)logaM－logaN 【做一做2】 A 1．如何理解對(duì)數(shù)的概念及性質(zhì)？ 剖析：由于ab＝Nb＝logaN，故借助指數(shù)來分析理解對(duì)數(shù)的概念及性質(zhì)． (1)對(duì)數(shù)式logaN＝b是由指數(shù)式ab＝N變換而來的，兩式底數(shù)相同，對(duì)數(shù)式中的真數(shù)N就是指數(shù)式中的冪的值N，而對(duì)數(shù)值b是指數(shù)式中的冪指數(shù)．對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系如圖所示． 在指數(shù)式ab＝N中，若已知a，N求冪指數(shù)b，便是對(duì)數(shù)運(yùn)算b＝logaN. (2)對(duì)數(shù)記號(hào)logaN只有在a＞0，a≠1，N＞0時(shí)才有意義． 因?yàn)樵赼

6、b＝N中，a＞0，a≠1，所以在logaN中，a＞0，a≠1. 又因?yàn)檎龜?shù)的任何次冪都是正數(shù)，即ab＞0(a＞0)，故N＝ab＞0. (3)并不是所有的指數(shù)式都能直接改寫成對(duì)數(shù)式，如(－2)2＝4不能寫成log－24＝2，只有在a＞0，a≠1，N＞0時(shí)，才有ab＝Nb＝logaN. 2．如何正確運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則？ 剖析：(1)在運(yùn)算過程中避免出現(xiàn)以下錯(cuò)誤： loga(MN)＝logaM·logaN. loga＝. logaNn＝(logaN)n. logaM±logaN＝loga(M±N)． (2)注意前提條件：a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，尤其是M，N都是正數(shù)這一條件，

7、否則M，N中有一個(gè)小于或等于0，就導(dǎo)致logaM或logaN無(wú)意義，另外還要注意，M＞0，N＞0與M·N＞0并不等價(jià)． (3)要注意對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的逆用． 題型一 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化 【例1】 (1)將對(duì)數(shù)式＝－3化為指數(shù)式； (2)將指數(shù)式－2＝16化為對(duì)數(shù)式； (3)求式子log2(log5x)＝0中的x. 分析：利用ab＝Nb＝logaN. 反思：對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式與指數(shù)形式的互化又是解決問題的重要手段． 題型二 化簡(jiǎn)、求值 【例2】 計(jì)算下列各式的值： (1)log2＋log212－log242； (2)lg 52＋lg 8

8、＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 分析：利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算． 反思：對(duì)于同底的對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)，常用方法是： (1)“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)，如本題(1)； (2)“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成對(duì)數(shù)的和(差)，如本題(2)． 題型三 對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用 【例3】 求下列各式中x的值． (1)log2(log4x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3) ＝x. 分析：解答本題可利用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)及對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系求解． 反思：1.對(duì)數(shù)的性質(zhì)： (1)零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)． (2)設(shè)a＞0，a≠1，則有a0＝1.所以loga1＝

9、0.即1的對(duì)數(shù)等于0. (3)設(shè)a＞0，a≠1，則有a1＝a，所以logaa＝1，即底數(shù)的對(duì)數(shù)為1. 2．利用“底數(shù)”和“1”的對(duì)數(shù)的值為“1”和“0”，有利于化簡(jiǎn)和計(jì)算． 題型四 用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù) 【例4】 用logax，logay，logaz表示下列各式： (1)loga；(2)loga. 分析：應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解決． 反思：用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，將真數(shù)“拆”成已知對(duì)數(shù)的真數(shù)形式． 題型五 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn) 忽略真數(shù)大于0導(dǎo)致出錯(cuò) 【例5】 已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求的值． 錯(cuò)解：因?yàn)閘g x＋lg y＝2lg

10、(x－2y)， 所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0. 所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y(tǒng)或x＝4y. 則＝1或＝4，所以＝＝0或＝＝4. 錯(cuò)因分析：錯(cuò)解中忽略了lg x＋lg y＝2lg(x－2y)成立的前提是即x＞2y＞0，在求出x，y的關(guān)系后未檢驗(yàn)是否滿足前提條件，從而導(dǎo)致產(chǎn)生增根． 答案：【例1】 解：(1)因?yàn)椋剑?，所以－3＝27. (2)因?yàn)椋?＝16，所以＝－2. (3)因?yàn)閘og2(log5x)＝0， 所以log5x＝1，則x＝51＝5. 【例2】 解：(1)原式＝log2＝log2＝－. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋l

11、g 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2 ＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3. 【例3】 解：(1)∵log2(log4x)＝0，∴l(xiāng)og4x＝20＝1. ∴x＝41＝4. (2)∵log3(lg x)＝1，∴l(xiāng)g x＝31＝3. ∴x＝103＝1 000. (3)∵＝x， ∴(－1)x＝ ＝＝ ＝－1.∴x＝1. 【例4】 解：(1)loga ＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz； (2)loga ＝loga(x2 )－loga ＝logax2＋loga －loga

12、＝2logax＋logay－logaz. 【例5】 正解：因?yàn)閘g x＋lg y＝2lg(x－2y)， 所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0. 所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y(tǒng)或x＝4y. 因?yàn)閤＞0，y＞0，x－2y＞0，所以x＝y(tǒng)應(yīng)舍去． 則＝4，所以 1 (2020長(zhǎng)春高一期末)下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是( )． A．e0＝1與ln 1＝0 B．與 C．log39＝2與＝3 D．log77＝1與71＝7 2 在b＝log2(5－a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )． A．a(chǎn)＞5 B．a(chǎn)＞0

13、 C．a(chǎn)＜5 D．R 3 (2020浙江臺(tái)州高一期末)log2的值是( )． A． B. C． D. 4 若log3＝0，則x＝__________. 5 已知log23＝a，log25＝b，用a，b表示下列各式： (1)log20.6；(2)log2；(3)log2. 答案：1．C　選項(xiàng)C中，log39＝2的指數(shù)式為32＝9. 2．C　由對(duì)數(shù)的定義，知5－a＞0a＜5. 3．D　log2＝. 4．－4　由題意得＝1，解得x＝－4，經(jīng)檢驗(yàn)x＝－4是原方程的根． 5．解：(1)log20.6＝log2 ＝log23－log25＝a－b. (2)log2 log2(3×5×2)＝(log23＋log25＋log22)＝(a＋b＋1)． (3)log2＝－log2125＝log23－3log25＝a－3b.