《2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專題二 高考中解答題的審題方法探究2 概率與統(tǒng)計(jì)問題 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn) 專題二 高考中解答題的審題方法探究2 概率與統(tǒng)計(jì)問題 理(4頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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主要題型:(1)求等可能事件、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)事件.一些由簡單事件構(gòu)成的復(fù)雜事件的概率;(2)求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差;(3)求特殊分布的分布列、期望與方差;(4)求統(tǒng)計(jì)與概率的綜合問題.
【例3】? (2020·山東)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶,某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊.
(1)求該射手恰好命中一次的概率;
(2)求該射
2、手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
[審題路線圖]
讀題、讀懂
?把題中的事件分別用大寫字母B,C,D來表示,所求事件用A表示.
?把題中事件的概率用P(B),P(C),P(D)表示.
?弄清事件A與事件B,C,D之間的關(guān)系,
?由事件的獨(dú)立性和互斥性表示P(A)并求出,
?列出X的可能取值,并分析X取值對(duì)應(yīng)的事件.
?分別求出X可能取值的概率,
?列出分布列,
?根據(jù)期望公式求E(X).
[規(guī)范解答](1)記:“該射手恰好命中一次”為事件A,“該射手射擊甲靶命中”為事件B,“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C,“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D,由題意知P(B)
3、=,P(C)=P(D)=,(1分)
由于A=B+C+D,
根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得
P(A)=P(B+C+D)
=P(B+C+D)
=P(B)P()P()+P()P(C)P()+P()P()P(D)
=××+××+××=(4分)
(2)根據(jù)題意,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.
根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得
P(X=0)=P()
=[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)]
=××=.
P(X=1)=P(B)=P(B)P()P()
=××=.
P(X=2)=P(C+D)=P(C)+P(D)
=××+××=,
P(X=3)=P(BC+BD)=P(B
4、C)+P(BD)
=××+××=,
P(X=4)=P(CD)=××=,
P(X=5)=P(BCD)=××=.(10分)
故X的分布列為
X
0
1
2
3
4
5
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.(12分)
搶分秘訣,解答概率問題時(shí),一般要將題設(shè)的事件用大寫字母來表示,而平時(shí)有的考生沒有表示,評(píng)分時(shí)沒有扣分,但我們?cè)诮忸}時(shí)仍要以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程答在卷面上,力求自己的答卷不處于“可扣分可不扣分”的爭議之處,這樣即使閱卷標(biāo)準(zhǔn)較為嚴(yán)格,也不會(huì)造成無謂的失分.
【例4】? (2020·天津)學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目:甲箱子里
5、裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球,乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球,若摸出的白球不少于2個(gè),則獲獎(jiǎng)(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱).
(1)求在1次游戲中,
①摸出3個(gè)白球的概率;②獲獎(jiǎng)的概率.
(2)求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
[審題路線圖]
讀懂題意
?在1次游戲中,摸出3個(gè)白球只能是在甲箱里摸2個(gè)白球,在乙箱中摸1個(gè)白球.
?由古典概型及排列、組合知識(shí)求概率.
?“獲獎(jiǎng)”這一事件包括摸出2個(gè)白球和3個(gè)白球.
?由互斥事件求概率.
?利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)P颓蠼猓?
[規(guī)范解答](1)①設(shè)“在1次游
6、戲中摸出i個(gè)白球”為事件Ai(i=0,1,2,3),
則P(A3)=·=.(3分)
②設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B,則B=A2∪A3,
又P(A2)=·+·=,且A2,A3互斥,
所以P(B)=P(A2)+P(A3)=+=.(6分)
(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2.(8分)
P(X=0)=2=,
P(X=1)=C××=,
P(X=2)=2=.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P
(11分)
X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×=.
(13分)
搶分秘訣,本題以考生比較熟悉的實(shí)際問題為背景考查了考生利用概率知識(shí)分析、解決實(shí)際問題
7、的能力.第(1)問是將一個(gè)要求的事件分成若干個(gè)基本事件的“積”或“和”,再用概率加法或乘法公式即可解決問題;第(2)問是以獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為背景的分布列問題,利用特殊分布的知識(shí)求解.
[押題3] 某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口,假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的,遇到紅燈的概率都是,遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2 min.
(1)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率;
(2)求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間ξ的分布列及期望.
解 (1)設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈為事件A.因?yàn)槭录嗀等價(jià)于事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈,在第三個(gè)路口遇到紅燈”,所以事件A的概率為
P(A)=××=.
(2)由題意可得,ξ可能取的值為0,2,4,6,8(單位:min),事件“ξ=2k”等價(jià)于事件“該學(xué)生在上學(xué)路上遇到k次紅燈”(k=0,1,2,3,4),所以
E(ξ=2k)=Ck4-k(k=0,1,2,3,4),
即ξ的分布列是
ξ
0
2
4
6
8
P
E以ξ的期望是
E(ξ)=0×+2×+4×+6×+8×=.